§5. Правило Лопиталя.
Правило
Лопиталя.
Предел отношения двух дифференцируемых
или бесконечно малых или бесконечно
больших функций при
(
- число
или символ
)
равен пределу отношения их производных
(конечному или бесконечному), если
последний существует в указанном смысле:
. Правило Лопиталя используют для
раскрытия неопределённостей видов
и
.
На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила.
Раскрытие
неопределённостей видов
,
,
,
,
путём преобразований:
,
,
приводится к раскрытию неопределенностей видов и .
В задачах 5.171-5.220 вычислить пределы:
5.171
.
5.172
.
5.173
.
5.174
.
5.175
.
5.176
.
5.177
.
5.178
.
5.179
.
5.180
.
5.181
.
5.182
.
5.183
.
5.184
.
5.185
.
5.186
.
5.187
.
5.188
.
5.189
.
5.190.
.
5.191
.
5.192
.
5.193
.
5.194
.
5.195
.
5.196
.
5.197
.
5.198
.
5.199
.
5.200
.
5.201
.
5.202
.
5.203
.
5.204
.
5.205
.
5.206
.
5.207
.
5.208
.
5.209
.
5.210
.
5.211
.
5.212
.
5.213
.
5.214
.
5.215
.
5.216
.
5.217
.
5.218
.
5.219
.
5.220
.
§6. Исследование функций и построение графиков.
6.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.
Функция
называется возрастающей
(убывающей)
на интервале
,
если для любых
,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
(
).
Если
функция
дифференцируема на интервале
и
(
)
при всех
,
то функция
возрастает (убывает) на
.
Точка
,
принадлежащая области определения
функции
,
называется критической
точкой функции,
если в этой точке
или
не существует. Критические точки функции
разбивают её область определения
на интервалы монотонности (интервалы
возрастания и убывания).
Точка
называется точкой
минимума
(максимума)
функции
,
если существует окрестность точки
такая, что для всех точек
этой окрестности выполняется неравенство
(
),
а число
- минимумом
(максимумом)
функции. Точки минимума и максимума
функции называются точками
экстремума,
а значения функции в этих точках –
экстремумами функции.
Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции , то или не существует.
Первое
достаточное условие экстремума. Пусть
функция
дифференцируема в окрестности точки
,
в которой
или
не существует. Тогда, если производная
,
при переходе слева направо через точку
:
1)
меняет знак с «+» на «
»,
то
-
точка максимума; 2)
меняет знак с знак с «
»
на «+», то
-
точка минимума; 3)
сохраняет знак, то
не является точкой экстремума.
Второе
достаточное условие экстремума. Пусть
функция
дважды дифференцируема в точке
,
в которой
,
. Тогда: 1)
если
,
то
-
точка максимума; 2)
если
,
то
-
точка минимума.
В задачах 5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания:
5.221
5.222
5.223
.
5.224
5.225
5.226
.
5.227
.
5.228
5.229
5.230
.
5.231
5.232
.
5.233
.
5.234
В задачах 5.235-5.248 для указанных функций найти экстремумы:
5.235
5.236
5.237
5.238
.
5.239
.
5.240
.
5.241
5.242
5.243
5.244
5.245
5.246
5.247
5.248
