- •1.1 Дифференцирование функций, заданных явно.
- •5.22 . 5.23 .
- •5.63 . 5.64.
- •5.72 . 5.73 . 5.74 .
- •5.102 . 5.103.
- •3.2 Механические приложения производной.
- •3.3 Применение понятия производной в экономике.
- •§4. Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора и её применение.
- •5.160 . 5.161. 5.162.
- •5.163 . 5.164.
- •§5. Правило Лопиталя.
- •5.171 . 5.172.
- •5.221 5.222
- •6. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.
- •5.281 5.282
- •5.293 5.294
- •5.309 А); б); в).
- •Глава 6. Дифференциальное исчисление
- •§1.Область определения. Предел функции. Непрерывность.
1.1 Дифференцирование функций, заданных явно.
В задачах 5.1-5.10 найти производные следующих функций.
5.1 а); б); в).
5.2 а); б);
в).
5.3 а); б); в).
5.4 а);б);
в).
5.5 а); б); в).
5.6 а); б); в).
5.7 а); б); в).
5.8 а); б);
в).
5.9 а); б);
в).
5.10 а); б);
в).
5.11 Показать, что функция удовлетворяет условию:
В задачах 5.12-5.21 найти производные следующих функций:
5.12 а); б); в).
5.13 а); б); в).
5.14 а); б); в).
5.15 а); б); в).
5.16 а); б); в).
5.17 а); б); в).
5.18 а); б); в).
5.19 а); б); в).
5.20 а); б); в).
5.21 а); б); в).
В задачах 5.22-5.49 найти производные следующих функций:
5.22 . 5.23 .
5.24 . 5.25.
5.26 . 5.27.
5.28 . 5.29 .
5.30 . 5.31.
5.32 . 5.33.
5.34 . 5.35.
5.36 . 5.37 .
5.38 . 5.39.
5.40 .
5.41 . 5.42 .
5.43 .
5.44 . 5.45.
5.46 . 5.47 .
5.48 . 5.49 .
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е..
Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции, где,- дифференцируемые функции:
.
В задачах 5.50-5.59 найти производные функций, используя предварительное логарифмирование:
5.50 . 5.51.
5.52 . 5.53 .
5.54 . 5.55 .
5.56 . 5.57.
5.58 . 5.59 .
1.2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.
Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением, то производнаяэтой неявной функции может быть найдена из уравнения, линейного относительно, где-рассматривается как сложная функция переменной.
Если и-взаимно обратные дифференцируемые функции и, то справедлива формула:(правило дифференцирования обратной функции).
Если дифференцируемая функция задана параметрически:,, где,-дифференцируемые функции и, то справедлива формула:.
При дифференцировании сложных и обратных функций, а также функций заданных неявно и параметрически для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведётся дифференцирование.
В задачах 5.60-5.64 для функций , заданных неявно, найти
5.60 . 5.61. 5.62 .
5.63 . 5.64.
В задачах 5.65-5.71 для функций , заданных параметрически, найти
5.65 . 5.66.
5.67 . 5.68.
5.69 .
5.70 .
5.71 .
1.3. Производные высших порядков.
Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается, т. е.. В общемпроизводной порядка (-ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается, т.е.. Для производнойиспользуется также обозначение.
Производная функциинаходится её последовательным дифференцированием:,,…,. Если функциязадана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:,,….
В задачах 5.72-5.80 найти производные второго порядка от следующих функций: