Thermodynamics_and_statistical_physics
.pdfЛ.К.Аминов
ТЕРМОДИНАМИКА И СТАТИСТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА
конспекты лекций и задачи для студентов физического факультета
Казанский государственный университет
2007
Настоящее пособие представляет собой краткий конспект лекций и сборник материалов для практических занятий по термодинамике и статистической физике. Пособие разбито на разделы в соответствии с программой курса для студентов физических специальностей университета. В начале раздела излагается лекционный материал; он сопровождается комментариями и ссылками на литературу для углубленного изучения дополнительных вопросов. Далее предлагается ряд вопросов для проверки усвоения основных определений и теоретических положений. Затем следуют задачи по данному разделу, большинство задач снабжено ответами, в ряде случаев сделаны указания к решению. Расширенное оглавление пособия одновременно является программой курса лекций.
- 2 -
СОДЕРЖАНИЕ |
|
Введение. |
9 |
1. Основы статистического метода исследования |
|
макроскопических систем. |
|
1.1. Предмет и методы термодинамики и статистической физики. ..……... |
11 |
Макроскопические системы, макроскопические состояния, микросостояния, |
|
статистический вес макроскопического состояния, статистическая гипотеза. |
|
Термодинамические законы, общее начало термодинамики, равновесные |
|
состояния, время релаксации, локальное равновесие. |
|
1.2. Микросостояния в классической механике. Уравнение Лиувилля. ….......... |
13 |
Фазовое пространство, фазовая траектория. Функция статистического |
|
распределения. Статистические ансамбли. Уравнение Лиувилля, теорема |
|
Лиувилля, принцип сохранения фазового объема. |
|
1.3. Микросостояния в квантовой механике. Матрица плотности…….......... |
15 |
Смешанный квантовый ансамбль. Статистический оператор, матрица |
|
плотности, свойства матрицы плотности. Уравнение Лиувилля - Неймана. |
|
1.4. Микроканоническое распределение (основной постулат статистической |
|
физики). ................................................................................................................ |
17 |
1.6. Эргодическая гипотеза. Квазиэргодические системы....................... |
19 |
1.5. Некоторые парадоксы статистической физики. ..................................... |
19 |
Парадокс возвращаемости (циклы Пуанкаре), парадокс обратимости |
|
Лошмидта. |
|
1.7. Некоторые модельные системы статистической физики. ................... |
21 |
1.7.1. Спиновая система. 1.7.2. Система одинаковых осцилляторов. 1.7.3. |
|
Частицы в кубическом ящике. Связь между числом квантовых состояний и |
|
объемом в фазовом пространстве. 1.7.4. Решеточные модели………………. |
|
1.8. Примечания.................................................................................................... |
25 |
Контрольные вопросы................................................................................ |
26 |
ЗАДАЧИ........................................................................................................ |
27 |
2. Основные распределения статистической механики |
|
равновесных систем. |
|
2.1. Термодинамические контакты систем. .............................................. |
30 |
Тепловой контакт, материальный (диффузионный) контакт, механический контакт. Распределение (конфигурация) полной энергии по подсистемам, вероятность распределения, наиболее вероятное (равновесное) распределение.
- 3 -
2.2. Энтропия и температура, флуктуации. ............................................. |
31 |
Свойства энтропии. Второй закон термодинамики. Направление потока |
|
энергии при установлении теплового равновесия. Вероятность флуктуации. |
|
Связь статистической и термодинамической энтропии. 2.2.1. Энтропия и |
|
температура спиновой системы. Отрицательные температуры. |
|
2.3. Химический потенциал.................................................................................... |
35 |
2.4. Большое каноническое и каноническое распределения (ансамбли). ........... |
36 |
Термостаты. Большая статсумма, статсумма (статистический интеграл). 2.4.1. |
|
Классическая форма канонического и большого канонического |
|
распределений. 2.4.2. Примеры приложений. |
|
2.5. Эквивалентность равновесных ансамблей.................................................... |
41 |
2.6. Различные представления энтропии……………………………………………. |
42 |
Свободная энергия и большой потенциал. Информационная энтропия. |
|
2.7. Функции распределения Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна.............. |
43 |
2.8. Дополнения. ..................................................................................................... |
45 |
Другие равновесные ансамбли. Энтропия Колмогорова. Функция Вигнера. |
|
Некоторые свойства статсумм. |
|
Контрольные вопросы................................................................................ |
48 |
ЗАДАЧИ....................................................................................................... |
49 |
3. Термодинамика.
3.1. Обратимые (равновесные) и необратимые (неравновесные) процессы...... |
52 |
Квазистатические процессы. Адиабатические, изотермические, |
|
изобарические, изохорические процессы. Инфинитезимальные процессы. |
|
Циклы. |
|
3.2. Давление. ............................................................................................. |
53 |
Обобщенные силы, соответствующие внешним параметрам системы. |
|
3.3. Основное уравнение термодинамики для квазистатических процессов...... |
|
Теплота. Функции процесса и функции состояния. Первый закон |
54 |
термодинамики. |
|
3.4. Термодинамические системы во внешних электрических и магнитных |
|
полях........................................................................................... |
55 |
3.5. Цикл Карно, теоремы Карно. ............................................................... |
56 |
Тепловая машина. Коэффициент полезного действия машины. Неравенство |
|
Клаузиуса. |
|
3.6. Сводка законов термодинамики. ............................................................ |
57 |
Общее начало термодинамики (принцип температуры). Первый закон |
|
- 4 - |
|
термодинамики. Второй закон термодинамики; принцип Клаузиуса, принцип |
|
Кельвина. Третий закон термодинамики, теорема Нернста - Планка. |
|
3.7. Теплоемкость системы......................................................................... |
58 |
3.8. Термодинамические потенциалы. ......................................................... |
59 |
Энтальпия (тепловая функция), свободная энергия Гельмгольца, |
|
термодинамический потенциал Гиббса, большой потенциал. Экстенсивные |
|
(аддитивные) и интенсивные физические величины. Уравнения Гиббса - |
|
Гельмгольца. Связь свободной энергии со статсуммой. Соотношения |
|
взаимности Максвелла. Коэффициент теплового расширения, изотермическая |
|
сжимаемость, адиабатическая сжимаемость. |
|
3.9. Некоторые свойства якобианов и их приложение в термодинамике….. |
62 |
Связь между Cp и CV. |
|
3.10. Условия равновесия термодинамических систем, находящихся в |
|
контакте с термостатом. ......................................................................... |
63 |
Принцип максимальной работы. |
|
3.11. Термодинамические неравенства........................................................ |
65 |
3.12. Адиабатические процессы. .................................................................. |
65 |
Использование их для получения низких температур. Метод адиабатического |
|
размагничивания парамагнетиков. |
|
3.13. Следствия третьего закона термодинамики.................................... |
68 |
Контрольные вопросы................................................................................ |
68 |
ЗАДАЧИ....................................................................................................... |
69 |
4. Идеальные газы.
4.1. Одночастичный спектр. ........................................................................ |
73 |
Внутренняя структура частиц. |
|
4.2. Классический идеальный газ. ................................................................ |
74 |
Химический потенциал, внутренняя энергия, уравнение состояния идеального |
|
газа. Свободная энергия, энтропия, теплоемкость, статсумма идеального газа. |
|
Атомарный газ. Квантовый объем, его физический смысл. |
|
4.3. Теплоемкость двухатомного идеального газа...................................... |
77 |
4.4. Смеси идеальных газов. ................................................................................ |
78 |
4.5. Идеальный газ в силовом поле. Барометрическая формула.............. |
79 |
4.6. Распределение Максвелла по скоростям в идеальном газе. ................ |
79 |
Различные формы распределения Максвелла - Больцмана. Плотность |
|
распределения одночастичных состояний по энергиям. |
|
4.7. Вырожденный идеальный Ферми-газ. ................................................... |
81 |
- 5 - |
|
Температура Ферми. Теплоемкость вырожденного Ферми-газа. |
|
4.8. Вырожденный Бозе-газ. Бозе-конденсация. ......................................... |
83 |
Температура конденсации. Сверхтекучесть жидкого гелия. |
|
4.9. Черное излучение. ................................................................................... |
85 |
Квантование электромагнитного поля. Формула Планка для распределения |
|
интенсивности излучения по частотам. Энергия излучения, давление, |
|
теплоемкость излучения. Излучение из полости. Закон Стефана - Больцмана. |
|
4.10. Термодинамика кристаллической решетки. Теория Дебая. ............. |
88 |
Колебания кристаллической решетки. Модель Дебая. Температура Дебая. |
|
Теплоемкость решетки при низких и высоких температурах. Уравнение |
|
состояния твердого тела в модели Дебая. Постоянная Грюнайзена. |
|
4.11. Примечания. ......................................................................................... |
91 |
Концепция квазичастиц. Электроны в металлах и полупроводниках. |
|
Контрольные вопросы ............................................................................... |
92 |
ЗАДАЧИ........................................................................................................ |
92 |
5. Неидеальные системы.
5.1. Разреженные газы нейтральных частиц. .................................................. |
97 |
Модельные потенциалы взаимодействия частиц. Приближение парных |
|
взаимодействий. Вириальное разложение уравнения состояния. |
|
5.2. Вириальное разложение с использованием большого канонического |
|
распределения.................................................................................................. |
99 |
5.3. Метод частичных функций распределения. ......................................... |
100 |
Равновесные частичные функции распределения. Двухчастичные функции |
|
распределения по координатам. Цепочка уравнений для равновесных функций |
|
распределения. Суперпозиционное приближение. |
|
5.4. Уравнение состояния (давление) реального газа……………………….. |
103 |
Уравнение Ван-дер-Ваальса. Закон соответственных состояний. |
|
5.5. Теория Дебая - Хюккеля для равновесной разреженной плазмы. .......... |
105 |
Радиус Дебая - Хюккеля. |
|
5.6. Примечания. .......................................................................................... |
107 |
Контрольные вопросы. .............................................................................. |
108 |
ЗАДАЧИ........................................................................................................ |
109 |
6. Равновесие фаз. Химические реакции.
6.1. Условия сосуществования фаз. ............................................................. |
111 |
Примеры фаз. Фазовые переходы. Уравнение Клапейрона - Клаузиуса.
- 6 -
6.2. Критическая точка..................……...........................…............…............. |
112 |
6.3. Фазовые переходы первого и второго рода. .............................................. |
113 |
Классификация Эренфеста фазовых переходов. |
|
6.4. Тройная точка. Фазовые диаграммы. ................................................. |
115 |
6.5. Правило фаз Гиббса.........................……..............................................…… |
115 |
6.6. Поверхностное натяжение. .................................................................. |
116 |
Коэффициент поверхностного натяжения. |
|
6.7. Метастабильные состояния. Зародыши. ............................................ |
116 |
6.8. Ферромагнетизм в приближении молекулярного поля Вейсса............ |
117 |
6.9. Теория Ландау фазовых переходов второго рода. ............................... |
120 |
Параметры порядка. Критические индексы. О флуктуационной теории |
|
фазовых переходов. Гипотеза подобия критических флуктуаций. |
|
6.10. Условия химического равновесия. ...................................................... |
124 |
6.11. Закон действующих масс. .................................................................. |
124 |
Константы химического равновесия. |
|
6.12. Термическая ионизация водорода........................................................ |
125 |
6.13. Примечания и дополнения. ................................................................... |
125 |
Метод Брэгга - Вильямса. Слабые растворы. |
|
Контрольные вопросы................................................................................ |
127 |
ЗАДАЧИ........................................................................................................ |
127 |
7. Теория флуктуаций.
7.1. Мера флуктуаций.................................................................................. |
129 |
7.2. Формула Эйнштейна для вероятности флуктуаций. ........................ |
129 |
7.3. Гауссово распределение вероятности малых флуктуаций. ................ |
130 |
7.4. Флуктуации системы, помещенной в термостат.............................. |
130 |
7.5. Рассеяние света флуктуациями. Формула Рэлея. ............……...........… |
131 |
7.6. Корреляция флуктуаций во времени. Теорема Винера - Хинчина...... |
133 |
7.7. Принцип симметрии кинетических коэффициентов (соотношения |
|
Онзагера)....................................................................................................... |
134 |
7.8. Элементы термодинамики необратимых процессов. .......................... |
135 |
Потоки и обобщенные силы. Теорема Онзагера. Производство энтропии. |
|
7.9. Термомеханический эффект................................................................. |
136 |
7.10. Дополнения и примечания. ................................................................... |
137 |
Функции Грина. Дисперсионные соотношения. Линейный отклик системы на |
|
внешнее возмущение. Обобщенная восприимчивость. Флуктуационно- |
|
диссипационная теорема. Уравнения для функций Грина. Неравновесные |
|
- 7 - |
|
стационарные состояния. Состояния с минимальным производством |
|
энтропии. |
|
Контрольные вопросы. .............................................................................. |
141 |
ЗАДАЧИ........................................................................................................ |
142 |
8. Элементы физической кинетики. |
|
8.1. Кинетическое уравнение для классических систем. ............................ |
144 |
Интеграл столкновений. Кинетическое уравнение в приближении времени |
|
релаксации. Электронный газ в постоянном электрическом поле. |
|
8.2. Кинетическое уравнение Больцмана. ................................................... |
145 |
Принцип детального равновесия. |
|
8.3. Уравнения Власова для бесстолкновительной плазмы. ...................... |
146 |
8.4. Теория броуновского движения. ............................................................ |
147 |
Уравнение Ланжевена. Приближение "белого шума". Диффузия броуновских |
|
частиц. Формула Эйнштейна для коэффициента диффузии. |
|
8.5. Основное кинетическое уравнение (уравнение баланса). .................... |
149 |
8.6. Н - теорема Больцмана........................................................................ |
150 |
8.7. Уравнения Блоха. .................................................................................. |
150 |
8.8. Дополнения и примечания. ..................................................................... |
151 |
Цепочка уравнений Боголюбова для частичных функций распределения. |
|
Стадии неравновесных процессов. Законы сохранения и уравнения |
|
гидродинамики. Случайные марковские процессы. Уравнение Смолуховского. |
|
Уравнение Фоккера - Планка. |
|
Контрольные вопросы................................................................................ |
157 |
ЗАДАЧИ........................................................................................................ |
157 |
ЛИТЕРАТУРА.............................................................................................. |
159 |
Некоторые физические постоянные.......................................................... |
161 |
Некоторые математические формулы....................................................... |
162 |
ОТВЕТЫ и УКАЗАНИЯ к решению задач.............................................. |
165 |
- 8 -
Введение
Настоящее пособие написано на основе курса лекций по термодинамике и статистической физике, который в течение многих лет читался автором для студентов четвертого курса физического факультета Казанского государственного университета. В нем также обобщен опыт подбора задач для практических занятий по данному курсу и составления контрольных заданий.
Существует большое число учебников, учебных пособий, изданий монографического характера по термодинамике и статистической физике, намного перекрывающих рекомендованные для студентов вузов программы по этому предмету. Опыт показывает, однако, что для слушателей полезно иметь под рукой текст, максимально приближенный к фактическому содержанию лекций. То же относится к тексту задач и вспомогательному материалу для их решения. Иными словами, предлагаемое пособие, в основном, предназначено для студентов, которые слушают данный курс, но автор надеется, что оно будет полезным справочным материалом и для выпускников, этот курс уже прослушавших.
Содержание курса и порядок изложения материала традиционны, и достаточно полное представление о них можно получить из расширенного оглавления книги. Большая часть времени из примерно семидесяти лекционных часов отводится статистической механике равновесных систем. Многие интересные проблемы в учебном курсе излагаются весьма бегло, либо вообще не излагаются. Частично они переносятся в задачи и рассматриваются на практических занятиях. Часть важных, на взгляд автора, вопросов в настоящем пособии в конспективном виде вынесена в примечания и дополнения к основному тексту; в связи с этим приводятся многочисленные ссылки на литературные источники, в которых можно найти более подробное изложение затронутых вопросов. В списке литературы фамилии авторов книг (или редакторов сборников) расположены в алфавитном порядке, поэтому сами ссылки даются указанием фамилии автора книги, года издания и, при необходимости, страницы книги.
- 9 -
Теоретический курс термодинамики и статистической физики затрагивает тот же круг проблем, что и общий курс молекулярной физики, читаемый студентамфизикам на младших курсах. К четвертому году обучения студенты получают основательную математическую подготовку, знакомятся с основами электродинамики и квантовой механики, что позволяет строить теоретический курс на новом уровне. Представляется целесообразным, не дожидаясь специальных ссылок, сопоставлять материал лекций данного курса с соответствующими разделами молекулярной физики, например, по учебному пособию Сивухина (1990), содержащему, помимо теоретической части, значительный экспериментальный материал.
В настоящее пособие включено большое число задач, которые служат иллюстрацией теоретических положений, расширяют круг проблем, обсуждаемых на лекциях, прививают навыки конкретных вычислений и оценок. Практически все задачи снабжены ответами и краткими указаниями путей решения, для ряда задач приводятся подробные решения. Мы сочли целесообразным в качестве специального раздела выделить вопросы для контрольных заданий (тестов), призванных проверить правильность понимания основных определений, законов, формул. Определенную замкнутость пособию придают таблицы часто используемых при решении задач физических постоянных и математических формул.
Автор признателен Р.Г.Деминову и В.А.Клековкиной за ценные замечания по рукописи.
- 10 -