Thermodynamics_and_statistical_physics
.pdfНекоторые математические формулы.
Формула Стирлинга:
n!= 2πnnn exp(−n + |
θ |
|
), |
0 < θ <1; ln n!≈ n ln n − n, n >>1. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12n |
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегральное представление гамма-функции: |
|
|
|
|||||||||||||
∞ |
n |
|
|
1 |
|
− |
m+1 |
|
m +1 |
|
|
|
|
|
||
∫xme−αx |
dx |
= |
α |
|
n |
|
Γ(x +1) |
= xΓ(x), Γ(1) |
=1, |
Γ(1 ) = π. |
||||||
|
n |
|
|
Γ |
n |
, m, n > 0; |
||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
∞ |
|
|
|
π |
|
∞ |
|
|
|
|
1 . |
|
|
|
|
|
∫e−αx2 dx = 1 |
|
, |
∫xe−αx2 dx = |
|
|
|
|
|||||||||
0 |
|
2 |
|
α |
|
0 |
|
|
|
|
2α |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объем n -мерной сферы радиуса r:
Vn (r) = (πr 2 )n / 2 / Γ(n2 +1).
Полиномиальное распределение:
Пусть в каждом испытании возможны a исходов с вероятностями p1, p2,…, pa. Вероятность того, что в результате N испытаний r1 раз произойдет событие 1, r2 разa - событие 2,………….., ra раз - событие a, равна
p(r , r ,..., r ) = |
N ! |
|
|
pr1 |
pr2 |
... pra , |
r + r +...+r = N |
|||
r !r !...r ! |
||||||||||
1 2 |
a |
1 |
2 |
a |
1 2 |
a |
||||
|
|
1 2 |
a |
|
|
|
|
|
( p1 |
+ p2 +...+pa )N |
= |
1 = ∑ |
N ! |
|
|
p1r1 ... para . |
|
|
|||||
r !r !...r ! |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
Σr =N 1 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Асимптотические формулы для биномиального распределения: |
||||||||||||||
|
|
N |
|
|
|
(Np) |
k |
|
|
|||||
при k<<N, p<<1, |
|
|
p k (1 − p) N |
−k |
≈ |
|
e−Np |
(распред. Пуассона) |
||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
||
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при N больших, p не очень близких к 0 или 1, |
|
|
||||||||||||
N |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
pk (1 − p) N −k |
≈ |
|
exp − |
(k − Np) |
|
. (распред. Гаусса) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
[2πNp(1 − p)]1/ 2 |
|
|
2Np(1 − p) |
||||||||
k |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 162 -
Интеграл ошибок:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
erf (x) = Φ(x) = |
|
∫e−t 2 dt, |
|
erf 1 ≈ 0.84 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
−x 2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|||||||||||
erf (x) = |
|
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
erf (x) =1 − |
|
|
|
|
|
− |
2 |
+ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
π |
x 1 |
1!3 |
2!5 |
−... , |
|
|
x |
|
π |
|
1 |
2x |
2 |
2 |
x |
4 |
−... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Некоторые интегралы квантовой статистики: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∞ |
|
|
ϕ(ε) |
|
|
|
|
|
|
|
|
μ |
|
|
|
|
π2 |
|
2 |
|
′ |
|
|
|
|
7π4 |
|
|
4 |
|
′′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dε = ∫ϕ(ε)dε + |
τ |
|
|
|
+ |
|
τ |
ϕ |
|
|
+... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
ε − μ |
|
|
6 |
|
ϕ |
(μ) |
360 |
|
|
|
|
(μ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
exp |
+1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∞ |
xndx |
|
|
|
|
|
|
−n )Γ(n +1)ζ(n +1), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∫ |
= (1 − 2 |
|
n > 0, ∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a + bex |
|
|
a + bex |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 ex +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∞ x p −1dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
∫ |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
Γ( p)ζ( p), a > 0, p >1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
e |
ax |
−1 |
a |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дзета-функция Римана: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
4 |
|||
ζ(x) = ∑k −x , |
|
ζ( |
3 |
) = 2.612, |
ζ(2) = |
|
, |
|
ζ( |
5 |
) = 1341., |
|
ζ(3) =1202., |
ζ(4) = |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
6 |
2 |
|
90 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
k =0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
x−ηxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Интеграл Ферми-Дирака: ϑ(η) = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 e |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Таблица значений интеграла Ферми-Дирака |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
η |
|
|
|
-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|
|
-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-0.1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0.1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ϑ(η) |
|
0.016 |
|
|
|
|
|
|
0.043 |
|
|
|
0.114 |
|
|
|
|
|
0.290 |
|
|
|
|
0.626 |
|
|
|
|
0.678 |
|
0.773 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
η |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
ϑ(η) |
|
1.396 |
|
|
|
|
|
|
2.502 |
|
|
|
3.976 |
|
|
|
|
|
5.770 |
|
|
|
|
7.837 |
|
|
|
|
10.144 |
|
12.664 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
η |
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
ϑ(η) |
|
15.380 |
|
|
|
|
|
18.277 |
|
|
21.344 |
|
|
|
|
27.95 |
|
|
|
|
35.14 |
|
|
|
|
42.87 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка ряда в другой ряд (при выполнении условий существования):
∞ |
∞ |
∞ |
r |
∑Bl ...Bl |
|
|
α = ∑Bl nl , f = ∑Ak αk = ∑Cr nr ,Cr = ∑ Ak |
k |
, C1=A1B1B , |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
l =1 |
k =1 |
r =1 |
k =1 |
l1 +...+lk =r |
|
|
C2=A1B2B +A2B1B 2, C3=A1B3B +2A2B2B B1B +A3B1B 3, C4=A1B4B +2A2B3B B1B +A2B2B 2+3A3B2B B1B 2+A4B1B 4,…
- 163 -
Формула обращения ряда (f = n):
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
α = ∑Bl nl , n = ∑Ak αk , A1 = B1−1, A2 = −B2 B1−3 , A3 = −B3B1−4 + 2B22 B1−5 , |
||||||||
l =1 |
|
|
k =1 |
|
|
|
|
|
A = −B |
4 |
B−5 |
+ 5B B |
2 |
B−6 |
− 5B3B−7 |
,... |
|
4 |
1 |
3 |
1 |
2 |
1 |
|
- 164 -
Ответы и указания к решению задач.
Раздел 1.
p2
1. Фазовая траектория частицы с энергией Е: 2m +V (x) = E . Точки равновесия х=0
(неустойчивая) и х= ±1 / 2 (устойчивые).
2. Точки равновесия: р = 0, х = nπ (устойчивые при n четном, неустойчивые при n нечетном).
3. Указание: при соударениях со стенками импульсы частиц меняются на противоположные, при соударении частиц они обмениваются импульсами.
4. Γ(E) = |
3 |
|
4 |
3 |
, pE = |
2mE; g(E) = |
4 |
|
pE |
3 |
= Γ(E) /(2π ) |
3 |
. |
∫dΓ = L |
3 |
πpE |
3 |
π |
|
|
|
||||||
|
E( p,q)≤E |
|
|
|
|
|
2π / L |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Γ(E) = πp0 x0 = 2πE m / k = 2πE / ω; p0 = 2mE , x0 = 2E / k , ω2 = k / m p0, x0 - амплитуды импульса и координаты, к - упругая постоянная.
6. Γ(E) = VN(2πmE)3N/2/Γ(3N/2+1), коэффициент при VN представляет собой объем 3N-
мерной сферы радиуса √2mE.
7.dw(x) = dx /π x02 − x2 ; x2 = E / mω2.
8.Размеры ячейки δΓ=( x p)3N, время нахождения фазовой точки внутри ячейки δt ≈
x/v = 0.5×10-11 сек. При движении вдоль фазовой траектории δΓ не меняется, δΓ′=δΓ,
среднее время пребывания фазовой точки в пределах δΓ′ тоже сохраняется, δt′= δt. Полагая, что фазовая траектория достаточно плотно покрывает всю область допустимых состояний (изоэнергетический слой очень малой толщины δE), т.е., эта поверхность не расщепляется на несвязанные части, получаем оценку времени возврата: T ≈ δt ΔΓ(E)/δΓ, где Γ(E) получено в 1.6. Для 1 см3 газа с учетом V = 1,
Γ(3N/2+1) = (3N/2)! получаем T 10 в степени 1020. Величина эта практически не зависит от выбора толщины слоя δΓ, единиц измерения времени, размеров ячейки. Даже с учетом уменьшения объема фазового пространства для системы тождественных частиц (фактор N! в классическом статистическом интеграле; см. раздел 2) оценка меняется не очень сильно.
- 165 -
9. g(N |
|
N0 |
|
|
0 |
, N) = |
|
, p(R, |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
распределение”; n = ∑
n) =
np(R,
R N |
0 |
− R |
N |
0 |
|
− “гипергеометрическое |
||
|
|
|
/ |
|
|
|||
|
N |
|
|
N |
|
|
||
n |
− n |
|
|
|
n) = NR / N 0 . В случае n<<N,R<<N0 |
p(n) ≈ |
n n |
e |
− n |
n! |
|
|||
|
|
|
|
(при выводе используются формулы Стирлинга).
|
|
R |
R |
2 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
... |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N! |
|
|
|
R1!! |
|
|
|
|
Rr ! |
|
|
|
(N0 − N )! |
|
|||||
10. |
p(Ri , ni ) = |
n1 |
n2 |
|
|
nr |
= |
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
. При |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N |
0 |
|
|
n |
!n |
2 |
!...n |
3 |
! (R |
− n |
)! |
(R |
r |
− n |
r |
)! |
N |
0 |
! |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ri>>ni , N0>>N это распределение переходит в полиномиальное с pi = Ri/N0.
11. g(N |
|
, N) = |
N0 |
+ N −1 |
R + n −1 N0 − R + N |
− n −1 |
N0 |
+ N −1 |
||||||
0 |
|
|
, |
p(R, n) = |
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
N |
|
|
n |
|
N − n |
|
|
N |
|
|
При |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n<<R, N<<N0, p(R,n) переходит в биномиальное распределение c q = R/N0. |
|
|
||||||||||||
12. Общее решение дается биномиальным распределением |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
N |
|
− q) N −n , |
q = V /V , n = Nq, n2 = n − n q = Nq(1 − q). |
|
||||||||
p(V , n) = |
qn (1 |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При n<<N p(n) сводится к распределению Пуассона, которое, в свою очередь, при дополнительном условии n>>1 с помощью формулы Стирлинга сводится к гауссовому распределению p(n) ≈ (2πn )−1/ 2 exp[−(n − n )2 / 2 n ]. Эти выкладки не являются доказательством большей общности распределения Пуассона по сравнению с распределением Гаусса; они лишь показывают, что существуют ситуации, в которых оба распределения могут быть использованы с равным успехом.
13. Можно свести эту задачу к предыдущей следующим образом: время t
подразделяется на очень большое число малых интервалов t = t/N, так чтобы вероятность вылета электрона в этом интервале была p = λ t <<1. Тогда
p |
|
N |
− p) N −n , |
|
t |
(n) = |
pn (1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
и при малых n<<N, как в 1.12, |
pt (n) = |
Np n |
exp(−Np) = |
(λt)n |
exp(−λt); <n> = λt = |
|
n! |
n! |
|||||
|
|
|
|
Np, (t = 1, <n> = λ = n0); < n2> = <n>(1 - p).
- 166 -
14. pn (l) = 1 |
∑ |
n! |
≈ |
2 |
exp(−l 2 / 2n). Вероятность попадания в точку (l1, i2) |
2n r +r =n r1!r2! |
|
πn |
|
||
1 |
2 |
|
|
|
|
r1 |
−r2 =i |
|
|
|
|
при блуждании по плоской квадратной решетке:
pn (l1 |
,l2 ) = |
1 |
∑ |
n! |
|
, (∑ri = n, r1 − r2 = l1, r3 − r4 = l2 ). |
|
4n |
r1!r2!r3!r4! |
||||||
|
|
|
|
16, 17. Радиус-вектор, связывающий начало и конец полимерной цепочки r=ρ1+ρ2+…..+ρN, где ρi - ориентированный i-й мономер. <r2>=Nρ2.
18. Обозначим ρi ρi+k=ρ2cosθk; очевидно, cosθk=cosθk-1cosθ+sinθk-1sinθcosϕ , где ϕ - угол
между азимутами направлений ρi и ρi+k в системе с полярной осью ρi+k-1. Поэтому
<cosθk>=cosθ<cosθk-1>=coskθ.
19.Указание: диагонализовать матрицу плотности.
20.Вероятность отсутствия частиц в шаре радиуса r (с объемом v) и наличия хотя бы
одной частицы в слое (r, r+dr) равна |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v N −1 |
dv |
|
|
|
2 ), , где V - объем |
|||||||||||||||||
W(r)dr = N 1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ O(dv |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
α |
N |
|
≈ e |
−α |
, получаем |
|||||||
системы, N - полное число частиц. Учитывая, что 1 |
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
4 |
|
−1 / 3 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
−2 / 3 5 |
|
||||||
W (r) = 4πnr |
|
exp − |
|
πnr |
; r = |
|
πn |
Γ |
|
, |
r |
|
= |
|
|
πn |
|
Γ |
|
. |
||||||||||||
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
Раздел 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. E=Nτ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ = |
|
|
g(N ,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
ln |
|
|
|
/ ln g(N ,0) ≈2.10-22. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
g(N1 ,0)g(N 2 ,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. σ(N0,N) = N0{-clnc-(1-c)ln(1-c)], c=N/N0, σ(N0,N;R,n)=R[-c1lnc1 - (1-c1)ln(1-c1)]+ (N0-R)[-c2lnc2-(1-c2)ln(1-c2)], c1=n/R, c2=(N-n)/(N0-R).
4. σ |
= N0{(1+c)ln(1+c) – clnc}, c = N/N0. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
σ |
|
= (1 + u) ln(1 + u) − u ln u (≈ ln u, u >>1), u = E / N ω; |
τ −1 = ln |
1 + u |
; |
|||||||||||
5. N |
u |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
σ |
|
u |
|
|
|
||||
u |
= (e1/τ −1)−1 (u + |
1 |
= |
1 |
coth |
), |
= |
− ln(1 − e−1/τ ); |
μ = τ ln(1 − e−1/τ ). |
|||||||
2 |
2 |
|
N |
τ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2τ |
|
|
|
|
|
- 167 -
6. < L >= − |
αa |
tanh |
1 |
α 2 + β2 . |
|
α 2 + β2 |
|
τ |
|
7. <E>=E0+[-a(coshβb-e-βa)/3 - bsinhβb](coshβb+e-βa/2)-1 , β=1/τ.
8. <E>=[(λ/4)(1+2chβB-3eβλ)-2BshβB]/(eβλ+2chβB+1).
9. N=τ(∂lnZ'/∂μ), E=τ(μ ∂/∂μ+τ ∂/∂τ)lnZ'.
10. θ=(1+e-(ε+μ)/τ)-1=p(p+p0e-ε/τ)-1.
11. Указание: рассматривая узлы и междоузлия как системы с двумя состояниями, находящиеся в тепловом и диффузионном контакте, написать среднее число частиц на них. Другой вариант решения: найти значение n, при котором свободная энергия
N' |
N |
|
|
||
F(n) = nε − ln |
|
|
достигает минимума. Третий вариант: 1/τ=(∂σ/∂E)N,N’, E=nε. |
||
n |
N − n |
|
|||
n≈√(NN') e-ε/2τ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N + n |
|
12. Указание: энтропия системы σ(n) = ln |
. n≈Nexp(-ε/τ). |
||||
|
|
|
|
|
n |
13. Указание: использовать каноническое распределение; полезно иметь в виду |
|||||
соотношение τ 2 |
|
∂ |
, Z |
= Z E . |
|
|
∂τ |
|
|||
|
|
|
|
|
14. <M>α=<-∂εi/∂Hα>; χ=(∂Mα/∂Hα)H→0.
15. Здесь внутренняя энергия не зависит от l, и “натяжение” определяется только
|
|
n |
|
|
|
|
∂σ |
|
|
τl |
|
|
изменением энтропии (ср. ур. (3.3)). σ = ln n |
|
l |
|
|
|
|
|
|
||||
+ |
, |
F = −τ |
|
|
≈ |
|
|
(l << nρ). |
||||
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
∂l |
E |
|
nρ |
2 |
|
|
|
|
2ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ ln Z'' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
16. l = τ |
|
∂F |
|
= NρL(Fρ / τ), |
|
(L(x) |
= coth x − |
|
|
-- функция Ланжевена), |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Fl |
|
|
|
|
Fρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4πτ |
|
Fρ N |
|
||||||||
Z'' = ∑exp |
|
= |
∫ |
exp |
|
|
|
∑cosθi dΩ1 |
...dΩN |
= |
|
|
|
sinh |
|
|
|
--статсумма для “FT- |
||||||||||||
τ |
τ |
|
|
|
τ |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
l ,i |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
Fρ |
|
|
|
|
|||||||||||
распределения”. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
β |
|
|
17. Указание: использовать тождество Кубо eβA e−β( A+B) =1 − ∫dλeλA Be−λ( A+B) . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
ρ |
nn' |
= Z −1 |
exp(−βE 0 ){δ |
nn' |
− λ[H |
1 |
− H |
1 |
|
0 |
] |
nn' |
[exp(βE 0 |
) −1] / E 0 |
}. |
|||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nn' |
|
|
|
nn' |
|
18. Указание: воспользоваться соотношением exp(Kσnσn+1)= chK+σnσn+1shK.
Z=(2chK)N,N→∞; σ/N=ln2chK-KthK; E=-NJthK; C=NK2/ch2K], K=J/τ.
- 168 -
19. Разобьем одночастичные состояния на группы i=1,2,... из Gi близких по энергиям
(εi) состояний, и пусть Ni - число частиц в i-ой группе; ∑Ni=N, ∑εiNi=E. Энтропия неравновесного состояния σ(N,E;N1,N2,...)=lnΠgi(Gi,Ni), где gi - число возможных
Gi
распределений Ni частиц по Gi состояниям, разное для Ферми- и Бозе-газов ( Ni и
Gi + N i −1 |
||
|
N i |
, соответственно; в классическом пределе Ni<<Gi и gi ≈ GiNi / Ni !). |
|
|
Равновесные распределения (Ферми, Бозе, Больцмана) ni=Ni/Gi находятся из условия максимума энтропии при заданном полном числе частиц и полной энергии: (∂/∂ni)(σ+αN+βE)=0. Поскольку dσ = - αdN - βdE, то β=-1/τ, α=μ/τ.
20. Ищется максимум выражения σ + Σpi(α+βxi+γyi…), где α, β, γ… - неопределенные множители:
∂(σ + ∑pi (α + βxi + γyi +...)) |
= −ln pi −1 |
+α + βxi + γyi +... = 0, |
|||
|
∂pi |
|
|||
|
|
|
|
|
|
p |
= exp(α −1)exp(βx + γy +...) = Z −1 exp(βx + γy +...), |
||||
i |
i |
i |
|
i |
i |
статсумма Z = ∑exp(βxi + γyi +...). Соответствующая энтропия σ = lnZ - βx0.- γy0 -…
|
|
|
|
|
1 |
|
μ |
|
X |
|
|
|
Если рассмотреть набор параметров E,N,x…, то σ = ln Z′′ + |
|
E0 − |
|
N0 − |
|
x0 |
−... , |
|||||
τ |
τ |
τ |
||||||||||
|
X |
|
∂σ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, X - обобщенная сила, соответствующая параметру x0. |
|
||||||||
где − τ |
∂x |
|
||||||||||
= |
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
E 0, N 0,... |
|
|
|
|
|
|||
21. <r|ρ|r'>=(mτ/2π |
2)3/2exp[-(mτ/2ž 2)(r-r')2] (ненормированная). |
|
|
|
|
|
22. При включении магнитного поля с векторным потенциалом A(r) импульсы частиц в гамильтониане системы заменяются на pi+(ei/c)A(ri). Эта замена не приводит к изменению классического статистического интеграла (и свободной энергии).
Раздел 3.
1. b=d=0, e=C, F=-a(τlnτ-τ)-(с/2)τ2-(f/12)τ3-AτV-(C/2)Vτ2-(B/2)V2τ+g(V). 2. b = a/12, F = -bVτ4+f(V)τ+g(V).
5,6. а)При свободном адиабатическом расширении V→V+dV, DQ=0, DW=0 и dE=0; требуется узнать, как изменилась энтропия. В обратимом процессе при тех же
изменениях энергии и объема dE=τdσ-pdV=0 и dσ=(p/τ)dV>0, или (∂σ/∂V)E>0.
- 169 -
б) Изменение энергии газа складывается из работы p1V1, совершаемой над газом при выдавливании его из объема V1, и работы, совершаемой газом при расширении его до объема V2 при давлении p2: E2-E1=p1V1-p2V2. Т.о., в процессе Джоуля-Томсона сохраняется энтальпия. Далее, (∂σ/∂p)H<0.
τ ∂σ 8. ∂τ μ
−∂N 2∂τ μ
|
∂N |
|
1. 10. См. задачу 3.7(7). 11. pV = Cτ. |
/ |
|
. 9. |
|
|
|
|
|
|
∂μ τ |
|
|
|
|
|
|
12. В круговом процессе W=-Q, ∫ pdV = −∫Vdp, ∫τdσ = −∫σdτ. Полагая теплоемкость
постоянной и учитывая (3.17), энтропию можно записать в виде σ=N(cplnτ-lnp+cp+ζ),
где ζ - химическая постоянная газа.
а) (V -V )(p -p ), б) N(τ |
|
−τ |
|
)ln |
|
V1 |
, |
в) (τ2-τ1)(σ2-σ1)= |
N(τ |
|
− τ |
|
)(ln |
p1 |
|
+ c |
|
ln |
τ2 |
), |
|||||||||||||||||||
|
|
V2 |
|
|
p2 |
|
τ1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 1 |
2 1 |
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
p |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1−γ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1−γ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) |
N(τ |
2 |
− τ |
1 |
)ln |
, д) |
Nc |
p |
τ |
1 |
( p |
/ p |
2 |
) γ |
−1 |
+ τ |
2 |
( p |
2 |
/ p ) γ |
−1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
13. а) (2ln2-1)/(2ln2+3/2), |
б) 16/97, |
|
в) 1/12, |
г) (τ2-τ1)ln(p2/p1)/[cV(τ2-τ1)+τ2ln(p2/p1)]; в б) |
следует учесть, что DQ=τdσ (=dE+pdV)>0 на вертикальном участке и наклонном участке при V<15V0/8, и Q1 получается интегрированием DQ только на этой части цикла.
14. mCln[(τ1 + τ2)2/4τ1τ2].
15. Согласно принципу максимальной работы процесс следует проводить обратимым образом; при этом уменьшение энтропии тела равно увеличению энтропии термостата с температурой τ0. W=C{(τ1-τ0)-τ0ln(τ1/τ0)}.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 / cV |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. E |
1 |
− |
|
V1 |
|
|
|
|
. 17. VτcV −c |
= const. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
18. а) N(1 - 2Na(V - Nb)2/τV3)-1 |
б) E - N2a/V, в) Nτ ln |
V2 − Nb |
+ N 2 a( |
1 |
− |
1 |
) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
id |
|
V1 |
− Nb |
V2 |
V1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) − C (τ |
|
|
− τ |
|
|
) + N 2 a( |
1 |
|
− |
1 |
) , |
д) (V − Nb)τ(CV −C ) / N = const , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
V1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
е) R = N |
2 |
a( |
1 |
|
|
1 |
) + CV |
|
|
|
V1 |
− Nb N / CV |
N 2 a |
(1 / V ) . |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
− |
|
τ1{1 − |
|
|
|
|
|
}, ж) τ = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CV |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
V |
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
V |
2 |
− Nb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 170 -
τ ∂D 2
19. .
4πε ∂τ E
20. Имеется в виду “внутренняя энергия”
|
∂E |
|
∂σ |
|
∂M |
|
∂M |
|
||
|
|
|
= τ |
|
|
+ H |
|
= τ |
|
+ |
|
|
|||||||||
|
∂H τ |
|
∂H τ |
|
∂H τ |
|
∂τ H |
|
Е’ (см. ур. (3.10)):
|
∂M |
= 0. |
H |
|
|
|
∂H |
τ |
21. При условии Bτ03/3 >> N ln2 конечная температура τ определяется соотношением
Bτ03/3 = Bτ3/3 + N ln 2.
|
∂V |
|
∂M |
|
|
V |
|
H |
2 |
|
|
∂χ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22. |
|
|
|
, |
|
= |
|
|
κτχ − |
|
||||
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
, M = χHV. |
|||||
∂H p,τ |
|
∂p |
|
V |
|
2 |
|
|
∂p |
|
||||
|
H ,τ |
|
|
|
|
|
|
23. u2=γKT/ρ; отметим, что KT=ρ(∂p/∂ρ)τ=-V(∂p/∂V)τ=κτ-1.
Раздел 4.
1. Z′= exp(λVZi(1)/VQ), λ = exp(μ/τ), Zi - внутренняя статсумма частицы газа, функция только температуры; Ω=-τλVZi(1)/VQ; N=λVZi(1)/VQ; p=Nτ/V; σ=N(5/2 - μ/τ + τ∂lnZi(1)/∂τ).
Подставляя в вероятность p() = eNμ/τ ZN / Z′выражения Z′= exp<N>, Z1exp(μ/τ) = <N>,
получаем распределение Пуассона p(N) = <N>N exp(-<N>)/N!.
2. <ωi2> = τ/Ii. Статсумма (интеграл) Zrot = ∫′exp(−ε |
rot |
/ τ)dΓ |
, где |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rot |
|
|
dΓ = |
1 |
|
dM dM |
2 |
dM |
3 |
dϕ dϕ |
2 |
dϕ , Mi - компоненты момента импульса (в системе |
|||
|
|
|||||||||||
rot |
(2π |
3) |
1 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
главных осей, вращающейся вместе с молекулой); штрих означает интегрирование по физически разным ориентациям молекулы, не связанным поворотами, переводящими молекулу в себя. Интеграл по углам равен 8π2 (ЛЛ, 1976).
Zrot = (2τ)3 / 2 (πI1I2I3)1/ 2 / σ 3, где σ - число указанных выше поворотов.
3.dw(E)
4.vn =
|
1 3 / 2 |
exp(−ε/ τ) |
= 2π |
|
|
|
πτ |
|
22τ n / 2 Γ n + 3 ,
πm 2
εdε;
vвер =
εвер = τ/2.
2τ/ m.
|
m |
3 / 2 |
|
|
mv© |
2 |
|
|
|
|
− |
|
|
dv, v = 16τ/ πm. |
|||
5. dw(v©) |
|
|
exp |
4τ |
|
|
||
|
4πτ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
dw(v |
) = |
m |
exp(−mv2 |
/ 2τ)v |
dv , |
v2 |
= |
τ |
|
− |
π |
|
|
2 |
. |
|||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
τ |
|
|
|
|
|
m |
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
- 171 - |
|
|