0_practice_AIG_02_09

100 Ответы и указания

2:5: Указание. Отметим, что в каждой строке определителя находятся исходные числа, разбитые по разрядам. Умножим первый столбец с разрядом сотен на 100, умножим второй столбец с разрядом десятков на 10 и прибавим их к третьему столбцу с разрядом единиц. Получит-

2.1.Векторная алгебра

1.1.a) (¡1; 13; 10), b) (¡4; 30; ¡17).

1.2.Указание. Рассмотреть линейную комбинацию этих векторов, подобрав соответствующим образом коэффициенты.

1.3.a) Да, так как векторы некомпланарны (используйте критерий компланарности векторов). b) Нет.

1.4.Векторы образуют базис, так как они некомпланарны. Координаты векторов m, l, k в этом базисе соответственно (9=23; 27=23; 29=23),

(0; 2; 0), (¡8=9; 1=3; ¡29=9).

1.5. Векторы p + q и p ¡q коллинеарны тогда и только тогда, когда p и q коллинеарны.

1.6. Медианы, например, равны p + 12q, 12(q ¡ p), ¡q ¡ 12p. Указа-

ние. Достроить треугольник до параллелограмма и найти медиану треугольника как половину диагонали параллелограмма.

1.7.Указание. Сделать рисунок: построить параллелограмм на векторах x и y и добавить все необходимые векторы.

1.8.Векторы a и b перпендикулярны. Указание. Строим параллелограмм на векторах a и b. Тогда a + b и a ¡ b диагонали параллелограмма.

1.9.a) Так как координаты векторов a1 è a2 пропорциональны, то

эти векторы коллинеарны. Поскольку a2 = ¡12a1, то векторы a1 è a2

противоположно направлены. Векторы a1 è a3 также коллинеарны. Векторы a1 è a3 одного направления, так как a3 = 2a1.

b) Сравнивая координаты векторов a4, a5, a6 с координатами векторов i1, i2, i3, заключаем, что вектор a4 параллелен оси x1, вектор a5 îñè x2, вектор a6 îñè x3.

c) Поскольку у вектора a7 координата x1 = 0, т. е. его проекция на ось x1 равна нулю, то вектор a7 перпендикулярен оси x1 и, следовательно, параллелен плоскости x2x3. Аналогичным образом заключаем, что

вектор a8 параллелен плоскости x1x3, а вектор a9 плоскости x1x2. Из решения данной задачи можно сделать следующие выводы. 1) Если одна из координат вектора равна нулю, то вектор перпендикулярен соответствующей координатной оси. 2) Если вектор имеет только одну отличную от нуля координату, то он параллелен соответствующей координатной оси.

1.10.a) (¡48; 42; 32), b) (¡19; 40; ¡26).

1.11.a)(¡2=9; ¡44=18; 5=9), (29=30; 105=72; ¡15=36), b)(1=4; ¡1; 11=12), (1=8; ¡1=2; ¡1=24).

1.12.® = 0, ¯ = ¡1, ° = ¡4. Указание. Составьте и решите соответствующую систему линейных алгебраических уравнений.

1.13.2a ¡ 7b + 4c.

1.14.10. Указание. Найти координаты векторов, образующих стороны треугольника и затем найти длины этих векторов.

2.15.Указание. Сделать рисунок: построить параллелограмм на векторах x и y и добавить все необходимые векторы.

2.16.x и y коллинеарны, но имеют противоположные направления.

2.17.Векторы a и b имеют одинаковое направление, так как равны

лим длину вектора a: cos2 ® + cos2 ¯ + cos2 ° = 1. Отсюда, пользуясь p p

условием задачи, получим ответ. b) ( 3 + 2)=2.

кулярен оси x2, òî x2 = 0. Из двух условий (x; a) = ¡3 и (x; b) = 8, найти остальные координаты вектора x.

2.2. a) ¡0; 5. Указание. Воспользоваться соотношением ja ¡ bj2 = (a ¡ b; a ¡ b) = jaj2 ¡ 2(a; b) + jbj2 = 3;

откуда найти (a; b) = ¡0; 5. Затем упростить искомое скалярное произведение (3a ¡ 4b; a + b) и получить ответ. b) 11.

2.3.(a; b) = ¡5. p

2.4.jpj = ®2x2 + ¯2y2 + °2z2.

2.5.Указание. Вычислить скалярное произведение векторов p и z,

убедиться, что оно равно нулю.

2.6. a) 8i1 + 32i2 + 16i3; b) 2i1 + 16i2 + 23i3.

102 Ответы и указания

2.7. 10. Указание. Вычислить координаты векторов a ¡ c и b ¡ c, а затем их векторное произведение. Теперь можно найти площадь

2.8.® = ¡15.

2.9.Указание. Воспользоваться условием компланарности векторов. a) Векторы компланарны. b) Векторы компланарны. c) Векторы некомпланарны. d) Векторы некомпланарны.

2.10.25.

2.11.4j([z; y]; x)j.

2.12.x = (2; 4; ¡6). Указание. Так как векторы x и (1; 2; ¡3) коллинеарны, то координаты этих векторов пропорциональны, то есть x = ¸(1; 2; ¡3), где ¸ произвольное ненулевое вещественное число.

Найти ¸, вычислив скалярное произведение векторов (x; a).

2.16.[(x+y); (x¡y)] = 2[y; x]. Это доказывает, что площадь параллелограмма, построенного на диагоналях исходного параллелограмма, вдвое больше площади исходного параллелограмма.

2.17.p = 3x ¡ 17y ¡ 4z.

2.19.2.

2.20.0. Из разложения векторов a, b и c видно, что они компланарны.

2.21.a) Точки лежат в одной плоскости. Указание. вычислить координаты векторов b ¡a, c ¡a и d ¡a, а затем вычислить их смешанное произведение. Если смешанное произведение равно нулю, то точки лежат в одной плоскости. b) Точки лежат в одной плоскости.

2.2.Прямые на плоскости

1.1.x2 = ¡5x1 +2. Воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две данные точки, и привести его к виду x2 = kx1 + b.

1.2.¼=4.

1.3. a) x2 = 4x1; b) x2 = ¡2x1. p

1.4. x2 = ¡2x1 + 14, x0 = (6; 2), s = 3 5.

1.5.3x1 + 4x2 ¡ 16 = 0, 5x1 + 3x2 ¡ 1 = 0, 2x1 ¡ x2 ¡ 7 = 0.

1.6.лежат.

1.7.x2 + 0; 4x1 = 0.

1.4.2x1 ¡ x2 + 1 = 0.

1.5.x1 + x2 + x3 ¡ 3 = 0.

1.6.(¡12; ¡4; 18).

1.7.3x1 ¡ 6x2 + 2x3 ¡ 49 = 0.

1.8.± = 0.

1.9.a) плоскость проходит через начало координат; b) плоскость пер-

пендикулярна плоскости x1x3, параллельна оси x2; c) плоскость параллельна плоскости x1x3.

1.10.6x1 + x2 ¡ 10x3 + 25 = 0.

1.11.¡6; 4; 12.

1.6. x1 + 3x2 = 0 è 3x1 ¡ x2 = 0.

1.12. x2 + 5 = 0.

2.1.x=9 = y=5 = (z + 3)=1, при составлении уравнения воспользовались точкой (0; 0; ¡3).

2.2.(x ¡ 3)=5 = (y + 2)=3 = (z ¡ 4)=(¡7).

2.3.8x1 ¡ 9x2 ¡ 22x3 ¡ 59 = 0.

2.4.(9=7; ¡13=7; 17=7).

2.5.cos ® = 98=195.

2.6.® = ¡1.

2.7.Лежит.

2.8.8x1 ¡ 22x2 + x3 ¡ 48 = 0.

2.9.Нельзя, так как данная прямая пересекает плоскость в конечной

точке, а потому и всякая плоскость, через нее проходящая, пересечет данную плоскость.

2.10.x1 = x2 = x3 .

x01 x02 x03

2.11.Не лежит.

2.12.x1 ¡ 2 = x2 ¡ 3 = x3 ¡ 1 3 3 ¡1

2.13.(6/11, 7/11, 6/11).

2.14.x1 + 3x2 = 0 è 3x1 ¡ x2 = 0.

2.15.4x1 + 5x2 ¡ 2x3 = 0.

2.16.11x1 ¡ 17x2 ¡ 19x3 + 10 = 0.

2.17.d = 7.

2.18.* 3x1 ¡4x2 ¡5 = 0 è 387x1 ¡164x2 ¡24x3 ¡421 = 0. Указание: построить уравнение прямой, по которой пересекаются две данные плос-

кости. Далее найти уравнения пучка плоскостей, проходящих через эту прямую. Среди множества найденных плоскостей оставить только те, которые находится от начала координат на расстоянии равным радиусу сферы.

3.1. Определители

1.1.a) 8. b) 18.

1.2.a) Входит со знаком минус. b) Не является членом определителя. с) Входит со знаком (¡1)n¡1.

1.4.a) ¡3, b) 54, c) 18, d) 4.

1.5.a) ¡24, b) ¡60.

1.6. a) 10. b) 18. c) n(n + 1).

2

1.7. a) Входит со знаком плюс. b) Входит со знаком (¡1)n. c) Не является членом определителя.

1.9.a) 16, b) 160, c) 18, d) 17.

1.10.a) 192, b) 220, c) ¡98, d) ¡34.

2.1. a) x1 ¢(x2 ¡a12)¢(x3 ¡a23)¢: : :¢(xn ¡an¡1;n): Указание. Вычесть соседние строки, начиная с последней, т. е. из n строки вычесть (n ¡1), затем из (n¡1) строки вычесть (n¡2) и т. д. b) (¡1)n(n¡1)=2b1b2 : : : bn. Указание. Первую строку умножить на a1 и вычесть из второй строки, затем первую строку умножить на a2 и вычесть из третьей строки

го столбца вынести множитель x1, из второго столбца вынести множитель x2 и т. д. 2) Все полученные столбцы прибавить к первому. 3) Разложить по первому столбцу. d) (¡1)(n2¡n+2)=2 ¢ 2(n ¡ 2)! Указание. 1) Вычесть вторую строку из всех строк определителя, которые стоят ниже. 2) Первую строку умножить на 2 и вычесть из второй строки. e) (¡1)n¡1 ¢ n! Указание. Вычесть n-ю строку из остальных строк определителя. f) (¡1)n¡1 ¢ (n ¡ 1). Указание. 1) Все столбцы прибавить к первому. 2) Вынести общий множитель в первом столбце. 3) Вычесть первый столбец из остальных столбцов определителя.

2.3. a) (n ¡ 1)! Указание. Первый столбец умножить на 2 и вы- честь из второго столбца, затем первый столбец умножить на 3 и вычесть из третьего столбца и т. д. b) b1b2 : : : bn. Указание. Первый столбец умножить на a1 и вычесть из второго столбца, затем первый столбец умножить на a2 и вычесть из третьего столбца и т. д. c) 0. Указание. Все столбцы прибавить к первому столбцу определителя. d) (¡1)n(n+1)=2 ¢ (n + 1)n¡1. Указание. 1) Все столбцы прибавить к первому. 2) Первый столбец прибавить к остальным столбцам определителя. e) (2n ¡ 1) ¢ (n ¡ 1)n¡1. Указание. 1) Все столбцы прибавить к первому. 2) Вынести общий множитель в первом столб-

це. 3) Вычесть первый столбец из остальных столбцов определителя. f) (¡1)n¡1 ¢(n ¡1) ¢xn¡2. Указание. 1) Вычесть последние строки, на- чиная с последней строки. 2) Разложить по первому столбцу. 3) Все столбцы прибавить к первому столбцу определителя. 4) Разложить по первому столбцу определителя.

1·i<k·n+1

ëà.

1.4.Äà.

1.5.1) äà; 2) äà; 3) äà; 4) íåò; 5) íåò; 6) äà.

0 1

3.3. Метод Гаусса

1.1.x1 = x2 = x3 = 1.

1.2.x1 = x2 = 1; x3 = x4 = ¡1.

1.3.x1 = 1; x2 = x3 = 2; x4 = 0.

1.4.x1 = ¡0:4; x2 = ¡1:2; x3 = 3:4; x4 = 1.

1.5.x1 = ¡3; x2 = 0; x3 = ¡1=2; x4 = 2=3.

1.6.x1 = 5; x2 = 4; x3 = 3; x4 = 2; x5 = 1.

1.7.x1 = 1; x2 = 2; x3 = 1.

1.8 x1 = 2; x2 = ¡3; x3 = ¡2.

1.9. x1 = ¡2; x2 = 0; x3 = 1; x4 = ¡1. 1.10 x1 = 2; x2 = ¡2; x3 = 1; x4 = ¡1. 1.11. x1 = 2=3; x2 = ¡1; x3 = 3=2; x4 = 0.

1.12.x1 = 2; x2 = ¡3; x3 = ¡3=2; x4 = 1=2.

1.13.x1 = 3; x2 = ¡5; x3 = 4; x4 = ¡2; x5 = 1.

4.1.Линейные пространства

1.1.Не является линейным пространством.

1.2.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 3) и 6).

1.3.Не является линейным пространством, так как не выполняется условие 6).

1.4.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 1), 2) и 6).

1.5.Является линейным пространством.

1.6.Является линейным пространством.

1.8.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 5), 6), 7) и 8).

1.9.Не является линейным пространством.

1.10.Не является линейным пространством.

1.11.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 7) и 8).

1.12.Не является линейным пространством.

1.13.Не является линейным пространством, так как не выполняется условие 6).

1.14.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 6) и 7).

1.15.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 2), 3), 4), 6) при n > 1.

1.16.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 1), 2), 6).

1.17.Является линейным пространством.

1.18.Не является линейным пространством.

1.19.Не является линейным пространством, так как не выполняется условие 8).

1.20.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 7), 8).

1.21.Не является линейным пространством.

1.22.Не является линейным пространством, так как не выполняются условия 7), 8).

4.2.Линейная зависимость векторов

2.1.a) линейно независимая система; b) линейно зависимая система.

2.2.a) линейно независимая система; b) линейно зависимая система.

2.3.a) линейно независимая система; b) линейно зависимая система.

2.4.a) линейно независимая система; b) линейно зависимая система.

2.5.a) при n ¸ 2 система линейно зависима; b) при n ¸ 3 система

линейно зависима.

2.6. a) a4 = ¡a1 + a2 + 2a3; b) a4 = 2a1 ¡ a2 + 3a3.

2.10.a) линейно зависимая система; b) линейно независимая система.

2.11.a) линейно независимая система; b) линейно зависимая система.

2.13.a) линейно зависимая система; b) линейно независимая система.

2.14.a) линейно независимая система; b) линейно зависимая система.

2.15.a) при n ¸ 2 система линейно зависима; b) при n ¸ 4 система линейно зависима; c) при n ¸ 5 система линейно зависима; d) при

n ¸ 2 система линейно зависима.

2.16.a) a4 = 5a1 + 3a2 ¡ 2a3; b) a4 = 3a1 + 2a2 + a3.

4.3.Евклидовы пространства

1.1.a) íåò, b) íåò.

1.2.íåò.

1.5.íåò.

1.6.íåò.

1.10. a) íåò; b) äà.

1.13.Указание: использовать результат задачи 1.3 или 1.12.

1.14.íåò.

4.4.Ортогональные системы векторов. Матрица Грама.