12.5. Механизм хрупкого разрушения.

Простейшая модель разрушения Гриффитса

Большую роль в разрушении реальных материалов имеют те или иные дефекты (неоднородность материала, поры, трещины, надрезы, поврежде-

ния поверхности). Особая роль среди этих дефектов принадлежит микро-

трещинам. При малых нагрузках эти трещины безопасны, так как не

289

обнаруживают тенденции к расширению. При больших нагрузках они мо-

гут оказаться неустойчивыми, способными к быстрому росту, слиянию друг с другом и образованию магистральных трещин, приводящих к разру-

шению конструкций. Есть много примеров катастрофического разрушения газопроводов, корпусов судов, мостов, самолетов, ракет в результате тре-

щинообразования. Это свидетельствует о недостаточности оценки проч-

ности с помощью традиционных подходов по упругому или пластическому состоянию конструкций.

В 1920 году Гриффитс в работе "Явление разрушения и течения твер-

дого тела" показал, что низкая реальная прочность хрупких материалов вызывается наличием трещин, приводящих к значительной концентрации напряжений.

Пусть тонкая пластинка из хрупкого материала равномерно растяги-

вается в одном направлении напряжениями . Трещину будем моде-

лировать математическим разрезом нулевой толщины. Пусть в пластине имеется такая трещина длиной , ориентированная перпендикулярно направлению растяжения (рис. 12.8). Длина трещины считается малой по сравнению с размерами пластинки Опыт показывает, что начиная с некоторого значения q_с трещина – разрез начинает расширяться или развиваться.

Рис. 12.8

На рис.12.9,а показана эпюра нормальных напряжений в сечении, сов-

падающем по направлению с трещиной, т.е. при y = 0, определяемая фор-

мулой:

(12.13)

290

При напряжение Вертикальное перемещение верх-

него края разреза или берега определяется формулой

(12.14)

т.е. разрез превращается в вытянутый эллипс (рис.12.9,б).

Можно с помощью указанного точного решения задачи мето­дами тео-

рии упругости показать, что при напряжения производят следую-

щую работу по раскрытию трещины (рис.12.9).

(12.15)

Если q достигает критического значения q_с , то трещи­на трогается и начинает развиваться. При этом произойдет освобождение упругой энер-

гии на величину Она должна превратиться в иной вид энергии, идущей на образование сво­бодной поверхности трещины. Гриффитс ввел понятие о поверх­ностной энергии натяжения. Обозначим удельное значе-

ние этой энергии через . Тогда поверхностная энергия трещины:

(12.16)

Рис. 12.9

Полная энергия

291

При равновесном расширении трещины

откуда получим формулу Гриффитса:

(12.17)

Эта формула при заданной длине трещины определяет крити­ческое напряжение q_с (рис. 12.9а), приводящее к расширению трещины. При

q < q_с длина трещины остается неизменной, пока не достигнуто значе-

ние q_с. После этого происходит ди­намический процесс развития трещины. Трещина Гриффитса явля­ется примером неустойчивой трещины.

Рис. 12.10

Из формулы (12.17) следует:

Величину

(12.18)

называют коэффициентом интенсивности напряжений. Величина k₁ явля-

ется константой, характерной для данного материала. Ее можно трактовать так же, как силу расширения трещин. Трещина начнет расширяться, если достигнет критического значения, как показал Ирвин (1957 г.).

При рассмотрении трещины Гриффитса предполагается, что материал остается идеально упругим, вплоть до разрушения. В действительности в процессе увеличения нагрузки наблюдается медленный рост трещины от

292

начальной длины (рис. 12.9,б). В вершине трещины в силу очень боль-

шой концентрации на­пряжений возникнет пластическая деформация. Зат-

рачиваемая на нее удельная работа для идеально хрупкого разру-шения. Например, для стали формула Гриффитса с уче­том пластической деформации может быть переписана в виде

,

откуда

(12.19)

Образование пластических зон около трещины препятствует ее разви-

тию. Эту способность называют трещиностойкостыо. Рассмотренный выше тип трещины называется трещиной отры­ва. Кроме рассмотренного типа трещин могут быть еще два ос­новных типа, называемых поперечной и продольной трещинами сдвига.

Рассмотрим случай (рис. 12.11,а) пластинки с трещиной поперечного сдвига, подвергающейся чистому сдвигу. Коэффи­циент концентрации нап-

ряжений в этом случае:

(12.20)

В случае трещины продольного сдвига при (рис.12.11,б) коэффициент интенсивности

(12.21)

Рис. 12.11

293

Для каждого из трех типов трещин критерий разрушения записывает-

ся в виде

(12.22)

где - критические значения коэффициентов интенсивности (12.18) –

(12.21) напряжений, являющиеся постоянными материала и характеризу-

ющие его трещиностойкость.

Критические значения коэффициентов подлежат эксперимента-

льному определению, наиболее опасной является трещина нормального отрыва, причем

Рассмотрим теперь не­однородное напряженное сос­тояние и малую окрестность точки О на конце трещины. Введем локальные полярные координаты для про­извольной точки А в окрес­тности точки О в плос-

кости трещины x₁ , x₂. Для на­пряжений в этой точке А в общем случае нагружения те­ла справедливо представление :

(12.23)

где К_m определены формулами (12.18) – (12.22).

Напряжения являются линей-

ной суперпозицией трех незави­симых состояний соответствующих трем основным типам трещин.

При все напряжения в вершине трещины .

Рис. 12.12

На самом деле напряжения ограничены, и у вершины возникают пластические зоны.

Функции дают угловое распределение напряжений, множи-

тель - радиальное. Следовательно, распределение напряжений в окрестности вершины трещины не зависит ни от размера, ни от формы раз-

реза-трещины, ни от геометрии тела, ни от величины и характера внешних сил. От всех этих величин зависят коэффициенты интенсивности ,

294

которые, в свою очередь, не зависят от координат . Таким обра­зом, коэффициенты полностью характеризуют перераспреде­ление от изменения отмеченных выше факторов, являясь их количественными характеристиками.

Конкретный вид зависимостей коэффициентов от внеш­них сил, геометрических характеристик тела и трещины опреде­ляются из решения конкретных задач методами теории упругости для тел с разрезами.

а) б) в)

Рис. 12.13

Рассмотрим несколько примеров, используемых в лаборатор­ном прак-

тикуме (рис.12.13). Здесь через обозначена базо­вая длина образцов меж-

ду захватами или опорами испытатель­ной установки, через 2h - длина над-

реза, - длина на­чальной трещины, создаваемой предварительным зна-

копеременным нагружением, t- толщина плоского образца, в - ширина образца.

Решение задач методами теории упругости приводит соот­ветственно к формулам для коэффициентов интенсив­ности напряжений:

(12.23)

295

В табл.12.1 приведены значения критических интенсивностей напряжений для некоторых материалов

Значения критических интенсивностей

для некоторых материалов

Таблица 12.1

Величина характеризует размер пластической зоны. Обы-

чно считают, что если , то материал обладает низкой трещино-стойкостью. Из таблицы видно, что ле­гированные стали, алюминиевые сплавы обладают низкой трещиностойкостью. В то же время стали низкой и средней прочности обладают высокой трещиностойкостью. Расчет на прочность материалов первого типа надежнее производить по условию:

(12.24)

где n - некоторый коэффициент запаса на трещиностойкость.

В целом раздел сопротивления материалов о хрупком разрушении (механика разрушения) бурно развивается и еще далек от завершения.