12.4. Теория прочности Мора (1860г.)

Согласно этой теории нарушение прочности происходит тог­да, когда на некоторой площадке с нормалью возникает наи­более неблагоприят-

ная комбинация нормального и касательного напряжений. Запишем это условие в виде

(12.8)

Чтобы сформулировать условие Мора (12.8 ) в терминах глав­ных

284

напряжений, воспользуемся кругами напряжений Мора.

Если , то мы можем в одной плоскости построить три

окружности Мора (рис. 12.3,а). Условие (12.8) изображается в этой плоскости некоторой кривой.

а) б)

Рис. 12.3

Если окружность большого круга Мора не касается предельной кри-

вой, как показано на рис. 12.3,а, то разрушения не произойдет. Если круг Мора коснется предельной кривой (рис. 12.3,б), то произойдет локальное разрушение. Следовательно, становится ясным, как построить предельную кривую . Необходимо провести несколько испытаний до раз-­рушения при различных однородных напряженных состояниях, т.е. раз-

личных сотношениях , а затем построить круги Мора. На рис. 12.4 построены три предельных круга Мора для случаев растяжения чистого сдвига и сжатия. Огибающая этих предельных окружностей и будет преде-

льной кривой. Наиболее просто построить предельные окружности Мора при растя­жении и сжатии (рис. 12.5, а). Проведем к ним касательную и допустим, что эта касательная служит предельной огибающей

Это внесет некоторую погрешность в наши рассуждения.

Рассмотрим теперь произвольную предельную окружность Мора, касающуюся предельной прямой огибающей (рис. 12.5,б). Из подобия треугольников АОВ и CDB следует:

CD:АО =СВ:АВ.

285

Рис. 12.4

Рис. 12.5

Поскольку

то

Так как отрезки АО , ОВ, АВ - фиксированы, то получаем связь между и в виде

В случае растяжения в предельном состоянии , и потому . В случае сжатия Следовательно, . Таким образом, условие разрушения по Мору

286

принимает вид:

(12.9)

Условие прочности для хрупких материалов по Мору принима­ет вид:

, (12.10)

где - допустимое напряжение на растяжение.

Для пластичных материалов ( ) условие (12.9) превращается в условие прочности по Сен-Венану. Отметим, что у некоторых пластичных материалов пределы текучести при растяжении и сжатии различны, т.е. . В этом случае условие Мора (12.9) преобразуется в условие пластичности для таких материалов:

(12.11)

Недостатком теории Мора является то, что она не учитыва­ет среднего главного напряжения , т.е. по существу обос­нована только для плос-

кого напряженного состояния.

Чтобы устранить этот недостаток, Шлейхером (1926г.) было предло-

жено считать, что предельное состояние (разрушение) достигается тогда, когда возникает наиболее неблагоприятная комбинация октаэдрических касательного и нормального напря­жений:

.

При приходим к условию пластичности Мизеса (прямая 1-1 на pис.12.6 ). В общем случае пре­дельная кривая является гладкой. Прямая 2-2 соответствует хрупкому разруше-

нию от всестороннего растяжения. Эта кривая задается некоторым анали-

тическим выражением, соответствующим экспериментальным данным.

В механике горных пород теория прочности Мора нашла широкое применение.

На рис. 12.7,а изображён круг напряжений Мора радиусом r произво-

льного предельного напряжённого состояния, а также круг Мора в преде-

льном состоянии для напряжённого состояния чистого сдвига.

287

Рис. 12.6

а)

б)

Рис. 12.7

288

Уравнение предельной прямой АВ представим в виде

где k называют коэффициентом сцепления горных пород, величину

Н – сопротивлением всестороннему растяжению, угол внутреннего трения.

Если , то среду называют идеально связной (металлы, бе-

тон, гранит и др.). Если k = 0, то среду называют сыпучей (сухой песок). Последняя совершенно не воспринимает растяжение (рис. 12.7,б).

Из подобия СДВ и OFB (рис. 12.5,в) находим:

,

или, с учётом

откуда

(12.12)

Величины

представляют собой параметры предельного состояния горной породы. Величина R может быть названа расчётным сопротивлением среды. Оба параметра R, a выражены через два других параметра предельного состо-

яния: сцепления среды k и угол внутреннего трения .

Определяем главные напряжения по формуле: