Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0_practice_AIG_02_09

.pdf

Скачиваний:

110

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

607.26 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

60	Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

			x1		x2
Решение. Пусть B = µ x3					x4 ¶ матрица, перестановочная с
матрицей A, т. е. выполнены равенства:
				AB = BA:				(1.7)
Имеем
AB = µ	1 2	x1 x2		¶	x1 + 2x3	x2 + 2x4	¶;
AB = µ	3 4 ¶µ x3		x4	¶	= µ 3x1 + 4x3 3x2 + 4x4		¶;	(1.8)
	x1 x2	¶µ	1 2	¶	x1 + 3x2	2x1 + 4x2	¶:
BA = µ x3 x4		¶µ	3 4	¶	= µ x3 + 3x4	2x3 + 4x4	¶:	(1.9)

Используя (1.8), (1.9), равенство (1.7) перепишем в виде:
½	x	+	x	¡	x		=	0;
½	3x12	¡	2x33	¡		4	=	0:	(1.10)

Пусть x3 = 3a, x4 = b, тогда x1 = b ¡ 3a, x2 = 2a, в результате
получим	µ b ¡3a3a 2ba	¶;
B =

где a, b произвольные числа.

4. Найти методом присоединенной матрицы матрицу, обратную к

данной:	0	4	5	6	1	:
A =
	@	1	2	3	A
		7	8	0

Решение. Сначала найдем jAj определитель матрицы A:

jAj = 1 ¢ 5 ¢ 0 + 2 ¢ 6 ¢ 7 + 4 ¢ 8 ¢ 3 ¡ 7 ¢ 5 ¢ 3 ¡ 4 ¢ 2 ¢ 0 ¡ 8 ¢ 6 ¢ 1 =

= 84 + 96 ¡ 105 ¡ 48 = 27:

Теперь найдем алгебраические дополнения ко всем элементам матрицы A:

A11

= (¡1)1+1 ¢

= ¡48;

A12

= (¡1)1+3 ¢ ¯

= 42;

A13

= (¡1)

1+3

= ¡3;

A21

= (¡1)

2+1

= 24;

¢ ¯

Ÿ 2. Алгебра матриц	61

A22 = (¡1)2+2 ¢

¯ = ¡21;

A23 = (¡1)2+3 ¢ ¯

= 6;

A31 = (

3+1

A32 = (

3+2

5 6

4 6

¯= 6;

¢ ¯

3+3

A¯33 = (¯

Запишем присоединенную матрицу:¯

= (

ij)

¡48

¡3

= @ ¡3

6 ¡3 A

Теперь найдем обратную матрицу:

¡6 1:

A¡1 = A A = 27

0 ¡42 ¡21

¢ e

@ ¡3

6 ¡3 A

j j

Сделаем проверку:

¡6 1 0 4 5 6 1

= 0

0 1 0 1

A¡1 A = 27

0 ¡42 ¡21

;

¢ @ ¡3

6 ¡3 A ¢

@ 7 8 0 A @ 0 0 1 A

A A¡1 = 27

0 4

5 6

1 0 ¡42 ¡21

¡6 1

= 0

0 1 0 1

¢ @ 7

A ¢ @ ¡3

6 ¡3 A @ 0 0 1 A

8 0

Задания для самостоятельной работы

1.1. Найти произведения матриц A ¢ B и B ¢ A (если они суще-

ствуют) и проверить являются ли матрицы перестановочными:
a) A =	0		5	¡6		¡7 8			1,		B =			0	¡2		1	0	¡9	1.
	B		1		2	3		4	C					B	6		5	4	3	C
	B	¡3			4	5	¡	6	C			4		B	4	¡	3	¡2	1	C
	@		9		0	1	¡	2	A			4		@	8	¡	7	6	5	A
			9		0	1		2							8		7	6	5
b) A =	µ	¡	1 2 1			; B = 0					¡¡3		1.
			2	0	3
1.2. Найти матрицу µ								0	1	¶ .

Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

1.3. Найти все матрицы, перестановочные с матрицей

A =

¡¡2

¶.

1.4. Может ли при умножении ненулевых матриц получиться ну-

левая матрица?

1.5. Верны ли равенства:

1) (

B)T

2) (

) ¢ (

) =

2¡

3) (A + I)

2= A

2+ 2A + I?

4) (AT+TB) ¢ (A ¡ B) = A

¡ B

5) (A + B)

= A + 2AB + B

6) (A ) = A?

1.6. Найти обратную матрицу методом присоединенной матрицы:

a) 0 1 2 ¡1 1

; b)

0 4 5 6 1; c) 0 4 ¡¡5 2 1:

@ 2 2

4 A @ 7 8 9 A @ 5 ¡7 3 A

1.7. Решить матричные уравнения:

µ ¡0 1

¢ X = µ

¡1 3

;

¶ = µ ¡2 4 ¶.

µ ¡0 2 ¶

¢ X ¢

µ ¡0 0; 5

0; 5

Домашнее задание

1.8. Найти произведения матриц A ¢ B и B ¢ A (если они суще-

ствуют) и проверить являются ли матрицы перестановочными:

a) A =

¡0

; B = 0

¡3 0

b) A =

3 9 4

B =

¡5

¡3 1

1 5 3

6 ¡3 ¡3

1.9. Найти линейные комбинации матриц:

a) A ¸I,

A =

4 0

¡5 1,

¡72¡85A3

B = 0

0 2

b) 4A ¡ 7B,

A = 0

¡0 ¡3 1

¡8 1 3

¡0

1.10. Найти все @

¡1

¡2

A = µ ¡2

¡2

¶.

матрицы, перестановочные с матрицей

Ÿ 3. Метод Гаусса																				63

	1.11. Найти обратную матрицу, вычислив присоединенную:
a) 0 2 3 1 1						; b) 0			2 ¡4 ¡3 1; c)						0	1 ¡3 ¡2			1	:
		3	2		1		@		3		4	2			@	5	3	1	A
	@				A		@						A		@	¡5			A
		2	1		3				1		5	1				¡5	2	1
	1.12. Решить матричные уравнения:
a) X		0		3 2 ¡¡4			1	= 0			2	¡2 ¡1 1;
				1	2	3					1		3	0
	0	¢1@22 3¡1				0 A			1@		¡1 ¡2			4 A
b)	0	2	4 6 1 ¢ X = 0						2	1,					1	2 3
	@	1	6	2	A3		@			1A2 3					1	2 3
	0	3	6	9		1			10				1 =	0			1.
c)	0	2	¡3 ¡1			1	X	¢	0	4 5 6			1 =	0	4	5 6	1.
	@	0	¡2		1	A ¢		¢	@	7 8 0			A @		7	8 0	A

Ÿ3. Метод Гаусса

1.Рассмотрим крамеровскую систему уравнений Ax = b, где

		a11	a12	a13	:::	a1n	1
A =	0 a21		a22	a23	:::	a2n	1
	@	:::	:::	:::	:::	:::	A
	B an1		an2	an3	:::	ann	C

есть заданная невырожденная матрица, b = (b1; b2; ::; bn)T заданный столбец правой части, вектор x = (x1; x2; :::; xn)T надо найти. Для того, чтобы решить эту систему, можно воспользоваться:

²методом Крамера;

²методом вычисления обратной матрицы, тогда x = A¡1b;

²методом Гаусса.

Метод Гаусса состоит из двух последовательных этапов: прямого и обратного хода. Опишем прямой ход.

1. Обозначим элемент, стоящий в первой строке матрицы на главной диагонали, символом a11.

1.1 Пусть a11 =6 0. Тогда из всех остальных строк вычтем первую строку матрицы A, умноженную на такие числа, чтобы в первом столбце во всех строках, начиная со второй были нули. Те же действия произведем с вектором b.

64	Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

1.2 Пусть a11 = 0. Найдем в первом столбце матрицы элемент отличный от нуля (допустим, это элемент aj1). Поменяем в матрице A 1-ую и j-ую строки местами. Поменяем в столбце b 1-й и j-й элемент местами. Выполним пункт 1.1.

2.Обозначим элемент, стоящий во второй строке матрицы A на глав-

ной диагонали, сиволом a022. Åñëè a022 6= 0, вычтем из всех строк вторую строку матрицы A, умноженную на такие числа, чтобы во вто-

ром столбце во всех строках, начиная с третьей были нули. Те же

действия произведем с вектором b. Если a022 = 0, найдем во втором столбце матрицы элемент отличный от нуля и поменяем две соответствующие строки местами. Далее обнулим все элементы второго столбца, начиная с третьей строки.

3.Аналогичные действия повторим для остальных строк матрицы. Таким образом, мы приведем матрицу к треугольному виду. По-

лучится следующая система уравнений:

0 b20

a220

a230

:::

a20

10 x2

a110

a120

a130

:::

a10

b10

a330

:::

a30

b30

:::

ann0

CB xn

B bn0

:::

B :::

CB :::

B :::

C: (1.1)

Обратный ход метода Гаусса. Из системы (1.1) последовательно, начиная с последней строки, будем выражать неизвестные.

	xn = bn0 =ann0 ;
	xn¡1 = (bn0				¡1 ¡ an0 ¡1;nxn)=an0 ¡1;n¡1;
	:::;
						n
	xj	= Ãbj0 ¡ l=j+1 aj;l0 xl!=aj;j0 ;
	::::					P
Пример 1. Решить методом Гаусса систему уравнений:
		2x1 +			3x2		+ 5x3	= 10;
		3x1 +			7x2		+ 4x3	= 3;
	0	x1		+	2x2		+ 2x3	= 3:	0		1
Матрица A =	0	3	7	4	1	; заданный вектор b =			0	3	1	:
		2	3	5						10
		1	2	2						3

	метода Гаусса. Элемент матрицы a			отличен от ну-
Прямой ход	@	A	11	@	A
ля. Обнулим за	счет этого элемента элементы первого столбца, рас-

Ÿ 3. Метод Гаусса																65

положенные во второй и третьей строке. Для этого из второй стро-
ки матрицы вычтем первую, умноженную на 3=2, из третьей строки
матрицы вычтем первую, умноженную на 1=2. Те же действия произ-
водим со столбцом b. После выполненных действий получим матрицу
@	2		3		5	A					@	10	A
@	Удобно					A	и вектор правой части				@	¡12	A	:
0	0	5=2		¡7=2		1	и вектор правой части				0	¡12	1	:
	0	1=2		¡1=2								¡2
					записывать преобразование над строками матрицы и век-
тором правой части в следующем виде:
0 3		7	4		3 1 v		0 0	5=2	¡7=2	¡12 1 v 0 0 5=2					¡7=2	¡12 1	:
	2	3	5		10		2	3	5	10		2		3	5	10
@ 1		2	2		3 A @ 0			1=2	¡1=2	¡2 A @ 0				0	1=5	2=5 A
@ 1		2	2		3 A @ 0			1=2	¡1=2	¡2 A @ 0				0	1=5	2=5 A

Обратный ход. Из последнего уравнения получим

1=5x3 = 2=5;

откуда

x3 = 2:

Из второго уравнения найдем x2:

x2 = (¡12 + 7=2 ¢ x3) ¢ 2=5 = ¡2:

Из первого уравнения найдем x1:

x1 = (10 ¡ 5x3 ¡ 3x2)=2 = 3:

Пример 2. Решить методом Гаусса систему уравнений:

	x1		+ x2		+ x3		+ x4	= 2;
	2x1		+	2x2				= 2;
	x1		+ 2x2 + 2x3 + x4					= 0;
	x1		+ 3x2 ¡ x3					= 0:	0		1.
Матрица A =	0	2	2	0	0	1; заданный вектор b =			0	2	1.
	B	1	1	1	1	C			B	2	C
	B	1	3	¡1	0	C			B	0	C
		1	2	2	1					0

Прямой ход метода Гаусса. Элемент матрицы a		11	отличен от
@	A		@ A

нуля. Обнулим за счет этого элемента элементы первого столбца, расположенные во второй, третьей и четвертой строке. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2; из третьей и

66					Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

четвертой строки вычтем первую строку. Те же действия произво-
дим со столбцом b. После выполненных действий получим матрицу
0	0	0	¡2		¡2		1 и вектор правой части								0	¡2		1.
B	1	1		1		1	C								B		2	C
B	0	2	¡	2	¡	1	C								B	¡2		C
@	0	1	¡	1	¡	0	A								@	¡		A
	0	1		1		0											2
	В полученной матрице элемент a220 = 0. Найдем во втором столбце
полученной матрицы элемент отличный от нуля. Это элемент a320 , ïî-
этому поменяем местами вторую и третью строку в матрице и столбце
b. Получим матрицу								0	0	1		1	0	1.
								B	1	1		1	1	C
								B	0	2	¡2		¡1	C
									0	0	¡	2	2
											¡		¡
	Теперь вычтем из@четвертой												строки вторую, умноженную на 2.
	Теперь вычтем из@четвертой													A
Таким образом получим:
0 0		1		1		0	¡2 1 0				0 1		1	0	¡2 1 0 0 1						1	0	¡2 1			:
B	1	1		1		1	2	C	» B		1	1	1	1		2	C	» B	1	1	1	1		2	C
B	0 2		¡2		¡1		¡2	C	» B		0 0		¡4	¡1	¡2		C	» B	0 0		¡0	¡3		¡6	C
@	0	0	¡ ¡				¡	A @			0	0	¡ ¡			2	A	@	0	0	2	2		2	A
	0	0		2		2	2				0	0	2	2		2			0	0	2	2		2

Обратный ход. Из последнего уравнения получим

3x4 = 6;

откуда

x4 = 2:

Из третьего уравнения найдем x3:

x3 = (¡2 + 2¢2)=(¡2) = ¡1:

Из второго уравнение найдем x2:

x2 = ¡2 ¡ (¡1) = ¡1:

Из первого уравнения найдем x1:

x1 = 2 + 1 + 1 ¡ 2 = 2:

Задания для самостоятельной работы

Решить системы уравнений методом Гаусса:

5x1 ¡ 6x2 + 4x3 = 3;

1.1.3x1 ¡ 3x2 + 2x3 = 2; 4x1 ¡ 5x2 + 2x3 = 1:

Ÿ 3. Метод Гаусса								67

	2x1	+ 2x2 ¡		x3	+ x4		= 4;
1.2.	4x1	+ 3x2	¡	x3	+	2x4	=	6;
	8x1	+ 5x2	¡ 3x3		+ 4x4		= 12;
	3x1	+ 3x2	¡ 2x3		+	2x4	=	6:

2x1

+ 5x2 +

4x3 + x4

= 20;

1.3.

+ 3x2 +

2x3 + x4

= 11;

2x1

10x2 +

9x3 + 7x4

= 40;

3x1

+ 8x2 +

9x3 + 2x4

= 37:

7x1

+ 9x2

+ 4x3

+ 2x4

¡ 2 = 0;

1.4.

2x1

¡ 2x2

¡ 6 = 0;

5x1

+ 6x2

+ 3x3

+ 2x4

¡ 3 = 0;

2x1

+ 3x2

+ x3

+ x4

= 0:

2x1

¡ x2

¡ 6x3 + 3x4 + 1

= 0;

1.5.

7x1

¡ 4x2 + 2x3

¡ 15x4

+ 32

= 0;

¡ 2x2

¡ 4x3 + 9x4 ¡ 5

= 0;

¡ x2 + 2x3

¡ 6x4 + 8

= 0:

x1 + x2

+ x3

+ x4

+ x5

= 15;

x1 +

2x2

+ 3x3

+ 4x4

+ 5x5

= 35;

1.6.

3x2

6x3

10x4

+ 15x5

70;

4x2

+ 10x3

20x4

+ 35x5

126:

5x2

15x3

35x4

+ 70x5

210:

Домашнее задание

Решить системы уравнений методом Гаусса:

	4x1	¡ 3x2		+ 2x3 = ¡4;
1.7.	6x1	¡ 2x2		+ 3x3 = ¡1;
	5x1	¡ 3x2		+ 2x3	= ¡3:
	5x1	+ 2x2		+ 3x3	= ¡2;
1.8.	2x1	¡ 2x2		+ 5x3		=	0;
	3x1	+ 4x2		+ 2x3	= ¡10:
	2x1	+ 3x2		+ 11x3		+ 5x4 = 2;
1.9.	x1	+ x2		+ 5x3		+ 2x4 = 1;
	2x1	+ x2		+ 3x3		+ 2x4 = ¡3;

	x1	+ x2		+ 3x3		+ 4x4 = ¡3:
	3x1 +		4x2 + x3 + 2x4 = ¡3;
1.10.	3x1	+	5x2	+ 3x3 +			5x4 = ¡6;
	6x1 +		8x2 + x3 + 5x4 = ¡8;
	3x1 +		5x2 + 3x3 + 7x4 = ¡8:

68	Глава 3. Системы линейных уравнений, матрицы, определители

6x1

1.11.9x1

3x1

2x1

1.12.x1

3x1

2x1

1.13.3x1

2x1 x1


+ 5x2	¡ 2x3 +			4x4 + 4				= 0;
¡ x2	+ 4x3 ¡ x4				¡ 13			= 0;
+ 4x2	+ 2x3 ¡ 2x4				¡ 1			= 0;
¡ 9x2			+	2x4	¡ 11			= 0:
+ x2	+ 4x3	+ 8x4			= ¡1;
+ 3x2	¡ 6x3	+		2x4	= 3;
¡ 2x2	+ 2x3	¡ 2x4			= 8;
¡ x2	+ 2x3				=		4:
+ 2x2	+ 3x3		+ 4x4 +					5x5	= 2;
+ 3x2	+ 7x3		+ 10x4			+	13x5		= 12;
+ 5x2	+ 11x3		+ 16x4			+	21x5		= 17;
¡ 7x2	+ 7x3		+ 7x4			+		2x5	= 57:
+ 4x2	+ 5x3		+ 3x4			+	10x5		= 7:

Глава 4

Векторные пространства

Ÿ1. Линейные пространства

1.Говорят, что множество X является вещественным линейным пространством, если для любых элементов x; y 2 X определена операция сложения, т. е. определен элемент z = x + y 2 X, называемый суммой элементов x; y; для любого элемента x 2 X и любого вещественного числа ® определен элемент ®x 2 X, называемый произведением ® и x. Предполагается, что для этих двух операций выполнены

аксиомы линейного пространства:

1) x + y = y + x коммутативность операции сложения;

2) (x+y)+z = x+(y+z) ассоциативность операции сложения; 3) существует единственный элемент 0 2 X такой, что x + 0 = x для любого элемента x 2 X; элемент 0 называют нулевым элементом

пространства X;

4) для любого элемента x 2 X существует единственный элемент x0 такой, что x+x0 = 0; элемент x0 называют противоположным элементу x;

5) ®(x + y) = ®x + ®y дистрибутивность по сложению векторов;

6) (® + ¯)x = ®x + ¯x дистрибутивность по сложению скаляров;

7) (®¯)x = ®(¯x) ассоциативность по умножению скаляров; 8) 1x = x нейтральность единичного скаляра.

Если в определении линейного пространства взять комплексные числа ®; ¯, то множество X называется комплексным линейным пространством.

Приведем некоторые важные примеры линейных пространств.

1.Множество всех векторов трехмерного линейного пространства с введенными обычным образом линейными операциями вещественное линейное пространство. В дальнейшем будем обозначать это пространство через V3.

2.Вещественное пространство Rn множество всех упорядоченных наборов вещественных чисел вида

x = (x1; x2; : : : ; xn);

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.11.2019395.26 Кб7008) часть II (ВГД).doc
#
22.11.201967.49 Кб7408.10.docx
#
16.11.2019327.68 Кб6309) часть III.doc
#
10.02.2015582.86 Кб5209.11.17-pasport.pdf
#
17.04.2019649.22 Кб1760909.doc
#
10.02.2015607.26 Кб1100_practice_AIG_02_09.pdf
#
10.02.2015909.82 Кб910_Введение_сент_9_2008.doc
#
10.02.2015121.42 Кб5371 (1).docx
#
10.02.2015107.01 Кб941 вопрос.doc
#
10.02.20151.26 Mб931 ЖУРНАЛИСТИКА 1855 - 1870.pdf
#
12.03.20155.09 Mб1031 Загрузка исходных данных.docx