- •Тема I. Множества
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема II. Функция одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема III. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема IV. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема V. Аналитические и геометрические приложения производных
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VI. Неопределенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VII. Определенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VIII. Несобственные интегралы
- •Задачи
- •Упражнения
- •Приложение
- •Литература
ТЕМА III. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Предел последовательности
Определение 1. Если натуральному числу n сопоставлено в соответствие вещественное число хn, тогда говорят, что задана последовательность x1, x2, …, xn, …. Обозначение: {хn}.
Примеры последоватедбностей: Геометрическая последова-
тельность {qn} (q≠0), последовательность Фибоначчи x1=1, x2=1,…,
xn= xn–1+ xn–2, … (n≥3).
Определение 2. Пусть, а, ε – вещественные числа, причем ε>0.
ε-окрестностью точки а называется интервал (а – ε, а+ε). Обозначение: νε(a)
Определение 3. Число а называется пределом последовательности {хn}, если для любой νε(a) все точки хn начиная с номера Nε по-
падут в эту окрестность. Обозначение: lim xn = a. n→∞
Предел функции
Определение 4. Число а называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε существует положительное число δε такое, что f(x) – a < ε, если 0< x – x0 < δε.
Обозначение: lim f(x) = a. x→x0
Определение 5. Число а называется левосторонним (правосто-
ронним) пределом функции f(x) в точке x0, если для любого поло-
жительного числа ε существует положительное число δε такое, чтоf(x) – a < ε, если – δε < x – x0 < 0 (0< x – x0 < δε). Обозначение:
lim f(x) = a( lim f(x) = a). x→x0− x→x0+
Теорема 1. lim f(x) = a тогда и только тогда, когда |
lim f(x) = |
x→x |
x→x− |
0 |
0 |
= lim f(x) = a. |
|
x→x+ |
|
0 |
|
Определение 6. Число а называется пределом функции f(x) при x→∞, если для любого положительного числа ε существует положительное число Mε такое, что f(x) – a < ε, если x > Mε. Обозначение:
lim f(x) = a. Если x принимает лишь положительные (отрицатель- x→∞
ные) значения, то lim |
|
lim |
|
f(x) |
f(x) . |
||
x→+∞ |
x→−∞ |
|
9
Определение7.Функцияf(x)называетсябесконечномалой(беско-
нечнобольшой)функциейприx→x0,если lim f(x) =0( lim f(x) = ∞). |
|
x→x0 |
x→x0 |
1 |
|
Если lim f(x) =0, то функция f(x) есть бесконечно большая функ- x→x0
ция при x→x0 и наоборот.
Свойства пределов
Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке x0 конечные пределы, тогда:
1. lim (c f(x)) = c lim f(x),c /R; x→x0 x→x0
2. lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x); |
||||||||
|
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
||
3. |
lim (f(x) g(x)) = |
lim f(x) lim g(x); |
||||||
|
x→x0 |
|
|
|
x→x0 |
x→x0 |
||
|
|
f(x) |
|
lim f(x) |
|
|
||
4. lim |
= |
x→x0 |
|
, lim g(x) ≠ 0. |
||||
g(x) |
lim g(x) |
|||||||
|
x→x0 |
|
x→x0 |
|
||||
|
|
|
|
x→x0 |
|
|
|
Замечательные пределы
Теорема 2. (Первый замечательный предел). lim sin x =1. x→0 x
Следствие. lim arcsin x |
=1; lim tgx |
=1; lim arctgx |
=1. |
|
|||||||||
|
x→0 |
x |
x→0 |
x |
x→0 |
x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 x |
|
Теорема 3. (Второй замечательный предел). lim 1 |
|
= e, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
õ→∞ |
|
|
x |
|
|
1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ãäå lim 1+ |
= e, e≈2,718281.... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n→∞ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Следствие. lim |
(1+ x)x = e, lim |
|
=1, |
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
x→0 |
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
lim |
ex −1 |
=1, lim (1+ x)p −1 |
= p, p /R. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x→0 |
x |
x→0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
10
Сравнение функций
Определение 8. Если lim f(x) = k (k≠ 0), то говорят, что функ- x→x0 g(x)
ции f(x) и kg(x) называют эквивалентными при x→x0. Обозначение:
f(x)~kg(x) при x→x0.
Эквивалентные функци: При x→ 0: sin x ~ x; tg x ~ x; arcsin x ~ x; arctg x ~ x; ln(1+x) ~ x; ex – 1 ~ x; (1+x)p – 1 px.
Теорема 4. (о замене эквивалентных функций). Пусть f(x) ~ f1(x)
и g(x) ~ g1(x) при x→x0, тогда |
|
lim |
|
f(x) |
|
= lim |
f1(x) |
. |
|
|
|
|||
|
|
g(x) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
x→x0 |
|
x→x0 |
g1(x) |
|
|
|
||||||
|
Видынеопределенностей: |
|
0 |
, |
|
∞ |
[ ∞], [∞−∞], ∞ , |
|
0 , |
|||||
|
|
|
0 |
10, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
∞ |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптоты функции |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Определение 9. Прямая х=х0 называется вертикальной асимпто- |
|||||||||||||
той кривой y=f(x), если хотя бы один из lim f(x) èëè lim f(x) |
ра- |
|||||||||||||
вен +∞ или – ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
x→x0− |
|
x→x0+ |
|
|
Теорема 5. Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой
кривой y=f(x) при x→+∞, тогда и только тогда, когда lim f(x) = k, x→+∞ x
lim (f(x) −kx) = b. Аналогично при x→–∞. x→+∞
Непрерывность функции
Определение 10. Функция f(x) называется непрерывной в точке
x0, если lim f(x) = f(x0), непрерывной на интервале (a,b), если она x→x0
непрерывна в любой его точке. Каждая элементарная функция непрерывна в любой точке из своей области определения.
Точки разрыва функции и их классификация
Определение 11. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 за исключением возможно самой точки x0. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо не является непрерывной.
11
Определение 12. Если x0 есть точка разрыва f(x) и существуют
конечные односторонние пределы lim f(x), |
lim f(x), то x0 называ- |
|
x→x− |
x→x+ |
|
0 |
0 |
|
ется точкой разрыва первого рода. Если же |
lim f(x) = lim f(x), то |
|
|
x→x− |
x→x+ |
|
0 |
0 |
x0 называют точкой устранимого разрыва. Иначе точкой неустра-
нимого разрыва со скачком h = |
lim |
|
f(x) − lim f(x) |
. |
|
x→x |
+ |
x→x− |
|
|
0 |
|
0 |
|
Задачи |
|
|
1. Доказать, что lim 2x =2. x→1
Решение: Рассмотрим положительное число ε. Неравенство 2x – 2 < ε равносильно неравенству x – 1 < ε/2. Положим δε=ε/2, тогда
если 0< x – 1 < δε, то 2x – 2 < ε, следовательно, lim 2x =2. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, ïðè x >0 |
|
в 0? |
|
|||||
2. Существут ли предел функции sn(x) = |
ïðè x< |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1, |
0 |
|
|
|||||
Решение: Имеем |
lim sn(x) = −1, lim |
(x)sn= , следовательно,1 |
пре- |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0− |
|
|
|
|
|
x→0+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дела в 0 не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3. Найти а) lim |
x2 −3x+1 |
; б) lim |
|
sin6x |
; в) lim |
1−cos x |
; |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→2 2x3 +4x |
|
|
x→0 |
|
|
|
x→0arctg2x |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1+ x −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1+ x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
г) lim |
|
|
; д) lim |
|
|
|
|
+2x) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x→0 |
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0ln(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (x2 −3x+1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
−3x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
а) lim |
|
= |
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (2x3 |
+4x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x→2 2x3 +4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(lim x)2 −3lim x+lim1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
x→2 |
|
|
|
|
x→2 x→2 |
= |
2 −3 |
2+1 = − |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
2(lim x)3 +4lim x |
|
|
|
|
2 23 +4 2 |
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
x→2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) lim |
sin6x |
0 |
|
= lim |
sin6x 6x |
= lim |
sin6x |
lim |
6x |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
4x |
|
|
= |
0 |
|
|
|
|
6x 4x |
|
|
6x |
4x |
|
|
|||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
x→0 |
x→0 |
|
|
|
|
=lim sin y 3 = 3, ãäå ó = 6õ; y→0 y 2 2
12
|
1−cos x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
2sin |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 x |
|
x2 |
2x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
в) lim |
= |
= lim |
|
|
2 |
|
=2lim |
|
|
|
2 |
4 |
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
x→0arctg2x |
|
|
|
|
|
|
x→0arctg2x |
|
|
|
x→0 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
2x arctg2x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
=2 12 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 lim x =0; |
||||||||||||||
=2 lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
x→0arctg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 8 |
|
4x→0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
||||||||||||
г) xlim→0(1+ x2) |
|
= 1∞ |
|
|
|
(1+ x2) |
|
|
|
|
|
|
= xlim→0 |
|
(1+ x2) |
|
|
= e2; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
= xlim→0 |
x2 |
|
|
|
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
+ x) |
2 −1 |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1+ x −1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
д) lim |
|
|
|
= |
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
ln(1+2x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
x→0ln(1+2x) |
|
|
|
|
|
x→0 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(1+ x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= 1 lim |
2 −1 lim |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
= 1 |
1 |
1= |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0ln(1+2x) |
|
|
|
2 2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. Вычислить а) lim |
tg(x3 −x) |
; |
б) lim |
|
ex−1 |
−1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 arcsin4x |
|
|
|
|
x→1(x−1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; г) |
|
lim arctg |
|
|
; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x→ |
+ |
|
arctg7x |
|
|
|
ln(1+3x) |
|
|
|
|
|
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
д) lim (1+ x)arcsin x; е) lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0arcsin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: а) Так как x3 – x→ 0, при x→ 0, то имеем tg(x3 – x) x3 – x при x→ 0. Аналогично arcsin(4x) ~ 4x при x→ 0. Заменяя числитель и знаменатель дроби под знаком предела эквивалентными функциями, получим
|
tg(x3 |
−x) |
0 |
|
|
x3 −x |
|
1 |
lim (x2 −1) = |
|
lim |
|
|
|
= |
|
= lim |
|
= |
|
|
|
|
|
4x |
|
||||||
x→0 arcsin4x |
|
0 |
|
x→0 |
|
4x→0 |
||||
|
|
= |
1 lim x2 − 1 lim1= − |
1 |
; |
|||||
|
|
|
4x→0 |
4x→1 |
|
4 |
|
13
б) Если x→ 1, то (х – 1)→ 0, значит, (ex–1 – 1) (x – 1) при x→ 1, от-
куда lim |
ex−1 |
|
−1 |
= |
|
0 |
=lim |
|
|
x−1 |
= lim |
1 |
|
|
|
= ∞; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x→1(x−1)2 |
|
|
|
|
|
|
x→1(x−1)2 |
|
|
x→1x−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) Имеем arctg 7x ~ 7x, ln(1+3x) ~ 3x |
при x→ |
+ |
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 , то |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
arctg7x |
7x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
при |
|
|
x→ |
0+. |
|
|
Тогда, |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
|
1 |
− |
|
1 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg7x |
ln(1+3x) |
7x |
3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1+ |
3x) |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
= − |
4 |
|
при x→ 0+. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
21x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Поэтому, |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=[∞−∞]= lim |
− |
|
|
|
= −∞; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+3x) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→0+ |
arctg7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0+ |
|
21x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
г) |
lim arctg |
x2 −2 |
= arctg12 −2 = arctg(−1) = −p; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x→1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1+ x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
ln(1+x)arcsin2x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
д) |
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
= lim e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1+x) |
|
|
|
|
|
lim |
|
ln(1+x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim earcsin2x = ex→0arcsin2x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вычислим предел показателя степени, используя эквивалент- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ные замены: lim |
|
|
ln(1+ x) |
|
|
= |
|
0 |
= lim |
|
x |
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x→0arcsin |
|
|
|
0 |
|
x→02x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, lim (1+ x)arcsin2x = e2 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
e |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ln(1+ x) |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
е) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
= lim |
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x→0arcsin2x |
|
|
|
0 |
x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказать, что многочлен эквивалентен своему старшему члену
при x→∞, то есть Pn(x)=anxn+an–1xn–1+…+a1x+a0 anxn при x→∞.
Решение
lim anxn +an−1xn−1 +... +a1x+a0 =
x→∞ anxn
14
|
|
|
|
|
|
a xn |
|
|
a |
|
xn−1 |
|
|
a x |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
+ |
|
n−1 |
|
|
|
|
|
+... + |
|
1 |
|
|
+ |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
= lim |
|
|
anx |
n |
|
|
|
|
|
n |
|
anx |
n |
anx |
n |
|
= lim |
|
+ |
an−1 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
anx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|||||||||||||||||
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
a |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
a |
|
|
|||||||
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
= lim 1 |
+ |
|
|
n−1 |
|
lim |
|
|
+... + |
|
1 |
lim |
||||||||||
a |
|
|
|
|
n−1 |
a |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
x→∞ |
|
|
|
a |
|
|
|
x→∞ x |
|
|
a |
|
x→∞ |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
0 |
lim |
|
|
=1+0+... +0+0=1. |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1x +... +
1 n−1 + x
|
Таким образом, a xn+a xn–1+…+ a x+a |
a xn |
при x→∞. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
n–1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
n |
|
|
||
|
1. Найти вертикальные асимптоты кривой y = |
1 |
. |
||||||||||||||||||
|
x−2 |
||||||||||||||||||||
|
Решение: Будем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
искать |
односторонние |
|
|
пределы функции |
||||||||||||||||
y = |
1 |
в точке х0=2, то есть в той точке, в которой эта функция |
|||||||||||||||||||
|
x−2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
1 |
|
|
= −∞, lim |
|
1 |
|
= +∞, следовательно, |
||||||||
не определена. Имеем |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
−2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x→2− x |
|
x→2+ x−2 |
|
|
|
|
||||||||||
х=2 – вертикальная асимптота кривой y = |
|
|
1 |
|
. |
|
|
||||||||||||||
x− |
2 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Как видно из рис. 3.1, график исходной функции неограниченно |
||||||||||||||||||||
приближается к вертикальной асимптоте х=2 при х→2. |
|||||||||||||||||||||
|
2. Найти наклонные асимптоты кривой y=2x+arctgx. |
||||||||||||||||||||
|
Решение: Пусть x→+∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k= lim |
2x+arctgx =2 |
lim 1+ |
lim |
arctgx |
=2 1+0= |
|||||||||||||
|
|
|
x→+∞ |
x |
|
|
|
x→+∞ |
x→+∞ |
|
|
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
=2 arctgx~ |
2 |
ïðè x→ +∞ , |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
b = lim (2x+arctgx−2x) = lim |
|
arctgx = p. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
Тогда, прямая y = 2x + p |
является наклонной асимптотой ис- |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ходной кривой при x→+∞. При x→–∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
k= lim 2x+arctgx |
=2,b = lim (2x+arctgx−2x) = |
|||||||||||||||||
|
|
|
x→−∞ |
x |
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim arctgx = −p.
x→−∞ 2
15
у |
|
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =2x−π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
х |
|
O |
|
|
х |
||
|
|
|
|
y =2x+π/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y =2x+arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 3.1 |
|
|
|
|
Рис. 3.2 |
|
|
Прямая y = 2x − 2p является наклонной асимптотой исходной кривой при x→ – ∞ (рис. 3.2).
1. Исследовать функцию f(x) = x2 −1 на непрерывность. x−1
Решение: Функция f(x) = x2 −1 определена и непрерывна во всх x−1
точках кроме х0=1, где она не определена, следовательно, х0=1 – точка разрыва.
Имеем lim_ |
x2 −1 |
=lim_ (x+1) =2, |
lim+ |
x2 −1 |
=lim+ (x+1) =2, от- |
|||
x−1 |
|
x−1 |
|
|||||
x→1 |
x→1 |
x→1 |
x→1 |
куда х0=1 – точка устранимого разрыва.
График рассматриваемой функции приведен на рис. 3.3. 2. Исследовать функцию f(x)=21/x на непрерывность.
у
у
y = f(x)
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
х |
0 |
х |
|
Рис. 3.3 Рис. 3.4
16