- •Тема I. Множества
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема II. Функция одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема III. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема IV. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема V. Аналитические и геометрические приложения производных
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VI. Неопределенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VII. Определенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VIII. Несобственные интегралы
- •Задачи
- •Упражнения
- •Приложение
- •Литература
ТЕМА IV. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Производная функции |
|
|
|
Определение 1. Если конечный предел lim |
f(x0 + |
x) −f(x0) |
су- |
|
x |
||
x→0 |
|
ществует, то он называется производной функции f(x) в точке х0.
Обозначение: f′(x0 ), ó′(õ0 ), df(x0), dy(x0). dx dx
Определение 2. Функция f(x) – дифференцируема в точке х0, если f′(x0) сущестует.
Функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), если она дифференцируема в каждой точке (a, b).
Механический смысл производной
Уранение прямолинейного движения имеет вид: s=s(t), если s′(t0) существует, тогда моментальная скорость определяется как
v(t0) = lim |
S |
′ |
t |
= s (t0). |
|
t→0 |
|
|
|
|
Геометрический смысл производной |
Геометрический смысл производной: f′(x0)=tgα, где α – угол наклона к оси Ох касательной, проведенной в точке М0(х0, у0) к графику функции y=f(x). Уравнение этой касательной записывается в виде y=f′(x0)(x – x0)+y0. При этом f′(x0) называется угловым коэффициентом касательной (рис. 4.1).
у
lкас
у0 М0
α
0 |
х0 |
х |
|
Рис. 4.1
18
Правила дифференцирования функций
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы, тогда: 1. (сf(x))′=с f′(x), где с – некоторая константа; 2. (f(x) +g(x))′=f′(x) +g′(x);
3. (f(x) g(x))′=f′(x) g(x)+f(x) g′(x);
|
|
′ |
|
′ |
′ |
|
|
|
4. |
|
f(x) |
|
= |
f (x)g(x) −f(x)g (x) |
(g(x) ≠ |
). |
|
|
|
|||||||
|
g(x) |
|
|
(g(x))2 |
|
|
5. Для взамнообратных функций у=f(x) и х=g(y) производная об-
ратной функции g′(x) = f′1(x).
1. Производная сложной функции (f(g(x))′=f′(g(x))g′(x). 2. Производная параметрически заданной функции
|
x =j(t) |
равна ó′(õ0 ) |
= |
′ |
|
|
ψ (t0). |
||
y =ψ(t), t T |
|
|
j′(t0) |
Таблица производных
1. (с)′= 0, с – константа.
2. (хp)′=pxp–1, если имеют смысл как хp, так и xp–1.
3. Частные случаи: (õ)′ =1; (õ2)′ = õ; ( |
|
|
|
1 |
; |
|||||||||||||||||||
x2)′= |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||
4. (ах)′=ахlna, при а> 0, a≠1. |
|
2 |
|
x |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
5. Частный случай: (ех)′=ех. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. (loga x)′= |
|
1 |
|
|
|
|
, ïðèa >0, a ≠ |
,01< x< +∞. |
|
|
|
|||||||||||||
xlna |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. Частный случай: (lnx)′=1/x, при 0 < x–+∞ |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. (sin x)′=cos x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
9. (cos x)′= – sin x. |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
′ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= cos2 x,ïðè x ≠ 2 + pk,k Z. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
10. (tgx) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −sin2 x,ïðè x ≠ pk,k Z. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
11. (ctgx) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
12. (arcsinx)′ = |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
, ïðè − |
<1 |
<0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1−x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
′ |
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
, ïðè − |
<1 |
<01. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
13. (arccosx) |
|
|
1−x2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
′ |
= − |
1 |
. |
|
|
|
|
|||
x2 |
|||||
x |
|
|
19
14. (arctgx)′ = 1+1x2 . 15. (arcctgx)′= −1+1x2 .
Дифференциал функции
Определение 3. Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется линейная функция f′(x0) x относительно аргумента x. Обозначение: df(x0)= f′(x0) x; dy=f′(x0)dx.
Производные и дифференциалы высших порядков Определение 4. Производная от f′(x) называется производной вто-
рого порядка функции f(x) в точке х. Обозначение: f′′(x) =(f′(x))′,
ó′′, d2f(x). dx2
Определение 5. Производная n-го порядка в точке х – производная от производной (n – 1)-го порядка, то есть f(n)(x)=(f(n–1)(x))′. Обозначение: f″(x), f′′′(x), f(4)(x), f(5)(x), …, f(n)(x), … или у″, у′′′, у(4), у(5), …, у(n), …
Определение 6. Дифференциал от f′(x) x называется дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке х. Обозначение: d2f(x)=d(df(x)), d2y, dnf(x)=f(n)(x)( x)n, dnf(x)=f(n)(x)(dx)n=f(n)(x)dxn.
Задачи
1. Найдите по определению производную функции f(x)=sinx.
Решение:
|
|
|
lim |
sin(x0 + |
|
x) −sin x0 |
= |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
(x + x−x |
|
) |
|
(x + x+ x |
) |
|||||||||||
|
|
2sin |
0 |
|
|
0 |
|
cos |
0 |
|
|
0 |
|
||||||
= lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2sin |
x cos x |
+ |
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
x |
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
||||
= lim |
|
|
2 |
|
lim cos |
|
+ |
1 |
cos x |
= cos x . |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
x→0 |
|
x |
x→0 |
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
Найдем ó0 =sinõ0 =sin3p = 23. Уравнение искомой касательной
имеет вид ó = |
1 |
|
õ − |
p |
|
+ |
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
||||||
4. Найти производную функции y =sin x arctgx+ |
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x5 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4x |
|||
|
|
|
ó′=(sin x)′arctgx+sin x(arctgx)′ + |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
+(3 |
x |
|
′ |
5 |
−4x) − |
3 |
x |
(x |
5 |
−4x) |
′ |
=cos x arctgx+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
) (x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x5 −4x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
x |
′ |
|
|
5 |
−4x) − |
3 |
x |
(x |
5 |
−4x) |
′ |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
+ |
+ (3 |
|
) (x |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= cos x arctgx+ |
|
sin x |
+ |
3x ln3(x5 −4x) −3x(5x4 −4) |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−4x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. Найти производную сложной функции у=tg3x. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: Так как f′=3u2, u′=1/cos2x, то имеем· |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ó′=3tg2x |
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
3sin2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos |
2 |
|
|
cos |
4 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Найдите производную сложной функции у=(arcsinx)x. Решение: Сначала прологарифмируем обе части данного равен-
ства: lny=xln(arcsinx). Далее, используя правила дифференцирования сложной функции и произведения функций, получим:
1 |
y′=x( )'ln arcsinx |
x+ |
(ln arcsinx )′= |
|||||
y |
||||||||
=ln arcsin x+ x |
|
1 |
1 |
|
, тогда |
|||
arcsin x |
|
|
|
|
||||
|
1−x2 |
|||||||
|
|
|
|
|
21
′ |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ó |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ó |
ln arcsin x |
arcsinx |
x |
1− |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(arcsin x) |
lnarcsin x+ |
|
x 1− |
|
2 |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
arcsix |
n |
|
|
|
Такой способ нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.
2. Вычислить приближенно е–0,08.
Решение:Возьмемчислох0=0,близкоекх=–0,08итакое,чтозна- чение функции ex0 легко вычисляется, при этом х= –0,08. Кроме
того, заметим, что (ex0 )′ = ex0 , следовательно, ex0+Δx ≈ ex0 +ex0 x, откуда e−0,08 ≈ e0 +e0(−0,08) =0,92.
1. Вычислите в точке õ0 = 2 производную функции у=у(х), па-
|
|
|
|
x =2cost |
|
. |
|
|
|
|
|
|
раметрически заданной уравнениями: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
y =3sint,t [0,p] |
|
|
x0 |
|
|
|||
Решение: Из первого уравнения получим arccost |
= arccos |
= |
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
= p |
, j′(t)=(2cost)′= –2sint, откуда j′(t0) = −2sinp |
|
|
|
|||||
= arccos |
|
2 |
= − |
|
, |
|||||||
|
2 |
|||||||||||
|
|
|||||||||||
2 |
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ψ′(t)=(3sint)′=3cost, откуда ψ′(t0) =3cos4p = 322.
32
Таким образом, ó′(õ0 )= (−22) = −23.
2. Найти производные первых трех порядков для у=4х3 – 3х2 +
+ 2х – 5.
Решение: Имеем у′=12х2 – 6х+2, у″=24х – 6, у′′′=24. 3. Найдите производную n-го порядка функции y=sin x.
Решение: Имеем
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
= |
|
|
|
|
p |
|
ó′= cosx =sin x+ |
, ó′′= |
cosx+ |
2 |
|
|
sinx+ |
2 |
2, |
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ó′′′= cos |
|
|
p |
|
|
|
|
|
p |
|
(4) |
= |
|
|
|
|
x+2 |
2 |
=sin x+3 |
|
,ó |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
p |
=sin |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
= cos x+3 |
|
x+4 |
2 |
, |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22