3.18.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме

Первый закон Кирхгофа – алгебраическая сумма комплексных токов в узле электрической цепи равна нулю:

. (3.140)

Второй закон Кирхгофа – в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура:

. (3.141)

При составлении уравнений по законам Кирхгофа в комплексной форме необходимо указать на схеме электрической цепи условное положительное направление всех ЭДС и токов, а также направление обхода по независимым контурам. Знак слагаемых в уравнениях определяется так же, как в цепях постоянного тока.

3.18.6. Определение мощности по комплексным напряжению и току

Непосредственное применение комплексного метода к вычислению мощности невозможно. Однако для вычисления активной, реактивной и полной мощности по символическим изображениям напряжения и тока может быть использован искусственный приём. Для этого комплексное напряжение необходимо умножить на комплекс тока , сопряжённый с комплексным током , т. е. на :

. (3.142)

Таким образом, вещественная часть комплексной мощности равна активной мощности Р, а мнимая  реактивной Q; при этом положительный знак сохраняется для индуктивной мощности и изменяется на отрицательный знак для ёмкостной. Полная мощность равна модулю комплексной мощности ; аргумент комплексной мощности равен углу сдвига фаз .

3.18.7. Применение методов расчёта цепей постоянного тока к расчёту цепей синусоидального тока

Для анализа и расчёта электрических цепей постоянного тока разработан ряд методов и приёмов, облегчающих решение системы уравнений. К числу таких методов относятся: метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод активного двухполюсника, метод наложения, методы эквивалентных преобразований и др. Известно, что окончательные расчётные формулы этих методов получены в результате выводов, основанных на законах Кирхгофа.

Поскольку законы Кирхгофа справедливы и для цепей синусоидального тока, то все расчётные формулы, полученные для цепей постоянного тока, пригодны и к расчёту цепей синусоидального тока, если в этих формулах заменить постоянные величины комплексными величинами (см. таблицу):

В качестве примера запишем уравнения в комплексной форме для некоторых методов.

Уравнения контурных токов для электрической цепи с тремя независимыми контурами:

,

,

.

Таблица Уравнения узловых потен-

ц иалов для электрической цепи с тремя независимыми узлами:

,

По методу активного двухпо-люсника (эквивалентного гене-ратора) ток в ветви аb:

.

Э квивалентные преобразования треугольника сопротивлений , , в трёхлучевую звезду сопротивлений , , :

;

;

.

Рис. 3.60 Если же отдельные

ветви электрической

цепи синусоидального тока имеют магнитную связь (цепи с взаимоиндукцией), то расчёт таких цепей приобретает ряд особенностей, которые простой заменой величин постоянного тока комплексными величинами переменного тока не будут учтены. Методы расчёта электрических цепей синусоидального тока с взаимоиндукцией будут рассмотрены особо.

Рис. 3.61

Пример 3.7. Рассчитать электрическую цепь рис. 3.60

классическим и символическим методами, если заданы действующее значение синусоидального напряжения U = 120 B и сопротивление цепи: R₁ = 4 Ом, X₁ =10 Ом, R₂ = 8 Ом, Х₂ = 6 Ом, Х₃ = 8,33 Ом.

Р е ш е н и е :