0_practice_AIG_02_09

Оглавление

Глава 1

Вспомогательный материал

Ÿ1. Комплексные числа

1.Мнимой единицей называется такое число i, что i2 = ¡1. Пусть x, y вещественные числа. Число z = x + iy называется

комплексным числом. Число x называется действительной частью

комплексного числа, y мнимой частью.

Два комплексных числа z1 = x1 + iy1 è z2 = x2 + iy2 равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т. е.

x1 = x2; y1 = y2:

Число 0 + i0 называется нулем и обозначается символом 0.

Пусть z1 = x1 + iy1, z2 = x2 + iy2.

1) Сумма комплексных чисел z1 è z2 комплексное число

z= (x1 + x2) + i(y1 + y2):

2)Разность комплексных чисел z1 è z2 комплексное число

z= (x1 ¡ x2) + i(y1 ¡ y2):

3)Произведение комплексных чисел z1 è z2 комплексное число

z= (x1x2 ¡ y1y2) + i(x1y2 + x2y1):

4)При делении комплексного числа z1 íà z2 получается комплексное число

Пример. Найдем сумму, разность и произведение комплексных чисел z1 = 2 + i è z2 = 1 ¡ i:

z3 = z1 + z2 = 2 + i + 1 ¡ i = 3;

z4 = z1 ¡ z2 = 2 + i ¡ (1 ¡ i) = 1 + 2i;

z5 = z1z2 = (2 + i)(1 ¡ i) = 2 ¡ 2i + i ¡ i2 = 3 ¡ i:

Заметим, что для чисел z1 = 2 + i è z2 = 1 ¡ i

x1 = 2; y1 = 1; x2 = 1; y2 = ¡1:

Подставляя эти выражения в формулу для частного, получим

Число z¹ = x ¡ iy называется сопряженным к числу z = x + iy.

Заметим, что

zz¹ = (x + iy)(x ¡ iy) = x2 + y2:

Формула деления комплексных чисел получается, если умножить числитель и знаменатель на число, сопряженное к знаменателю.

Пример. Найти вещественные числа x; y, если

(2 ¡ i)x + (3 + 2i)y = 3 + 2i:

Расскроем скобки и приведем левую часть уравнения к виду a + ib, где a и b вещественные числа, получим

(2x + 3y) + i(¡x + 2y) = 3 + 2i:

Приравняем действительные и мнимые части чисел, стоящих в правой и левой частях этого равенства. Получим систему из двух урав-

нений:

2x + 3y = 3; ¡x + 2y = 2:

Решая ее методом исключения, найдем x = 0, y = 1.

Задания для самостоятельной работы

1.1. Найти вещественные числа x; y из уравнения

(1 + 2i)x + (3 ¡ 5i)y = 1 ¡ 3i:

1.2. Решить систему уравнений относительно комплексных чи-

ñåë z1, z2

(3 ¡ i)z1 + (4 + 2i)z2 = 2 + 6i; (4 + 2i)z1 ¡ (2 + 3i)z2 = 5 + 4i:

1.3.*1) Решить уравнение

z4 ¡ 3z2 + 4 = 0:

1)Символом ¾*¿ будем отмечать относительно более сложные задания

Домашнее задание

1.4. Найти z1 + z2, z1 ¡ z2, z1z2, z1=z2, z¹1, z¹2, åñëè

z1 = 2 + 3i; z2 = 2 ¡ i:

1.5. Найти вещественные числа x; y; u; v из системы уравнений

(1 + i)x + (1 + 2i)y + (1 + 3i)u + (1 + 4i)v = 1 + 5i; (3 ¡ i)x + (4 ¡ 2i)y + (1 + i)u + 4iv = 2 ¡ i:

1.6. Решить систему уравнений относительно комплексных чи-

ñåë z1, z2

(2 + i)z1 + (2 ¡ i)z2 = 6; (3 + 2i)z1 + (3 ¡ 2i)z2 = 8:

1.7.* Решить уравнение

z4 + 2z2 ¡ 24z + 72 = 0:

2. Продолжим изучение алгебраических операций над комплекс-

ными числами.

p

Пример. Вычислим z = 2i. Будем искать решение в виде комплексного числа z = x + iy:

p

2i = x + iy:

Возведем обе части последнего равенства в квадрат, получим

2i = x2 + 2ixy ¡ y2:

Из условия равенства двух комплексных чисел получим систему двух уравнений

2xy = 2;

x2 ¡ y2 = 0:

Система решается методом подстановки. Из первого уравнения полу- чаем x = 1=y. Подставив это выражение во второе уравнение, полу- чим уравнение

y12 ¡ y2 = 0:

Таким образом, эта система имеет два решения

x = 1; y = 1 è x = ¡1; y = ¡1:

Отсюда первый корень z1 = 1 + i, второй корень z2 = ¡1 ¡ i.

Рис. 1. К тригонометрической форме комплексного числа.

Задания для самостоятельной работы

Домашнее задание

2.4p. Вычисëèòü: a)p ¡3 ¡ 4i, b)p¡11 + 60i,

c) ¡8 + 6i,

d)(1 + i)9=(1 ¡ i)7.

2.5. Решить уравнение z2 ¡ (3 ¡ 2i)z + (5 ¡ 5i) = 0.

3. Любое комплексное число z = x + iy можно записать в тригонометрической форме

z = ½(cos ' + i sin ');

ãäå p

½ = jzj = x2 + y2

есть модуль комплексного числа, ' аргумент комплексного числа. Угол ' отсчитывается от положительного направления оси x против часовой стрелки (см. рис. 1) и изменяется от 0 до 2¼. Тогда

x = ½ cos '; y = ½ sin ':

Пример. Представить в тригонометрической форме числа a) z = 1 + i,

b) z = ¡1 ¡ i.

Решение.

a) Пусть z = 1 + i. Найдем модуль этого числа

тогда аргумент ' = ¼=4, т. е. комплексное число z лежит в I четверти (сделайте рисунок!). Таким образом, тригонометрическое представление числа z будет

z= p2 ³cos ¼4 + i sin ¼4 ´:

b)Пусть z = ¡1 ¡ i. Модуль этого числа

pp

½ = x2 + y2 = 2:

тогда аргумент ' = 5¼=4, т. е. комплексное число лежит в III четверти (сделайте рисунок!). Таким образом, тригонометрическое представление числа z будет

Рассмотрим операции умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Пусть

Формулу (3.1) называют формулой Муавра.

Таким образом, (1 + i)25 = 27 + 27i.

Пример. Доказать, что

(1 + cos ® + i sin ®)n = 2n cosn ®2 ³cos n®2 + i sin n®2 ´:

Представим единицу в тригонометрической форме, а затем используем формулы суммы синусов и косинусов:

(1 + cos ® + i sin ®)n = (cos 0 + i sin 0 + cos ® + i sin ®)n =

Пример. Выразить cos 3x и sin 3x через cos x и sin x.

Пусть z = cos x + i sin x. Тогда z3 = cos 3x + i sin 3x. Следовательно, cos 3x = Re(z3), sin 3x = Im(z3). Расписав z3 с использованием бинома Ньютона и взяв вещественную и мнимую части, получим

cos 3x = 4 cos3 x ¡ 3 cos x;

sin 3x = 3 sin x ¡ 4 sin3 x:

8 Глава 1. Вспомогательный материал

Задания для самостоятельной работы

3.1. Представить в тригонометрической форме числа

a) i, p b) 1 + ip3, c) 2 ¡ i 3.

p

3.2. Вычислить выражение (1 ¡ i 3)(cos ' + i sin ').

2(1 ¡ i)(cos ' ¡ i sin ')

3.3.Описать множество точек, изображающих числа z, удовлетворяющих неравенствам:

à) jzj < 2,

b) jz ¡ ij · 1,

c) jz ¡ 1 ¡ ij < 1.

3.4.Вычислить (1 + i)6.

Домашнее задание

3.5. Представить в тригонометрической форме числа

a)¡1,

b)¡i,

c)¡1 + i,

d)1 ¡ i, p

e)¡1 + ip3,

f)¡1 ¡ i 3.

Ãp !20

3.7.Найти min j3 + 2i ¡ zj, считая jzj · 1.

3.8.Вычислить ¡1=2 ¡ ip3=2¢5.

p

Пример. Извлечь корень 3 i.

Пример. Вычислить:

a)S1 = 1=2 + cos x + cos 2x + ::: + cos nx;

b)S2 = sin x + sin 2x + ::: + sin nx:

Положим S = S1 + iS2. Тогда Re(S) = S1, Im(S) = S2. Преобразуем сумму S, объединяя cos nx и sin nx при разных n:

S = 12 + (cos x + i sin x) + (cos 2x + i sin 2x) + ::: + (cos nx + i sin nx):

Используя (3.1) и (4.1), получим

S = 12 + (cos x + i sin x) + (cos x + i sin x)2 + ::: + (cos x + i sin x)n =

+¡i(sin x cos nx + cos x sin nx) + i sin x = 1 ¡ cos x ¡ i sin x