§3. Некоторые приложения производной.

3.1. Геометрические приложения производной.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид: , а уравнение нормали - вид: . Углом между двумя кривыми и в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в точке , тангенс которого вычисляется по формуле: .

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127 а) ;

б) , ; в) , .

5.128 а) ;

б) , ;

в) .

5.129 а) , ; б) , , ;

в) , .

5.130 а) ; б) , , ;

в) , .

5.131. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии:

а) ; б)

5.132 Составить уравнения касательных к линии в точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.133 В какой точке кривой касательная перпендикулярна к прямой ?

5.134 Найти коэффициенты в уравнении параболы касающейся прямой в точке

5.135 Показать, что касательные к гиперболе в точках её пересечения с осями координат параллельны между собой.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции в точке её пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

5.138 На линии найти точки, в которых касательные к ней параллельны оси абсцисс.

5.139 В каких точках линии касательная к ней параллельна прямой

5.140 Составить уравнение касательной к линии перпендикулярной к прямой

3.2 Механические приложения производной.

Если -функция, описывающая закон движения материальной точки, то первая производная есть скорость, а вторая производная - ускорение этой точки в момент времени (механический смысл первой и второй производных).

5.141Точка движется прямолинейно по закону Найти скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени ?

5.142 Точка движется по прямой так, что ее расстояние S от начального пункта через время t равно .

а) В какие моменты точка была в начальном пункте?

б) В какие моменты ее скорость равна нулю?

5.143 Тело массой 3кг движется прямолинейно по закону S-выражено в сантиметрах, t- в секундах. Определить кинетическую энергию тела через 5 секунд после начала движения в Дж ( ).

5.144 Угол поворота шкива в зависимости от времени t задан функцией Найти угловую скорость в момент времени

5.145 Колесо вращается так, что угол поворота пропорционален квадрату времени. Первый оборот был сделан колесом за 8с. Найти угловую скорость через 32с после начала движения.

3.3 Применение понятия производной в экономике.

Пусть некоторая экономическая величина (издержки производства, прибыль, производительность и т.д.) задаётся непрерывной функцией . Тогда, предельной для называется величина , средней – величина . Буква - сокращение от слова (предельный), буква - сокращение от слова (средний). Предельная величина является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый абсолютный прирост при изменении на единицу.

Эластичностью функции в точке называется предел . Эластичность , также как и , является мерой реагирования одной переменной величины на изменение другой и показывает приближённый процентный прирост при изменении на один процент. Находят эластичность функции по формуле

5.146 Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой предприятием продукции задаётся функцией . Найти средние и предельные издержки производства для указанного объёма выпускаемой продукции , если;

а) , ; б) , .

5.147. Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой предприятием продукции задаётся функцией . При каком объёме производства средние и предельные издержки совпадают?

5.148. Рассчитать эластичность следующих функций для указанных значений :

а) ; б) ;

в) ; г) .

5.149. Зависимости спроса и предложения на продукцию предприятия от цены за единицу продукции задаются функциями и . Найти эластичности спроса и предложения при равновесной цене , т.е. цене при которой спрос и предложение уравновешиваются, если:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .