1.1 Дифференцирование функций, заданных явно.
В задачах 5.1-5.10 найти производные следующих функций.
5.1 а)
;
б)
;
в)
.
5.2 а)
;
б)
;
в)
.
5.3 а)
;
б)
;
в)
.
5.4 а)
;
б)
;
в)
.
5.5 а)
;
б)
;
в)
.
5.6 а)
;
б)
;
в)
.
5.7 а)
;
б)
;
в)
.
5.8 а)
;
б)
;
в)
.
5.9 а)
;
б)
;
в)
.
5.10 а)
;
б)
;
в)
.
5.11
Показать, что функция
удовлетворяет условию:
В задачах 5.12-5.21 найти производные следующих функций:
5.12 а)
;
б)
;
в)
.
5.13 а)
;
б)
;
в)
.
5.14 а)
;
б)
;
в)
.
5.15 а)
;
б)
;
в)
.
5.16 а)
;
б)
;
в)
.
5.17 а)
;
б)
;
в)
.
5.18 а)
;
б)
;
в)
.
5.19 а)
;
б)
;
в)
.
5.20 а)
;
б)
;
в)
.
5.21 а)
;
б)
;
в)
.
В задачах 5.22-5.49 найти производные следующих функций:
5.22
.
5.23
.
5.24
.
5.25
.
5.26
.
5.27
.
5.28
.
5.29
.
5.30
.
5.31
.
5.32
.
5.33
.
5.34
.
5.35
.
5.36
.
5.37
.
5.38
.
5.39
.
5.40
.
5.41
.
5.42
.
5.43
.
5.44
.
5.45
.
5.46
.
5.47
.
5.48
.
5.49
.
Логарифмической
производной
функции
называется производная от логарифма
этой функции, т.е.
.
Применение
предварительного логарифмирования
функции приводит к следующему, часто
более простому, способу вычисления её
производной:
.
Например, для степенно-показательной
функции
,
где
,
-
дифференцируемые функции:
.
В задачах 5.50-5.59 найти производные функций, используя предварительное логарифмирование:
5.50
.
5.51
.
5.52
.
5.53
.
5.54
.
5.55
.
5.56
.
5.57
.
5.58
.
5.59
.
1.2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.
Если дифференцируемая
функция
задана неявно уравнением
,
то производная
этой неявной функции может быть найдена
из уравнения
,
линейного относительно
,
где
-рассматривается
как сложная функция переменной
.
Если
и
-взаимно
обратные дифференцируемые функции и
,
то справедлива формула:
(правило
дифференцирования обратной функции).
Если дифференцируемая
функция
задана параметрически:
,
,
где
,
-дифференцируемые функции и
,
то справедлива формула:
.
При дифференцировании
сложных и обратных функций, а также
функций заданных неявно и параметрически
для производной используют обозначения
типа
там, где необходимо уточнить, по какой
переменной ведётся дифференцирование.
В задачах
5.60-5.64 для
функций
,
заданных неявно, найти
5.60
.
5.61
.
5.62
.
5.63
.
5.64
.
В задачах
5.65-5.71 для
функций
,
заданных параметрически, найти
5.65
.
5.66
.
5.67
.
5.68
.
5.69
.
5.70
.
5.71
.