6. 3 Выпуклость, вогнутость, точки перегиба. Асимптоты.

Функция называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если её график лежит под касательной (над касательной), проведённой к графику данной функции, в любой точке интервала .

Иногда выпуклость называют выпуклостью вверх, а вогнутость – выпуклостью вниз.

Если функция дважды дифференцируема на интервале и ( ) при всех , то функция является вогнутой (выпуклой) на .

Точка , принадлежащая области определения функции , называется точкой перегиба функции, если при переходе через неё меняется направление выпуклости функции. Точка при этом называется точкой перегиба графика функции.

Точка называется точкой возможного перегиба функции , если в этой точке или не существует. Эти точки разбивают область определения функции на интервалы выпуклости и вогнутости.

Необходимое условие перегиба. Если - точка перегиба функции , то или не существует.

Достаточное условие перегиба. Пусть функция дважды дифференцируема в окрестности точки , в которой или не существует. Тогда, если производная , при переходе через точку меняет знак, то - точка перегиба.

В задачах 5.281-5.292 найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости графиков данных функций:

5.281 5.282

5.283 5.284

5.285 5.286

5.287 5.288

5.289 5.290

5.291 5.292

Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки до прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат.

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов или равен бесконечности.

Прямая является вертикальной асимптотой, тогда и только тогда, когда является точкой бесконечного разрыва функции . Непрерывные функции не имеют вертикальных асимптот.

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (при ), если (соответственно, ). Частным случаем наклонной асимптоты (при ) является горизонтальная асимптота.

Прямая является наклонной асимптотой графика функции при (при ) тогда и только тогда, когда одновременно существуют пределы: и (соответственно, и ).

В задачах 5.293-5.308 найти асимптоты графиков функций:

5.293 5.294

5.295 5.296

5.297 5.298

5.299 5.300

5.301 5.302

5.303 5.304

5.305 5.306

5.307 5.308

6.4 Построение графиков функций.

Для построения графика функции нужно: 1) найти область определения функции; 2) найти область непрерывности функции и точки разрыва; 3) исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность; 4) найти точки пересечения графика с осями координат; 5) найти асимптоты графика функции; 6) найти интервалы возрастания и убывания, экстремумы функции; 7) найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

В задачах 5.309-5.345 провести полное исследование следующих функций и построить их графики:

5.309 а) ; б) ; в) .

5.310 а) ; б) ; в) .

5.311а) ; б) ; в) .

5.312а) ; б) ; в) .

5.313а) ; б) ; в) .

5.314а) ; б) ; в) .

5.315а) ; б) ; в) .

5.316а) ; б) ; в) .

5.317а) ; б) ; в) .

5.318а) ; б) ; в) .

5.319а) ; б) ; в) .

5.320а) ; б) ; в) .

5.321а) ; б) ; в) .

5.322а) ; б) ; в) .

5.323а) ; б) ; в) .

5.324а) ; б) ; в) .

5.325а) ; б) ; в) .

5.326а) ; б) ; в) .

5.327а) ; б) ; в) .

5.328а) ; б) ; в) .

5.329а) ; б) ; в) .

5.330а) ; б) ; в) .

5.331а) ; б) ; в) .

5.332а) ; б) ; в) .

5.333а) ; б) ; в) .

5.334а) ; б) ; в) .

5.335а) ; б) ; в) .

5.336а) ; б) ; в) .

5.337а) ; б) ; в) .

5.338а) ; б) ; в) .

5.339а) ; б) ; в) .

5.340а) ; б) ; в) .

5.341а) ; б) ; в) . 5.342а) ; б) ; в) .

5.343а) ; б) ; в) .

5.344 а) ; б) ; в) .

5.345 а) ; б) ; в) .