§4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора и её применение.

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и , то на существует точка такая, что .

Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то на существует точка такая, что (формула Лагранжа).

Теорема Коши. Если функции и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале и при всех , то на интервале существует точка такая, что

(формула Коши).

5.150 Проверить, выполняется ли теорема Ролля для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :

а) на отрезке ; б) на отрезке ; в) на отрезке [0, ];г) на отрезке .

5.151 Функция обращается в нуль при и , но тем не менее для всех . Объяснить кажущееся противоречие с теоремой Ролля.

5.152 Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :

а) на отрезке [1, 3]; б) на отрезке ; в) на отрезке [0,1]; г) на отрезке .

5.153 Объяснить почему не может быть применена теорема Лагранжа для функции на отрезках:

а) ; б) .

5.154 Проверить, выполняется ли теорема Коши для следующих функций и, если выполняется, то для каких значений :

а) и на отрезке ;

б) и на отрезке .

Если функция имеет производные всех порядков до -го включительно в некоторой окрестности точки и кроме того имеет производную -го порядка в самой точке , то при имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Пеано

.

Если предположить существование -ой производной в окрестности точки то для любой точки из этой окрестности имеет место формула Тейлора (порядка ) с остаточным членом в форме Лагранжа

где , .

Формула Тейлора (с остаточным членом в любой форме) в частном случае обычно называется формулой Маклорена.

Формула Тейлора используется при вычислении значений функции с заданной степенью точности , при вычислении пределов функций.

Из формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа следует, что , где -минимальный из номеров для которых .

При вычислении пределов функций используют формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

5.155 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.156 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.157 Разложить многочлен по степеням двучлена

5.158 Разложить функцию по степеням .

5.159 Для многочлена написать формулу Тейлора 2-го порядка в точке . Записать остаточный член в форме Лагранжа и найти значение , соответствующее следующим значениям аргумента: а) ; б) ; в) .

В задачах 5.160-5.164 написать формулы Маклорена -го порядка (без остаточного члена) для следующих функций.

5.160 . 5.161 . 5.162 .

5.163 . 5.164 .

5.165 Написать разложения по степеням до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а) до члена с ; б) до члена с ;

в) до члена с .

5.166. Написать разложения по степеням до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а) до члена с ; ;

б) до члена с ; .

5.167. Оценить абсолютную погрешность приближённых формул: а) при ; б) при ;

в) при .

В задачах 5.168-5.169 используя разложения функций по формуле Маклорена вычислить следующие пределы:

5.168 . 5.169. .

5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:

а) sin 1; б) ; в) г).