ТЕМА VIII. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

При введении понятия определённого интеграла предполагаются следующие условия: 1) отрезок интегрирования [a, b] является конечным; 2) подынтегральная функция f(x) – ограниченная на отрезке интегрирования. В этом случае определённый интеграл называется собственным. Если хотя бы одно из указанных условий нарушается, то интеграл называется несобственным. Несобственный интеграл является обобщением понятия определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Определение 1. Пусть функция f(x) определена на промежутке

B

a≤ x ≤+∞ и для любого B ≥ a существует интеграл Ô(B) = ∫f(x)dx,

a

тогда несобственным интегралом I рода от функции f(x) на проме-

жутке [a,+∞] называется lim Ô(B).

B→+∞

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если этот предел конечный и расходится, если этот предел не существует

либо равен бесконечности.

+∞

Аналогично определяется несобственный интеграл ∫ f(x)dx =

= ∫ f(x)dx+ ∫ f(x)dx при незезависимом стремлении A→ –∞, B→ +∞.

−∞ ñ

Свойства несобственных интегралов I рода

+∞

1. Если сходится несобственный интеграл ∫ f(x)dx, то для лю-

a

бого b > a сходится несобственный интеграл

∫ f(x)dx, причем ∫ f(x)dx = ∫f(x)dx+ ∫ f(x)dx.

43

+∞ +∞

2. Если сходятся интегралы ∫ f(x)dx и ∫ g(x)dx, то сходится

интеграл ∫ (ñ f(x) ±d g(x))dx, где c, d – числа.

a

Признаки сходимости несобственных интегралов I рода

1. Признак сравнения. Пусть даны два несобственных интегра-

+∞ +∞

ла ∫ f(x)dxè ∫ g(x)dx, подынтегральные функции которых удов-

aa

летворяют неравенству 0 ≤ f(x) ≤ g(x) для всех х [a, +∞). Тогда из

+∞

сходимости интеграла ∫ g(x)dx следует сходимость интеграла

a

∫ f(x)dx, а из расходимости интеграла ∫ f(x)dx следует расходи-

+∞

мость интеграла ∫ g(x)dx.

a

2. Признак эквивалентности. Если существует конечный предел

lim f(x) = K >0 для подынтегральных функций несобственных x→+∞ g(x)

+∞ +∞

интегралов ∫ f(x)dxè ∫ g(x)dx, то эти интегралы сходятся или рас-

aa

ходятся одновременно, если K=1, т. е. f(x) и g(x) эквивалентны (f(x) ~ g(x) при х→+∞).

Несобственные интегралы II рода

Определение 2. Несобственным интегралом II-го рода от функции f(x) (где f(x) задана на промежутке [a, b), не ограничена при

b−ε

44

При этом говорят, что несобственный интеграл сходится, если этот предел конечен и расходится, если он не существует или равен бесконечности.

Рассмотренные свойства и признаки сходимости для несобственных интегралов I рода верны и для несобственных интегралов II рода.

Аналогично, если функция f(x) задана на промежутке (a, b] и не

Если функция f(x) не ограничена в некоторой промежуточной точке c (a,b), то несобственный интеграл

45

+∞ dx

следует, что 1∫ xα сходится при p>1 и расходится при p≤1; г) имеем

ся, так как p=1. По признаку сравнения исходный несобственный интеграл также расходится.

2. Используя эквивалентность, исследовать на сходимость несобственные интегралы:

тельно, расходится и исходный интеграл; б) Подынтегральная функция не определена в точке х=0. Используя эквивалентность,

ся. По признаку эквивалентности исходный интеграл расходится.

2 dx

3. Исследуйте на сходимость несобственный интеграл −∫2x3.

Решение: Подынтегральная функция является неограниченной при x=0. Тогда данный интеграл распадается на два несобственных интеграла:

46