Глава 4. Введение в анализ.

§1. Функция. Основные понятия.

Величина, сохраняющая одно и тоже числовое значение, называется постоянной. Величина, принимающая различные числовые значения, называется переменной. Функцией называется правило, по которому каждому числу ставится в соответствие одно вполне определённое число , и пишут . Множество называется областью определения функции, - множеством (или областью) значений функции, - аргументом, - значением функции. Наиболее распространённым способом задания функции является аналитический способ, при котором функция задаётся формулой. Естественной областью определения функции называется множество значений аргумента , для которого данная формула имеет смысл. Графиком функции , в прямоугольной системе координат , называется множество всех точек плоскости с координатами , .

Функция называется чётной на множестве , симметричном относительно точки , если для всех выполняется условие: и нечётной, если выполняется условие . В противном случае - функция общего вида или ни чётная, ни нечётная.

Функция называется периодической на множестве , если существует число (период функции), такое, что для всех выполняется условие: . Наименьшее число называется основным периодом.

Функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на множестве , если большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции .

Функция называется ограниченной на множестве , если существует число , такое, что для всех выполняется условие: . В противном случае функция - неограниченная.

Обратной к функции , , называется такая функция , которая определена на множестве и каждому

ставит в соответствие такое , что . Для нахождения функции , обратной к функции , нужно решить уравнение относительно . Если функция , является строго монотонной на , то она всегда имеет обратную, при этом, если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Функция , представляемая в виде , где , - некоторые функции такие, что область определения функции содержит всё множество значений функции , называется сложной функцией независимого аргумента . Переменную называют при этом промежуточным аргументом. Сложную функцию называют также композицией функций и , и пишут: .

4.1 В треугольнике сторона см, сторона см и угол Выразить и площадь как функции переменной

4.2 Найти выражение для площади равнобочной трапеции с основаниями и как функции угла при основании

4.3 В шар радиуса R вписан цилиндр. Написать выражение для объема V цилиндра от его высоты Н. Найти область определения этой функции.

4.4 В шар радиуса R вписан прямой круговой конус. Написать выражение для площади боковой поверхности S конуса: а) от его образующей l; б) от угла при вершине конуса в его осевом сечении; в) от угла при основании конуса. Найти области определения каждой из полученных функций.

4.5 Определить функцию удовлетворяющую заданному условию: а) ;

б) ; в)

В задачах 4.6-4.12 найти область определения функций:

4.6 а) ; б) ;

в) ; г) .

4.7 а) ; б) ;

в) ; г) .

4.8 а) ; б) .

4.9 а) ; б) .

4.10 а) ; б) .

4.11 а) ; б) .

4.12 а) ; б) .

В задачах 4.13-4.21, выяснить какие из указанных функций четные, какие нечетные, а какие ни четные, ни нечетные.

4.13 . 4.14 . 4.15

4.16 . 4.17 .

4.18 . 4.19 .

4.20 . 4.21 .

В задачах 4.22-4.30 выяснить, какие из функций являются периодическими, и определить их наименьший период Т:

4.22 4.23 4.24

4.25 4.26

4.27 4.28

4.29 4.30

В задачах 4.31-4.34 доказать, что следующие функции являются монотонно возрастающими в указанных промежутках:

4.31 4.32 .

4.33 4.34 .

В задачах 4.35-4.38 доказать, что следующие функции являются монотонно убывающими в указанных промежутках:

4.35 4.36

4.37 . 4.38 .

В задачах 4.39-4.46 найти обратную функцию и её область определения:

4.39 4.40 4.41 4.42

4.43 4.44 , а) ; б)

4.45 если: а) б) .

4.46 если: а) ; б) .

В задачах 4.47-4.51 найти композиции функций:

4.47 4.48

4.49 4.50

4.51 , .

4.52 Найти .

4.53 Найти .

4.54 Функция определена при Найти области определения функций:

а) ; б) ; в) ; г) .