- •Тема I. Множества
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема II. Функция одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема III. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема IV. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема V. Аналитические и геометрические приложения производных
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VI. Неопределенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VII. Определенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VIII. Несобственные интегралы
- •Задачи
- •Упражнения
- •Приложение
- •Литература
Решение: Рассмотрим функцию f(x)=21/x. Точка x0=0, в которой функция не определена, является точкой разрыва. Вычислим одно-
11
сторонние пределы lim 2x =0, lim 2x = +∞. Таким образом, точка x→0− x→0+
x0=0 – точка разрыва второго рода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Схематичный график функции f(x)=21/x представлен на рис. 3.4. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Упражнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1. Найти пределы следующих последовательностей: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
а) lim |
nN + Mn−8 |
; б) lim ( |
|
|
|
− |
|
|
|
|
); в) lim |
(n+ Ì)sinn2 . |
||||||||||||||||
n− N |
n+ M |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
n→∞ 2−6nM |
|
n→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→∞ Nn2 +n3 |
|
||||||||
2. Найти пределы следующих функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
x2 +(N − M)x− MN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
sin Mx |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
+1−x |
|
|
|||||||||||||
а) lim |
|
|
|
|
|
|
; б) lim |
|
x |
|
|
|
; в) lim |
|
tgNx |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
−2M |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x→M x2 +(2− M)x |
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
||||||||||
|
|
(M +1)x−1 |
Nx+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x→∞ |
|
(M +1)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. Найти пределы, используя эквивалентные функции: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln(MxN +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) lim |
|
|
|
; б) lim |
|
|
1−x2M |
|
; |
в) lim |
arcsin Mx |
; |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
tgNx |
|
|
||||||||||||||
x→0 xN − Mx−2M |
x→0e(N+2)x |
1 |
|
|
x→0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
г) lim cos Mx−cos Nx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x→0 |
|
|
|
(n+3)x2 |
|
|
|
|
|
x2 + M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Исследовать функцию |
y = |
|
на непрерывность, найти |
|||||||||||||||||||||||||
Nx+1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
асимптоты. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17