0_practice_AIG_02_09

Если равенство (1.3) выполняется только при x = 0, то система векторов a1, a2, : : : , am является линейно независимой.

Системы векторов имеют следующие свойства.

1.Система, состоящая из одного вектора линейно зависима тогда

èтолько тогда, когда этот вектор равен нулю.

2.Система, состоящая из двух векторов a1 è a2, линейно зависима

тогда и только тогда, когда эти векторы, пропорциональны, то есть либо a1 = ®a2 для некоторого числа ®, либо a2 = ¯a1 для некоторого числа ¯ (если оба вектора отличны от нуля, то имеет место и первое

èвторое равенство).

4.Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, является линейно зависимой.

5.Любая подсистема линейно независимой системы векторов является линейно независимой.

6.Система, содержащая более одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда один из ее элементов является линейной комбинацией остальных.

Будем говорить, что вектор a 2 X линейно выражается через векторы b1, b2, : : : , bp, p > 1 (является линейной комбинацией этих векторов), если существует вектор x 2 Cp такой, что

Определитель матрицы A3 равен нулю, поэтому система (1.3) имеет ненулевое решение. Следовательно, система векторов a1, a2, a3 линейно зависима.

являются линейно независимыми в линейном пространстве C32 матриц размера 2 £ 3.

Нулевым элементом в пространстве C32 является нулевая матрица размера 2 £ 3. Составим линейную комбинацию (1.1) данных матриц и приравняем ее нулевому элементу:

Легко заметить, что после выполнения несложных преобразований, левая и правая части данного равенства будут матрицами размера 2 £ 3. Две матрицы равны тогда и только тогда, когда равны все соответствующие друг другу элементы матриц. Таким образом, имеем систему линейных однородных уравнений

Определитель данной системы не равен нулю, следовательно, по теореме Крамера система имеет только единственное нулевое решение, а это и означает, что векторы A1, : : :, A6 в линейном пространстве C32 являются линейно независимыми.

Пример. Доказать, что в линейном пространстве Q2 полиномов степени не выше второй, три полинома p1(x) = 1, p2(x) = x ¡ 1, p3(x) = (x + 3)2 являются линейно независимыми.

Нулевым элементом в пространстве Q2 является полином, тождественно равный нулю. Составим линейную комбинацию трех данных полиномов и приравняем ее нулевому элементу:

x1 ¢ p1(x) + x2 ¢ p2(x) + x3 ¢ p3(x) = 0:

Преобразуя данное соотношение, получаем

(x1 ¡ x2 + 9x3) + (x2 + 6x3)x + x3x2 = 0:

Это равенство справедливо для всех x 2 (¡1; +1) только в том случае, когда коэффициенты, стоящие при одинаковых степенях x равны нулю. Таким образом, приходим к следующей системе линей-

ных однородных уравнений

8

< x1 ¡ x2

: x2

Определитель данной системы не равен нулю, поэтому применяя теорему Крамера получаем, что данная система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = x3 = 0. Следовательно, система полиномов p1(x), p2(x), p3(x) является линейно независимой.

Пример. Доказать, что функции f1(x) = 1, f2(x) = x, f3(x) = sin x линейно независимы в линейном пространстве непрерывных функций C[a; b], где ¡1 < a < b < +1.

1 способ. Допустим, что данные функции линейно зависимы. Тогда существует их линейная комбинация, равная нулевому элементу:

x1 + x2 ¢ x + x3 ¢ sin x ´ 0;

для произвольного значения x 2 [a; b], причем хотя бы один из коэффициентов x1, x2 è x3 не равен нулю.

Продифференцировав это тождество два раза, приходим к следующей системе линейных однородных уравнений относительно неизвестных x1, x2 è x3:

Определитель ¢ данной системы

не равен нулю для всех x 2 [a; b]. Поэтому из теоремы Крамера следует, что система уравнений имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = x3 = 0. Получили противоречие с тем, что хотя бы один из коэффициентов x1, x2 è x3 отличен от нуля. Следовательно, функции f1(x), f2(x), f3(x) являются линейно независимыми.

2 способ. Составим линейную комбинацию функций f 1(x), f2(x), f3(x):

Определитель полученной системы не равен нулю, поэтому из теоремы Крамера следует, что система имеет единственное решение x1 = x2 = x3 = 0. Таким образом, данные функции являются линейно независимыми.

Пример. Выяснить, при каких натуральных значениях n система функций f1(x) = log x, f2(x) = log 2x, f3(x) = log 3x, : : :,

fn(x) = log nx является линейно зависимой в пространстве непрерывных функций C[a; b], где 0 < a < b < +1.

Пусть n = 1, тогда система векторов состоит из одной функции f1(x) = log x. Поскольку f1(x) 6= 0 для всех x 2 [a; b], то по свойству 1 система функций является линейно независимой.

Пусть n = 2, тогда система содержит две функции f 1(x) = log x è f2(x) = log 2x. Очевидно, что функции f 1(x) è f2(x) не являются пропорциональными, поэтому из свойства 2 следует, что при n = 2 система функций также является линейно независимой.

Пусть n = 3, тогда составляя линейную комбинацию функций

x1f1(x) + x2f2(x) + x3f3(x) = 0;

имеем

Продифференцируем равенство (1.7) два раза, получим следую-

Очевидно, что определитель системы (1.8) равен нулю, поэтому, су-

ществует ненулевое решение, а это и означает, что система функций f1(x), f2(x), f3(x) является линейно зависимой.

Если n ¸ 3, то система f1(x), f2(x), f3(x), : : :, fn(x) содержит линейно зависимую подсистему из трех функций f 1(x), f2(x), f3(x) и, следовательно, по свойству 3 является линейно зависимой.

Пример. Известно, что вектор a4 = (1; 5; 1) линейно выражается через векторы a1 = (1; ¡1; 1), a2 = (1; 2; 2), a3 = (2; 1; 4). Найти

линейное выражение a4 через a1, a2, a3.

Вектор a4 линейно выражается через систему векторов a1, a2, a3, если существуют такие числа x1, x2, x3, что имеет место равенство

x1a1 + x2a2 + x3a3 = a4:

Это равенство можно рассматривать как уравнение относительно неизвестных x1, x2, x3 с векторными коэффициентами. После подстановки числовых данных в это уравнение, имеем

Векторы слева умножим на соответствующие числа и сложим, получим следующую систему линейных уравнений относительно неизвестных x1, x2, x3:

этого выпишем ее расширенную матрицу и выполним необходимые элементарные преобразования:

2.4. Исследовать на линейную зависимость системы функций в пространстве всех непрерывных функций C[a; b], где ¡1 < a < b <

+1:

a) f1(x) = ex, f2(x) = e2x, f3(x) = e3x;

b) f1(x) = cos(x + 1), f2(x) = cos(x + 2), f3(x) = cos(x + 3).

2.5. Выяснить, при каких натуральных значениях n система функций f1(x), f2(x), : : :, fn(x) является линейно зависимой в пространстве непрерывных функций C[a; b], где ¡1 < a < b < +1:

2.7*. Доказать, что данные векторы являются линейно независимыми

e1 = (1 0 : : : 0 ¡ 1); e2 = (0 1 : : : 0 ¡ 1); : : : ; en¡1 = (0 0 : : : 1 ¡ 1)

в пространстве строк с n элементами такими, что сумма элементов равна нулю.

2.8*. Доказать, что данные векторы являются линейно независи-

ìûìè

p1(x) = x; p2(x) = x2; : : : ; pn(x) = xn

в пространстве Qn полиномов p(x), степень которых не превосходит n и которые удовлетворяют условию p(0) = 0.

2.9*. Доказать, что следующие ситемы функций линейно независимы для любого натурального n в линейном пространстве всех

непрерывных функций C[a; b], где ¡1 < a < b < +1: a) f1(x) = ex, f2(x) = e2x, f3(x) = e3x, : : :, fn(x) = enx;

b) f1(x) = cos x, f2(x) = cos 2x, f3(x) = cos 3x, : : :, fn(x) = cos nx; c) f1(x) = sin x, f2(x) = sin 2x, f3(x) = sin 3x, : : :, fn(x) = sin nx; d) f1(x) = cos x, f2(x) = cos2 x, f3(x) = cos3 x, : : :, fn(x) = cosn x; e) f1(x) = sin x, f2(x) = sin2 x, f3(x) = sin3 x, : : :, fn(x) = sinn x.

Домашнее задание

2.10. Исследовать на линейную зависимость в пространстве R3

Ÿ 3. Евклидовы пространства

Будем говорить, что на вещественном линейном пространстве X введено скалярное произведение, если каждой паре элементов x; y этого пространства поставлено в соответствие вещественное число (x; y), и при этом выполнены аксиомы скалярного произведения, задаваемые следующими соотношениями

1)(x; x) > 0 для любого x 2 X, равенства (x; x) = 0 и x = 0 эквивалентны;

2)(x; y) = (y; x) для любых x; y 2 X;

3)(®x + ¯y; z) = ®(x; z) + ¯(y; z) для любых x; y; z 2 X и любых ®; ¯ 2 R.

Если на линейном вещественном пространстве X введено скалярное произведение, его называют вещественным евклидовым пространством.

Будем говорить, что на комплексном линейном пространстве X введено скалярное произведение, если каждой паре элементов x; y этого пространства поставлено в соответствие, вообще говоря, комплексное число (x; y), и при этом выполнены аксиомы скалярного произведения, задаваемые соотношениями

1)(x; x) > 0 для любого x 2 X, равенства (x; x) = 0 и x = 0 эквивалентны;

2)(x; y) = (y; x) для любых x; y 2 X, напомним, что черта озна- чает переход к комплексно сопряженному числу, и отметим, что в отличие от вещественного евклидова пространства скалярное произведение в комплексном евклидовом пространстве некоммутативно;

3)(®x + ¯y; z) = ®(x; z) + ¯(y; z) для любых x; y; z 2 X и любых ®; ¯ 2 C.

Если на линейном комплексном пространстве X введено скалярное произведение, его называют комплексным евклидовым (унитарным) пространством.

Пример. Может ли скалярное произведение в пространстве Rn, если n = 2, n = 3, задаваться следующей функцией от координат векторов: (x; y) = x1y1 + 2x2y2?

Рассмотрим случай двумерного векторного пространства R2. Проверим аксиомы скалярного произведения:

1)(x; x) = x1x1 + 2x2x2 = x21 + 2x22 > 0. Из данного неравенства видно, что равенство нулю возможно только тогда, когда x1 = x2 = 0,

àзначит вектор x = 0, если x 2 R2.

2)(x; y) = x1y1 + 2x2y2. Заметим, что (y; x) = y1x1 + 2y2x2. Так как умножение вещественных чисел коммутативно, то (x; y) = (y; x).

3) По свойству векторов ®x + ¯y = (®x1 + ¯y1; ®x2 + ¯y2). Тогда

(®x + ¯y; z) = (®x1 + ¯y1)z1 + 2(®x2 + ¯y2)z2 = ®(x1z1 + 2x2z2) + ¯(y1z1 + 2y2z2) = ®(x; z) + ¯(y; z).

Все три аксиомы выполнены, а значит, определенное таким образом число является скалярным произведением в R2.

Рассмотрим случай трехмерного векторного пространства R3. Проверим аксиомы скалярного произведения:

1) Из неравенства (x; x) = x1x1 + 2x2x2 = x21 + 2x22 > 0 видно, что равенство нулю возможно только тогда, когда x1 = x2 = 0, ïðè

ýòîì, åñëè x 2 R3, òî x3 может быть любым вещественным числом.

Откуда (x; x) = 0, когда x = (0; 0; x3) =6 0.

Таким образом, первая аксиома не выполняется, и определенное таким образом число не является скалярным произведением в R3 (остальные аксиомы можно не проверять).

Задания для самостоятельной работы

1.1. Может ли скалярное произведение в пространстве R2 задаваться следующей функцией:

a) 3x1y1 + 2x1y2 + x2y1 + x2y2, b) x1y1 + x2?

1.2. Пусть n фиксированный ненулевой вектор в геометриче- ском пространстве V3. Сопоставим произвольной паре векторов x; y число jxjjyj. Можно ли принять такую функцию за скалярное произведение?

1.3. Пусть jxj длина вектора x в вещественном евклидовом пространстве. Доказать, что (x; y) = 14 (jx + yj2 ¡ jx ¡ yj2).

Pm Pn

xj;kyj;k определяет

j=1 k=1

скалярное произведение в пространстве Cm£n вещественных матриц размера m £ n.

1.5. Следом квадратной матрицы A размера n £ n называется

Pn

число tr A = aj;j. Может ли в пространстве квадратных матриц

j=1

порядка n число (X; Y ) = tr XY определять скалярное произведение?

1.6.Рассматривается пространство квадратных матриц порядка n, и каждой паре матриц сопоставлено число F (x; y) = jXY j. Может ли такая функция быть принята за скалярное произведение?

1.7.В линейном пространстве многочленов степени не выше n двум многочленам P и Q сопоставлено число (P; Q) сумма произ-