- •Тема I. Множества
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема II. Функция одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема III. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема IV. Производная и дифференциал функции одной переменной
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема V. Аналитические и геометрические приложения производных
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VI. Неопределенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VII. Определенный интеграл
- •Задачи
- •Упражнения
- •Тема VIII. Несобственные интегралы
- •Задачи
- •Упражнения
- •Приложение
- •Литература
Поскольку каждый из пределов равен бесконечности, исходный интеграл будет расходиться.
Упражнения
1. Исследуйте на сходимость несобственные интегралы:
+∞ |
(N +2)dx |
|
+∞ |
|
|
dx |
+∞ |
dx |
|
а) ∫ |
; б) ∫ |
|
|
; в) ∫ |
; |
||||
2 |
x |
3 |
+ Mx+ N |
M+3 |
|||||
0 |
M +1+ x |
1 |
|
1 |
(N +2)x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
+∞ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) ∫ |
. |
|
|
|
|
|
|
||
ln((N +4)x) |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Используя эквивалентность, исследовать на сходимость несобственные интегралы:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
1 |
+(N +3) |
x |
3 |
|
|||
|
(x+ N)arctgxdx |
|
|
1ln |
|
|
dx |
||||||||
а) |
∫ |
; |
б) ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||
|
|
|
|
|
(2+M)x |
|
|
|
|
||||||
3 M + x4 |
|
|
−1 |
|
|||||||||||
|
1 |
|
|
0 |
|
|
e |
|
|
||||||
|
+∞ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
∫ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(x+ N)ln(x+ M) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M+3 dx
3. Исследуйтенасходимостьнесобственныйинтеграл −N∫−1x3+N .
47
ПРИЛОЖЕНИЕ
Формулы элементарной математики
1. Тождества сокращенного умножения
a2 −b2 =(a−b)(a+b)
a3 +b3 =(a+b)(a2 −ab+b2) a3 −b3 =(a−b)(a2 −ab+b2 ) (a±b)2 = a2 ±2ab+b2
(a±b)3 = a3 ±3a2b+3ab2 ±b3
−разность квадратов
−сумма квадратов
−разность кубов
−квадрат двучлена
−куб двучлена
2. Квадратное уравнение ax2+bx+c=0, a ≠ 0
D = b2 −4ac >0,x1,2 = −b±D;
2a D = b2 −4ac =0,x1 = x2 = 2−ab;
D = b2 −4ac<0, вещественных решений нет
Теорема Виета: |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
+ x |
|
= − |
b |
||||
|
a |
|||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
|||
Åñëè D ≥0, òî |
|
|
|
|
c |
|
|
|
x |
x |
= |
|
|||||
|
||||||||
|
1 |
2 |
|
|
a |
|||
|
|
|
|
|
3. Разложение квадратного трехчлена на множители
Если D=b2 – 4ac ≥ 0, то ax2+bx+c=a(x – x1)(x – x2) 4. Степени
an = a a a ...a ,n N,n ≠1
n множителей
a1 = a;
a0 =1,a ≠ 0;
a−n = 1 ,a ≠ 0,n N; an
m
an =nam,a ≠ 0,m Z,n N.
48
Свойства степеней:
am an = am+n; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
am : an = am−n; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
(am)n = amn; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(ab)n = anbn; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a n |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
,b ≠ 0. |
|
|
|
|
|
||||||
|
bn |
|
|
|
|
|
|||||||||||
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5. Логарифмы и их свойства |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
aloga = b,a >0,a ≠1,b >0; |
|
|
|
|
|
||||||||||||
logc(ab) =logc a+logc b,a >0,c >0,b >0,c ≠1; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
logc |
|
|
|
=logc a−logc b,a >0,c > |
0,b >0,c ≠1; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
logc ak = klogc a,a >0,c>0,c ≠1; |
|
|
|
|
|||||||||||||
logc (n |
|
|
)= 1logc a,a >0,c>0,b > |
0,c≠1,n N; |
|
||||||||||||
a |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
logc b = |
logc b |
,a >0,c>0,b >0,a ≠1,c≠1. |
|
|
|||||||||||||
logc a |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. Тригонометрия |
|
|
|
|
|
||||||||||||
а) Знаки тригонометрических функций |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Четверть |
|
|
|
|
|
функция |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
sinα |
|
cosα |
|
tgα |
ctgα |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
I |
|
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
+ |
+ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
II |
|
|
|
|
|
+ |
|
– |
|
|
– |
– |
|||
|
III |
|
|
|
|
|
– |
|
– |
|
|
+ |
+ |
||||
|
IV |
|
|
|
|
|
– |
|
+ |
|
|
– |
– |
б) Значения тригонометрических функций при некоторых зна- |
|||||||||
чениях аргумента |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Аргумент |
|
|
|
||
Функция |
0 |
p/6 |
p/4 |
p/3 |
p/2 |
p |
3p/2 |
2p |
|
|
(0о) |
(30о) |
(45о) |
(60о) |
(90о) |
(180о) |
(270о) |
(360о) |
|
sinα |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
Аргумент |
|
|
|
||
Функция |
0 |
p/6 |
p/4 |
p/3 |
p/2 |
p |
3p/2 |
2p |
|
|
(0о) |
(30о) |
(45о) |
(60о) |
(90о) |
(180о) |
(270о) |
(360о) |
|
cosα |
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
–1 |
0 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
tgα |
0 |
1 |
1 |
3 |
– |
0 |
– |
0 |
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ctgα |
– |
3 |
1 |
1 |
0 |
– |
0 |
– |
|
3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) Формулы приведения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аргумент |
|
|
|
||
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p/2 – α |
p/2+α |
p – α |
p+α |
3p/2 – α |
3p/2+α |
2p – α |
2p+α |
||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sinα |
cosα |
cosα |
sinα |
–sinα |
–cosα |
–cosα |
–sinα |
sinα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosα |
sinα |
–sinα |
–cosα |
–cosα |
–sinα |
sinα |
cosα |
cosα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgα |
ctgα |
–ctgα |
–tgα |
tgα |
ctgα |
–ctgα |
–tgα |
tgα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgα |
tgα |
–tgα |
–ctgα |
ctgα |
tgα |
–tgα |
–ctgα |
ctgα |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента
tgα = cossinαα,α ≠ 2p + pn,n Z; ctgα = cossinαα,α ≠ +pn,n Z; sin2 α+cos2 α =1,α R;
tgα ctgα =1,α ≠ p2n,n Z;
1+tg2α = |
1 |
,α ≠ p |
+ pn,n Z; |
|||
cos2 α |
||||||
|
2 |
|
||||
1+ctg2α = |
1 |
|
,α ≠ pn,n Z. |
|||
|
|
|||||
|
|
sin2 α |
|
д) Формулы сложения для тригонометрических функций
50
sin(α+β) =sinα cosβ+cosα sinβ; |
|
|
||||
sin(α−β) =sinα cosβ−cosα sinβ; |
|
|
||||
cos(α+β) = cosα cosβ−sinα sinβ; |
|
|
||||
cos(α−β) = cosα cosβ+sinα sinβ; |
|
|
||||
tg(α+β) = |
tgα+tgβ |
,α ≠ p |
+ pn,β ≠ p |
+ pn,(α+β) ≠ p |
+ pn,n Z; |
|
1−tgα tgβ |
||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
||
tg(α−β) = |
tgα−tgβ |
,α ≠ p |
+ pn,β ≠ p |
+ pn,(α−β) ≠ p |
+ pn,n Z; |
|
1+tgα tgβ |
||||||
|
2 |
2 |
2 |
|
ctg(α+β) = ctgα tcgβ−1,α ≠ pn,β ≠ pn,(α+β) ≠ pn,n Z; ctgα+ctgβ
ctg(α−β) = ctgα tcgβ+1,α ≠ pn,β ≠ pn,(α−β) ≠ pn,n Z. ctgα−ctgβ
е) Тригонометрические функции двойного и тройного аргумента
sin2α =2sinα cosα; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cos2α = cos2 α−sin2 α; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
tg2α = |
|
|
2tgα |
,α ≠ p |
+ pn |
,α ≠ p |
+ pn,n Z; |
|||||||||
1 |
−tg2α |
|||||||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||
ctg2α = |
ctg2α−1 |
,α ≠ |
pn |
,n Z; |
|
|||||||||||
2ctgα |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
sin3α =3sinα−4sin3 α; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
cosα =4cos3 α−3cosα; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
tg3α = |
|
3tgα−tg3α |
,α ≠ |
p |
(2n+1),n Z; |
|||||||||||
|
|
1−3tg2α |
6 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ctg3α = |
3ctgα−ctg3α |
,α ≠ |
pn |
,n |
Z. |
|||||||||||
1−3ctg2α |
|
3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж) Формулы половинного аргумента sin2 α2 = 1−cos2 α;
cos2 α2 = 1+cos2 α;
tg2 α2 = 11+−coscosαα,α ≠ p(2n+1),n Z;
51
ctg2 α2 = 11+−coscosαα,α ≠2pn,n Z;
tgα2 = 1+sincosαα = 1−sincosαα,α ≠ pn,n Z; ctgα2 = 1+sincosαα = 1−sincosαα,α ≠ pn,n Z
з) Формулы преобразования суммы и разности тригонометриче-
ских функций в произведение |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
sinα+sinβ =2sin |
α+β |
cos |
α−β |
; |
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
sinα−sinβ =2cos |
α+β sin α−β |
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
cosα+cosβ =2cos α+β cos α−β; |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
cosα−cosβ = −2sin α+β sin |
α−β; |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
sin(α+β) |
2 |
α ≠ p |
|
2 |
|
β ≠1p |
|
|
|
||||
tgα+tgβ = |
, |
( |
n− ),2 |
( |
n− |
), n Z2; |
|||||||||
cosαcosβ |
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
tgα−tgβ = |
sin(α−β) |
|
, |
α ≠ p |
( |
n− ),2 |
β ≠1p |
( |
n− |
), n Z2; |
|||||
|
|||||||||||||||
|
|
cosαcosβ |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
ctgα+ctgβ = sin(α+β) , α ≠ pn, β ≠ pn, n Z; sinαsinβ
ctgα−ctgβ = sin(α−β) , α ≠ pn, β ≠ pn, n Z; sinαsinβ
1+cosα =2cos2 α2;
1−cosα =2sin2 α2.
и) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму
sinα sinβ = 12(cos(α−β) −cos(α+β)); cosα cosβ = 12(cos(α+β) +cos(α−β)); sinα cosβ = 12(sin(α+β) +sin(α−β)).
52
к) Простейшие тригонометрические уравнения
Уравне- |
Формула решения |
Частные случаи |
|
|
|
Примечание |
||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x =0, åñëè x =pn; |
arcsin(−a) = −arcsin a |
|||||
sinx=a |
x =(−1)n arcsin a+pn |
sin x =1, åñëè x =p |
2+2pn; |
|||||
|
a |
|
≤1, n Z |
|||||
|
|
|||||||
|
|
sin x = −1, åñëè x = −p 2+2pn. |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x =0, åñëè x =p |
2+pn; |
arccos(−a) = p−arccosa |
||||
cosx=a |
x =±arccos a+2pn |
cos x =1, åñëè x =2pn; |
||||||
|
a |
|
≤1, n Z |
|||||
|
|
|||||||
|
|
cos x = −1, åñëè x =p+2pn. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx=a |
x =arctga+pn |
tgx =0, åñëè x =pn |
|
arctg(−a) = −arctga |
||||
|
a R, n Z |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctgx=a |
x =arcctga+pn |
ctgx =0, åñëè x =p |
2+pn |
arcctg(−a) = p−arcctga |
||||
a R, n Z |
||||||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
53