- •Тема I. Множества
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема II. Функция одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема III. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема IV. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема V. Аналитические и геометрические приложения производных
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VI. Неопределенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VII. Определенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VIII. Несобственные интегралы
- •Задачи
- •Упражнения
- •Приложение
- •Литература
|
2x3 −5x2 +6x− |
5 |
2 |
|
dx |
|
dx |
|
∫ |
(x−1)2 (x2 +1) |
dx = ∫ |
|
dx− ∫ |
|
−2∫ |
|
= |
x−1 |
(x−1)2 |
x2 +1 |
=2ln x−1 + x1−1−2arctgx+C.
2. Найдите интеграл ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(x−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
∫ |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
=t x =1+ |
1 |
dx = − |
1 |
|
|
dt; x2 −2= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x |
−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 −2 |
|
|
|
t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2t+1−t |
2 |
|
|
|
|
−1/ t |
2 |
dt t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= 1+ |
|
|
|
|
−2 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||
|
|
t |
|
|
|
t2 |
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+2t−t |
|
|
|
|
|
|
1+2t−t |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t−1 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= −∫ |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
=−arcsin |
|
+C = −arcsin |
|
|
|
|
+C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2−(t−1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x−1) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3. Найдите интеграл ∫ |
|
|
|
sin xdx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1−cos x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение: Сделаем подстановку: cosx=t, sinxdx= –dt. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
sin xdx |
= −∫ |
|
|
|
|
dt |
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
+C = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+C. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
t−1 |
cosx−1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1−cosx) |
|
|
|
|
|
−t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. Найдите интеграл ∫sin |
x |
cos |
2xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
∫ |
|
|
x |
|
|
|
|
2x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin |
|
cos |
|
|
|
dx |
= |
|
|
|
sin |
− |
|
|
|
|
+sin x dx = |
|
|
|
3cos |
|
|
|
|
−cos x +C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упражнения
1. Непосредственным интегрированием найдите интегралы: а) ∫(N+dx4) xM ; б) ∫((M+2)õeõ + N)dx; в) ∫M +23− Nx2 dx.
37
2. Методом подведения под знак дифференциала найдите инте-
грал: а) ∫ |
|
Mdx |
; б) ∫Msin xcos |
N |
xdx; в) ∫ |
(M + |
1)dx |
. |
|
|
|
|
xln |
N |
x |
||||
|
|
5x− N |
|
|
|
|
|
3. Найдите интеграл методом замены переменной: а) ∫(N +1)xdx |
; |
||||||||
|
(M |
+3)ex |
dx |
|
|
|
|
5x2 − M |
|
б) ∫ |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ex − N |
|
|
|
|
|
||
4. Найдите интегралы методом интегрирования по частям. |
|||||||||
а) ∫Mxe3x+Ndx; б) ∫(1+ M)xN+1ln xdx; в) ∫(M +5)sin(N + x)dx. |
|||||||||
5. Найдите интеграл ∫ |
(2x3 − Nx2 + Mx−5)dx |
. |
|
|
|||||
(x− N)2 (x2 + M) |
|
|
|||||||
6. Найдите интеграл ∫ |
Mcos xdx |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
(N −sin x) |
|
|
|
7. Найдите интеграл ∫cos(M −2x)sin(N + x)dx.
38