1.3. Производные высших порядков.

Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается , т. е. . В общем производной порядка ( -ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается , т.е. . Для производной используется также обозначение .

Производная функции находится её последовательным дифференцированием: , ,…, . Если функция задана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам: , ,….

В задачах 5.72-5.80 найти производные второго порядка от следующих функций:

5.72 . 5.73 . 5.74 .

5.75 . 5.76 . 5.77 .

5.78 . 5.79 . 5.80 .

В задачах 5.81-5.84 найти производные указанного порядка от следующих функций:

5.81 5.82

5.83 5.84

В задачах 5.85-5.90 найти формулу для -ой производной от следующих функций:

5.85 . 5.86. . 5.87 . 5.88 . 5.89 . 5.90 .

В задачах 5.91-5.96 найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически:

5.91 5.92 .

5.93 . 5.94 .

5.95 . 5.96 .

§2. Дифференциал.

Если функция дифференцируема в точке , то её приращение может быть представлено в виде:

, где при .

Дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть приращения функции: . В частности, для функции имеем , т.е. дифференциал независимого переменного совпадает с приращением . Поэтому дифференциал функции записывается в виде . Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменная является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Для функции одной переменной существование в точке её дифференциала и производной равносильны.

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива формула .

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле:

, где .

Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.

5.97 Найти приращение и дифференциал функции соответствующие значению аргумента и двум различным приращениям аргумента

5.98 Какое приращение получает функция при переходе независимой переменной от значения к значению . Каково значение соответствующей линейной главной части? Найти отношение второй величины к первой.

5.99 Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене приращения дифференциалом.

5.100 Найти приращение и дифференциал площади S квадрата, соответствующие приращению стороны x.

5.101 Найти приращение объема V шара при изменении радиуса R=2 на . Вычислить , если . Какова будет погрешность значения , если ограничиться членом, содержащим в первой степени?

В задачах 5.102-5.113 найти дифференциалы функций:

5.102 . 5.103 .

5.104 . 5.105 .

5.106 . 5.107 .

5.108 . 5.109 .

5.110 . 5.111 .

5.112 . 5.113 .

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114 . 5.115 . 5.116 .

5.117 . 5.118 .

5.119 Найти приближенное значение функции при .

5.120 Найти приближенное значение функции при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 . 5.122 . 5.123 .

5.124 . 5.125 . 5.126 .