- •Тема I. Множества
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема II. Функция одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема III. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема IV. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема V. Аналитические и геометрические приложения производных
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VI. Неопределенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VII. Определенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VIII. Несобственные интегралы
- •Задачи
- •Упражнения
- •Приложение
- •Литература
ТЕМА II. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Определение 1. Правило f, по которому каждому элементу х Х сопоставляется единственный элемент у Y, называется функцией и обозначается f или f(x). Где Х называется областью определения функции f и обозначается D(f), а Y называется областью значений функции f и обозначается E(f).
Определение 2. Множество точек плоскости {(x, y): x D(f), y=f(x)} называется графиком функции f(x). Обозначение: Г(f).
Определение 3. Пусть f: X→Y, и для любого элемента у Y существует элемент х Х такой, что y=f(x), тогда правило, по которому элементу у Y сопоставляется тот самый элемент х Х, на-
зывается обратной функцией для функции f(x) и обозначается f–1 или f–1(y).
Свойства функции
Определение 4. Функция f(х) называется возрастающей (убывающей) на множестве Х, если из того, что x1 < x2 следует, что f(x1) – f(x2) (f(x1) > f(x2)) для любых x1, x2 Х. Такие функции называются монотонными.
Определение 5. Функция f(х) называется четной (нечетной) на множестве Х – симметричном относительно нуля, если f(– x)=f(x) (f(– x)=– f(x)), где {х, – х} Х. График четной функции симметричен относительно оси ОY, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О).
Определение 6. Функция f(х) называется периодической на множестве Х, если существует число Т > 0 такое, что f(x+T)=f(x), где х, х+Т Х. Число Т называется периодом функции f(x).
Элементарные функции
Определение 7. Основными элементарными функциями называются: постоянная функция f(x)=C; степенная функция f(x)=xp(p /R \{0}); показательная функция f(x)=аx (а (0, +∞) \{1}); логарифмическая функция f(x)=loga x (a (0, +∞) \{1}); тригонометрические функции f(x)=sin(х), f(x)=cos(х), f(x)=tg(x), f(x)=ctg(x); обратные тригонометрические функции f(x)=arcsinх, f(x)=arccosх, f(x)=arctgx, f(x)=arcctgx и получившиеся из них с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций.
Определение 8. Если функция u=g(x) определена на множестве Х, а функция у=f(u) определена на множестве U (Е(g) U), тогда
6
функция y=f(g(x)), называется сложной функцией или суперпозицией функций f и g. Обозначение: f ◦ g.
Задачи
1. Рассмотрим функцию f(x) = |
|
x |
x,x≥0 |
|
, |
функция называ- |
|
= |
|
||||
|
|
|
−x,x< |
0 |
|
|
ется модулем или абсолютной величиной числа. Найти D(f), E(f). Построить график, исследовать на ограниченность, монотонность и четность.
Решение: D(f)=/R, E(f)=[0, +∞).
График такой функции имеет вид (рис. 2.1).
По графику очевидно, что функция f(х)=/x/ не является ограниченной и монотонной на D(f), но при этом обладает свойством четности.
1, x >
2. Функция f(x) =sn(x) = называется знаком числа.
−1, x<
Найти D(f), E(f). Построить график, исследовать на ограниченность, монотонность и четность.
Решение: D(f)=/R \{0}, E(f)={–1; 1}. График этой функции имеет вид (рис. 2.2).
По графику очевидно, что функция f(x)=sn(x) ограниченна, монотонна и нечетна на D(f).
3. Будут ли элементарными функциями – функции
|
f(x) = P (x) = a xn +a |
|
xn−1 +... +a x |
+a |
; |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n−1 |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
||
|
f(x) = |
|
Pn(x) |
(P |
(x),Q |
(x) − |
многочлены); |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Q |
(x) |
n |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f(x) = |
|
|
x |
|
−4 |
|
; f(x)=log |
|
(arcsin(2x + |
|
|
)); |
||||||||
3 |
|
|
x |
3 |
|
tgx |
||||||||||||||
|
1 |
+2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
f(x)=/x/, f(x)= (x).sn |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение:
f(x) = Pn(x) = anxn +an−1xn−1 +... +a1x+a0 – многочлен степени n является элементарной функцией.
f(x) = Pn(x) – дробно-рациональная функция является элемен-
Qm(x)
тарной функцией.
7
|
у |
|
у |
|
|
|
1 |
45° |
45° |
|
х |
|
|
х |
0 |
|
|
–1 |
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
Рис. 2.2 |
|
|
1+ x2 + |
|
−4 |
|
|
|
f(x) = |
|
x |
|
||||
3 |
x |
– иррациональная функция является |
|||||
|
1 |
+2x |
|
||||
|
|
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
элементарной функцией.
f(x)=log3(arcsin(2x +tgx)) – трансцендентная функция не яв-
ляется элементарной функцией.
Функции f(x)=/x/, f(x)=sn(x) не являются элементарными функциям.
Упражнения
1. Найти область определения для заданных функций
y = tg(N + x) − |
1 |
|
; y = arccos(ln x(M +1)); |
||
|
|
|
|||
5x− M |
|||||
|
|
|
y =log(M+x) (3x− N).
2. Для функции f(x)= x – M +N найти D(f), E(f). Построить график, исследовать на ограниченность, монотонность и четность.
3. Найти коэффициенты и построить график для функции заданной формулой: f(x)=αx2+βx+4, если f(M)=2, f(N)=3.
8