§7. Векторные функции действительной переменной.
Если каждому
значению действительной переменной
поставлен в соответствие вектор
,
то говорят , что на множестве
задана вектор-функция
действительной переменной
.
Задание вектор-функции
равносильно заданию трёх числовых
функций
-
координат вектора
:
,
или, кратко,
.
Если вектор
является радиус-вектором точки
,
то его обозначают
.
Годографом
вектор-функции
называется линия, описываемая в
пространстве концом вектора
.
Всякую линию в пространстве можно
рассматривать как годограф некоторой
вектор-функции
.
Параметрические уравнения годографа:
,
,
.
Производной
вектор-функции
по
аргументу
называется вектор-функция
.
Если
,
то
.
Вектор-функция имеющая производную в
данной точке, называется дифференцируемой
в этой точке.
Производная
есть вектор, направленный по касательной
к годографу вектор-функции
.
Основные правила дифференцирования вектор-функций.
Если
и
дифференцируемые вектор-функции,
-
постоянный вектор,
-
постоянный скаляр,
- скалярная функция, то:
|
|
|
|
|
|
Уравнение
касательной к пространственной кривой
,
,
в точке
,
которой соответствует значение параметра
,
имеет вид:
,
а уравнение
нормальной плоскости
в той же точке – вид:
.
Кривизной
кривой в точке
называется число
,
где
- угол поворота касательной, соответствующий
дуге
данной кривой, а
- длина этой дуги.
Кривизна
плоской кривой вычисляется по формуле
и по формуле
,
если кривая задана в параметрическом
виде уравнениями
,
.
Величина
называется радиусом
кривизны.
5.346. Найти
единичный касательный вектор годографа
вектор-функции
при
:
а)
,
;
б)
,
.
5.347. Найти производные вектор-функций :
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
5.348. Найти производные вектор-функций при :
а)
,
;
б)
,
.
5.349. Для каждой из следующих кривых написать уравнения касательной и нормальной плоскости в данной точке:
а)
при
;
б)
при
.
5.350. Вычислить радиус кривизны кривых в данной точке:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
;
д)
,
;
е)
,
.
5.351. Вычислить радиус кривизны кривых в данной точке:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
Глава 6. Дифференциальное исчисление
ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
§1.Область определения. Предел функции. Непрерывность.
Всякий упорядоченный
набор из
действительных чисел
называется точкой
-мерного
арифметического (координатного)
пространства
и обозначается
или
,
при этом числа
называются её координатами.
Пространство
называется евклидовым,
если расстояние между любыми двумя его
точками
и
определяется формулой
.
Пусть
и
-
некоторые множества точек
и
.
Если каждой точке
ставится в соответствие по некоторому
правилу
одно вполне определённое действительное
число
,
то говорят, что на множестве
задана числовая функция от
переменных и пишут
или кратко
и
,
при этом
называется областью
определения,
- множеством
значений,
- аргументами
(независимыми переменными) функции.
Функцию двух
переменных часто обозначают
,
функцию трёх переменных -
.
Область определения функции
представляет собой некоторое множество
точек плоскости, функции
- некоторое множество точек пространства.
Наиболее
распространённым способом задания
функции является аналитический способ,
при котором функция задаётся формулой.
Естественной областью определения
функции
называется множество
точек
,
для координат которых формула имеет
смысл.
Графиком функции
,
в прямоугольной системе координат
,
называется множество точек пространства
с координатами
,
,
представляющее собой, вообще говоря,
некоторую поверхность в
.
Линией уровня
функции
называется линия
на плоскости
,
в точках которой функция принимает одно
и тоже значение
.