Thermodynamics_and_statistical_physics

4.28.Найти среднее число фотонов и среднее значение частоты фотона в черном излучении.

4.29.Найти уравнение адиабатического процесcа в черном излучении.

4.30.Найти адиабатическую сжимаемость черного излучения.

4.31.Абсолютно черный шар радиуса R (0,1 м) с начальной температурой τ1 (103 К) охлаждается вследствие излучения в среду с температурой 0 К. За какое время температура шара достигнет величины τ2 (100 К), если его теплоемкость равна CV (500

Дж/кг К) и плотность ρ = 8 г/см3?

4.32.Определить поправку к теплоемкости твердого тела при высоких температурах в низшем приближении по отношению θ/τ, где θ - температура Дебая.

4.33.Определить максимальную работу, которую можно получить при выравнивании температур двух одинаковых твердых тел с начальными температурами τ1, τ2, существенно большими температуры Дебая.

4.34.Вычислить пара- и диамагнитную восприимчивость электронов, используя статистику Больцмана.

4.35.Вычислить парамагнитную восприимчивость вырожденного электронного газа.

4.36.В приближении эффективной массы энергия электрона в зоне проводимости равна

ε=E0+p2/2me* (E0 - ширина запрещенной зоны, E0>>τ), энергия дырки ε'=p2/2mh*. Показать, что в полупроводнике с собственной проводимостью плотности электронов и дырок равны

4.37. Для полупроводника с отрицательной проводимостью (n - типа) получить соотношение

где ND - число доноров , nD - число занятых донорных уровней. Примесный уровень может быть занят только одним электроном, электронный газ не вырожден. Найти энергию Ферми в предельных случаях низких и высоких температур.

- 95 -

4.38.Вычислить магнитную восприимчивость системы электронов на донорных уровнях, предполагая, что каждый уровень может быть занят только одним электроном.

4.39.Молекулы идеального Бозе-газа имеют во внешнем поле потенциальную энергию а) U = αz , б) U = αz2 (α - постоянная). Найти температуру конденсации и скачок теплоемкости.

4.40.Проверить приближенное равенство CV≈Cp для твердых тел при низких и высоких температурах.

- 96 -

5.НЕИДЕАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

5.1.Разреженные газы нейтральных частиц

Взаимодействие между двумя нейтральными атомами (молекулами) складывается из сравнительно дальнодействующего притяжения (ван-дер-ваальсовы силы) и короткодействующего отталкивания, связанного с заметным перекрыванием электронных облаков частиц на малых расстояниях. Энергия взаимодействия частиц схематически изображена на рис.5.1. Она часто моделируется потенциалом Леннарда-

Джонса

где параметры модели r0 и u0 соответствуют точке минимума потенциала, как указано на рисунке. Если частицы несферические, то энергия взаимодействия зависит и от относительной ориентации частиц. В этом случае ур. (5.1) представляет усредненное по ориентациям взаимодействие. Приведем параметры модели для некоторых газов:

H2: r0 = 3.28 Ǻ, u0 = 37 K; Kr: 4.05 Ǻ, 171 K; CH4: 4.28Ǻ, 327 K.

Иногда используются упрощенные прямоугольные потенциалы типа изображенного на рис. 5.2 (модель «жестких сфер» с притяжением):

- 97 -

где v1 - объем молекyлы, v2 - объем сферы взаимодействия. Как видно, знак β зависит от температуры. Температура τB , при которой β(τB) = 0, называется точкой Бойля.

Отметим, что для разреженного газа вириальное разложение оказывается разложением по малому параметру v2/(V/N).

5.2. Вириальное разложение с использованием большого канонического распределения.

В соответствии с определением (2.16) большая статсумма представляет собой

ряд по степеням абсолютной активности λ = exp(μ/τ): Z′ = ∑λN ZN , где ZN - обычная

классического газа, согласно (5.3), JN совпадает с конфигурационным интегралом.

Вводя обозначение α=λZ1/V, представим большую статсумму в виде ряда по степеням величины α (которую также будем называть активностью):

В соответствии с формулами pV = τlnZ′ и <N> = τ∂lnZ′/∂μ в виде ряда по степеням активности представляются также давление и среднее число частиц:

Приведенные выражения довольно громоздки, и мы укажем здесь несколько первых коэффициентов разложений:

A1 = J1, A2 = 12 J2 − 12 J12, A3 = 16 J3 − 12 J2J1 + 13 J13, A4 = 241 J4 − 16 J3J1 − 18 J22 + 12 J2J12 − 14 J14.

В дальнейшем мы будем полагать V = 1, выбрав в качестве единицы объем, на который в среднем приходится небольшое число частиц. Тогда <N> = n представляет собой среднюю плотность числа частиц, а выражение (5.10) – разложение плотности в ряд по

- 99 -

степеням активности α. Чтобы получить обратное разложение активности в ряд по степеням плотности:

l=1

подставим (5.11) в (5.10) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях n (= <N>) в правой и левой частях полученного равенства. Несколько первых коэффициентов ряда (5.11) выглядят следующим образом:

C1 =1, C2 = −2A2, C3 = −3A3 +8A22, C4 = −4A4 + 30A3A2 − 40A23.

Подставляя, наконец, (5.11) в (5.9), получим вириальное разложение:

коэффициенты BiB которого выражаются через величины Ai. Приведем выражения четырех первых вириальных коэффициентов:

Вывод вириального разложения (5.12) в принципе может быть использован для любой системы, если рассматривать величины JN как результат формальной перестройки статсуммы. Для текучих систем, в которых поступательное движение составляющих ее частиц можно рассматривать как классическое, это конфигурационные интегралы. В этом случае вириальные коэффициенты выражаются в виде интегралов от функций Майера fij:

Приведенные в предыдущем параграфе параметры потенциала Леннарда-Джонса получены в результате сравнения рассчитанного с этим потенциалом второго вириального коэффициента с экспериментом.

5.3. Метод частичных функций распределения.

Определение s-частичной функции распределения (для системы из N

одинаковых бесструктурных частиц):

- 100 -

где ρN - "полная" функция распределения системы по микросостояниям (ср. (2.20, (2.22)):

а U - энергия взаимодействия частиц и потенциальная энергия частиц во внешних полях. s -частичная координатная функция распределения:

Функция ρN нормирована на N! (∫ρNdp…dr…=N!). Напомним, что если ограничить область интегрирования частью фазового пространства, не содержащей совпадающих микросостояний, то ∫′ρNdp…dr…=1 (ср. раздел 2.4.1). При выбранном определении функции ρs и ns нормированы на N!/(N-s)!, т.е., на число возможных выборок s частиц из общего числа N. Они пропорциональны вероятностям распределения группы s частиц по координатам и импульсам и по координатам, соответственно.

При расчете физических величин приходится иметь дело в основном с одно- и двухчастичными функциями распределения. Так, среднее значение «двухчастичной»

величины вида A = ∑aik :определяется двухчастичной функцией распределения:

(ik)

что и определяет физический смысл одночастичной координатной функции распределения.

Если исходить из неравновесной функции ρN(p, r, t), то и частичные функции распределения, и вычисленные с их помощью физические величины явно зависят от

- 101 -