Thermodynamics_and_statistical_physics
.pdf
7. Указание: вследствие эффекта Допплера длина волны наблюдаемого в направлении x
света λ = λ0(1+vx/c) ). dI (λ) / dλ = |
I N |
exp[− |
(λ − λ |
|
)2 |
δ |
2 |
= 2τλ0 / mc |
2 |
. |
0 |
|
0 |
] , |
|||||||
|
|
δ2 |
|
|
2 |
|
||||
|
πδ |
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Для простоты рассмотрим прямоугольный ящик. Соударения со стенкой за единицу времени испытают все молекулы со скоростью vx, находящиеся в объеме Svx (x - направление нормали к стенке, S - площадь стенки).
∞
N (v0 ) = n ∫vxdw(vx ) = n(τ/ 2πm)1/ 2 exp(−mv02 / 2τ). v0
9. В пучке dw’(vx)=Cvxdw(vx), vx>0; <vx>= 
πτ / 2m, ε = 2τ.
10. Сила сопротивления равна разности между импульсами в направлении движения, передаваемыми кубу в единицу времени частицами, сталкивающимися с передней и задней стенками куба.
F = |
32na2 |
mτv, mv2 << τ. |
|
π |
|
11. F = 83 2πmτR2n0v.
|
2 |
S |
2 |
p |
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
12. CV=5N/2, z0=τ/mg. |
13. ω = |
|
γ |
|
+ |
|
. |
||
m |
V |
V |
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
14. Энергия E = 3Nτ = 3pV (здесь p - давление), теплоемкость CV = 3N.
|
Nτ |
|
U |
0 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
NU 2 |
|
|
|
|||
15. p(a) = |
|
1+ |
|
|
|
, |
|
C |
= |
|
N + |
|
0 |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
V |
|
|
3τ |
|
V |
|
2 |
|
τ2(3 +U0 / τ)2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
16. D(1) (ε) = (gL / π )(m / 2ε)1/ 2, D(2) = gL2m / 2π 2, g = 2S +1.. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
π2 |
τ |
|
2 |
|
|
|
= τln(exp(ε(2) |
/ τ) −1). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
17. μ(1) = ε(1) |
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
+... , |
μ(2) |
|||||||||
|
|
|
(1) |
||||||||||||||||
|
F |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
||||||
|
|
|
|
εF |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18. В двумерном газе μ=τln[1-exp(-N/D(2)τ)]; μ = 0 только при τ=0.
19. pV = Nτ(1± π3 / 2N 3 / 2gV (mτ)3 / 2) 20. TF ≈ 1010 K, p ≈ 1018 атм, Еграв ≈ GV2/R.
21. |
π2 |
C |
(τ/ ε |
F |
)2 |
; |
3V |
{1 − π2 |
(τ/ ε |
F |
)2 |
...} . |
|
|
|||||||||||
|
3 |
V |
|
|
|
2NεF |
12 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 172 - |
|
22. dw(vx)=(3/4vF3)(vF2-vx2)dvx. 23. ν = 163 vF VN .
24. Указание: в ящике (L, L, L′) с m1L2 = m2L′2 |
εn |
= |
π2 |
2 |
(n12 + n22 + n32 ), но V = |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2m1L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
L3(m1/m2)1/2. |
εF |
= |
|
2 |
(3π2n)2 / 3, vz2 = 2εF / 5m2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 1/ 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2(m1 m2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. j = |
|
eme |
|
|
τ2 exp(−u / τ) . Через поверхность, перпендикулярную оси z, выходят |
||||||||||||||||||||||||
2π2 |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
электроны с импульсом pz > p0, p02/2m = μ+u; j = ne ∫vz dw(p). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pz > p0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
2 |
1 / 3 |
|
|
π2 |
τ |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
τ 2 |
|
|
|||
27. εF = |
c(3π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
π |
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
n) |
; μ = εF 1 − |
|
εF |
+ |
... ; E = 4 |
NεF 1 |
3 |
|
|
|
|
+... |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
εF |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pV=E/3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28. 2,4Vτ3 / π2c3 |
|
3; < ω >≈ 2,7τ/ |
. 29. Vτ3 = const. |
30. 3/(4p). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
31. MCV(dT/dt) = - 4πR2σSBT4; |
t ≈ 106 сек. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
32. C = C0{1− |
1 |
(θ/ τ)2}. 33. |
3N ( τ1 − τ2 )2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
34. χ = (n/τ)(μB2 - μB*2/3), μB* - эффективный магнетон Бора для орбитального движения
(см. Кубо 1967, задачи 4-7,17,18 главы 4).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
π |
2 |
τ |
2 |
′′ |
|
35. M = −gμ |
|
S |
|
= −μ |
|
(N |
|
− N |
|
) = 2μ |
|
|
|
|
||||
B |
z |
B |
+ |
− |
B |
H D(μ) + |
|
6 |
|
D (μ) +... . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36. Полное число электронов N складывается из электронов зоны проводимости (с) и валентной зоны (v) (примесных зон в собственном полупроводнике нет). Число дырок – число недостающих до N электронов валентной зоны: Nh = N – Nv, так что n = p.
Nc = ∑ |
|
1 |
, |
Nh = ∑ |
exp[−εp (mh ) − μ] |
|
|
|
|
− μ] +1 |
|||
pσ exp[(E0 |
+ εp (me ) − μ) / τ] +1 |
pσ exp[−εp (mh ) |
||||
При низких температурах все слагаемые в обеих суммах много меньше единицы, что позволяет пренебречь единицей в знаменателе слагаемых первой суммы и экспонентой в знаменателе слагаемых второй суммы, после чего обе суммы легко рассчитываются путем перехода от суммы по импульсам к интегралу.
- 173 -
37. Рассматриваем донор как центр, который может быть пуст или занят электроном со спином ↑ или ↓. Среднее число электронов на один донор получается в виде:
nD |
= |
2 exp(μ + ED ) / τ |
. Для невырожденного электронного газа μ = τlnnVQ - τln2. |
|
1 + 2 exp(μ + ED ) / τ |
||
N D |
|
||
Подставляя это соотношение в предыдущее, получаем требуемый результат. По условию задачи, здесь VQ = 2/N. Из условия электронейтральности системы n = ND – nD (величины ND и nD считаем отнесенными к единице объема), т.е.,
n2 = ND − n exp(−ED / τ) . При низких температурах, τ << ED, n << ND и
VQ
n = |
N |
D |
/V exp(−E |
D |
/ 2τ) , μ = − 1 E |
D |
+ 1 ln(N |
V / 4). При высоких температурах |
|
|
|
Q |
|
2 |
2 |
D Q |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(τ>>ED) n ND, и μ = τln(NDVQ/2). |
|
|
|
||||||
38. χ = nDμB2/τ. |
|
|
|
|
|
|
|||
39. |
a)τ0 = (0,84αN / B)2 / 5 , |
B = 4 2π(m / h2 )3 / 2 g ∫∫dxdy, CV ≈ −3,19N . |
|||||||
b)τ0 = 2(6N / π3B)1/ 2 α1/ 4 , |
CV = 0, |
(∂CV / ∂τ) = ∞. |
|||||||
40. Cp - CV τ7 при τ << θD и τ при τ
Раздел 5.
1. E(V , τ) = Eid + |
N |
2 |
τ |
2 |
∂β |
,σ = σid (V |
|||||||
2V |
|
∂τ |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
C p = C p (id ) + |
N |
|
pτ |
∂2β |
, β = ∫ f (r)dr, |
||||||||
|
|
∂τ2 |
|||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
2. B |
2 |
= 4v |
− 4v |
u0 |
. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
1 |
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|||
> θD (ЛЛ, 1976).
, τ) + |
N 2 |
|
∂ |
(τβ), G = G ( p, τ) − |
N |
pβ, |
|
|
|
||||
|
2V ∂τ |
id |
2 |
|
||
|
|
|
||||
f (r) +1 = exp[−u(r) / τ].
3. B2B = (2/3)πa3; B3 = (5/18)π2a6. Область интегрирования в выражении для B3B сводится к
(r12, r13, |r12-r13|)≤a. При каждом значении величины r12 это область пересечения сфер радиуса a с центрами в точках r1 и r2, т.е., удвоенный объем сегмента, отсекаемого на такой сфере плоскостью, содержащей линию пересечения сфер.
- 174 -
|
|
μ |
|
nVQ |
+ ∑ |
|
k +1 |
Bk +1nk , |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= ∑nk Bk (τ) ↔ n = ∑ |
|
p k |
||||||||||||||||||||||||
4. |
|
= ln |
|
|
|
|
|
|
обращая ряд |
|
|
|
|
|
|
Dk и |
||||||||||||||||||||||||||||
τ |
Z1in |
|
|
|
τ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k ≥1 k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ≥1 |
|
|
|
|
|
|
|
k ≥1 |
τ |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
pVQ |
|
|
|
|
p r |
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
(B3 − B22 ), |
|||||||||||
подставляя в |
|
, получаем: |
|
|
= ln |
|
|
|
|
+ ∑ |
|
|
Ir , |
|
I1 |
= B2 , I2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
|
|
τZ1in (τ) |
|
r ≥1 τ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
I |
3 |
= 1 (B |
4 |
−3B B |
2 |
|
+ 2B3 ),... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
αN a αNb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Z ′(μa ,μb ,V , τ) = |
|
∑λNa a λNb b Z N a Nb (V , τ) =∑ |
|
a |
b |
|
|
J N a Nb (V , τ) = |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
Na!Nb! |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N a , Nb ≥0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
=1 +Vα |
a |
+Vα |
b |
+ 1 |
J |
20 |
α |
2 |
+ J |
α |
α |
b |
+ |
1 |
J |
02 |
α2 |
+..., |
α |
a |
= λ |
a |
Z |
10 |
/V. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
a |
|
|
11 a |
|
|
2 |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если молекулы можно рассматривать как классические частицы, взаимодействие между которыми не зависит от их внутреннего состояния, J N a Nb представляют собой
конфигурационные интегралы, деленные на |
V Na +Nb ; |
|
в |
приближении |
|
парных |
|||||||||||||||||||||||||
взаимодействий Uint = ∑u(rai , raj ) + ∑u(rai , rbk ) + ∑u(rbk , rbl ) . Соответственно, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(ij) |
|
|
i,k |
|
|
(kl) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
u(r |
|
,r |
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+..., B11 = − |
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
τ |
= na + nb + B20 (τ)na |
+ B11(τ)na nb + B02 (τ)nb |
V |
∫ exp − |
|
τ |
|
−1 dra drb . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. (π+3/ν2)(3ν - 1) = 8τ. |
|
8. ρ(x) = −(e2nϕ/ τ)(sinh κx / sinh κa). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
9. n(r) = n0 |
+ Zκ |
2 exp(−κr) |
; a) κ |
2 |
|
n0e2 |
|
b) κ |
2 |
|
4me2 |
3n0 |
1/ 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
= 4π |
|
, |
|
= |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4πr |
|
τ |
|
|
2 |
|
π |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Раздел 6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. p=const τ ср-с exp(- ε0/τ)]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
2. |
c |
2 |
c |
−1 |
= |
g |
2Aω |
M 3 / 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
A2 |
8I |
τ |
|
|
exp(−ED / τ), ci=Ni/V, ED - энергия диссоциации, ω - частота |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
колебаний молекулы, I - момент инерции молекулы, M - масса атома, gA - кратность вырождения основного терма атома.
3. τc = τ0 +3b2 /16ac ; η = 0 , τ > τ0 ;η ≠ 0 , τ < τ0 +b2 / 4ac . При τ=τc G(η=0)=G(η≠0);
ненулевые значения η находятся решением уравнения τ=τ0-(b/a)η2-(c/a)η4 (парабола на плоскости τη2).
4. При τ<τc переход в фазу (ηη) с η2=-(a/2c)(τ-τc).
- 175 -
5. Использовать равенство химических потенциалов в “жидкой” и “газовой” фазах:
V2
μ1=μ2, или F1+p0V1=F2+p0V2, F=p0(V2-V1), F = ∫ pdV , где интеграл берется по
V1
изотерме.
6. В окрестности критической точки π→1+π, τ→1+τ, ν→1+ν, и уравнение Ван-дер-
Ваальса π=4τ-6ντ-(3/2)ν3(+9ν2τ)+... Параметр порядка - разность объемов фаз. π=- (3/2)ν3 (τ=0, δ=3); κτ τ-1 (γ=1); ν1-ν2 √(-τ) (β=-1/2); α=0, CV=9/2. Таким образом, ур.
Ван-дер-Ваальса соответствует теории среднего поля.
7. a)q = 6Nτc 
1 − τ / τc , b)q = 27Nτc / 8.
8. c = const.√p.
Раздел 7.
1. < E 2 >= C τ2 |
− τ(∂V / ∂p) |
|
{p − τ(∂p / ∂τ) }2 |
. 2. |
τ2 |
|
∂p |
τ |
|
|
|
||||
|
|||||||
V |
|
V |
|
CV |
∂τ V |
||
|
|
|
|
|
|||
|
∂V |
, τ . |
,−τ, τ |
|
|
|
∂τ p |
|
3. < H 2 >= C p τ2 − τV 2 (∂p / ∂V )σ .4. < N 2 >= τ(∂N / ∂μ)τ,V , N. 5. < n2>=n(1 n).
6. < N 2 >= |
V |
( |
3 |
)1/3 |
mτ |
( |
N |
)1/3 . |
7. < E N>=τ(∂E∂μ) |
. 8. < v |
2>=τ/m. 9. v |
2/5. |
π |
π |
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
V |
τ |
α |
|
F |
||||
10. <ϕ2>=τ/mgl.
11. Для точки на расстоянии x от начала струны <y2>=x(l-x)/Fl. <y1y2>=x1(l-x2)τ/Fl.
12. ( ω/ 2)2 / sinh2 ( ω/ 2τ), τ2 .
13. < E 2ω >= ωE ω + |
π2c3 |
E 2ω. |
|
||
Vω2 ω |
|
|
14. < E 2 >= NμB 2 H 2 / cosh2 (μB H / τ); < n2 >= N + N (N −1) tanh2 (μB H / τ) .
15. < x(t)x(t + τ) >= 2mω{eiωt (n +1) + e−iωt n}.
Раздел 8.
1. e2nτc/m. 2. ne2τc/m(1+τc2ω2). 3. κ=nλ<v>.
- 176 -
4. M z = M 0 |
|
|
|
1 + (ω0 − ω)2 τ22 |
|
|
, M + = |
|
|
γH1M z |
e |
iωt |
. |
|||
1 |
+ (ω |
0 |
− ω)2 τ2 |
+ γ |
2 H 2 |
τ τ |
2 |
ω |
0 |
− ω−iτ−1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|||
- 177 -