![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •10.7 . 10.8.
- •10.9. 10.10.
- •10.11. 10.12. 10.13. 10.14.
- •10.15. 10.16.
- •10.17 ,,,.
- •10.27 .
- •10.74 ,,. 10.75,,.
- •10.76 ,. 10.77,.
- •§3. Тройной интеграл.
- •10.81 . 10.82.
- •10.83 . 10.84.
- •10.85 . 10.86.
- •10.87. 10.88.
- •10.89 ,.,,,.
- •10.95 .
- •10.113 ,,,.
- •10.131 ,.
- •10.132 ,,.
- •10.133 ,,,.
- •10.134 ,,.
- •§5. Несобственные кратные интегралы.
- •10.143 . 10.144.
10.74 ,,. 10.75,,.
10.76 ,. 10.77,.
10.78 Найти
моменты инерции следующих однородных
плоских фигур (плотность
):
а) прямоугольника
со сторонами
и
относительно
стороны
;
б) круга
радиуса
относительно касательной;
в) треугольника,
ограниченного прямыми
,
,
относительно оси
;
г)
фигуры, ограниченной эллипсом
относительно оси
.
10.79 На
пластинке, лежащей в плоскости
и занимающей область
,
распределён электрический заряд с
поверхностной плотностью
.
Найти полный заряд пластинки
,
если:
а)
,
,
,
;
б)
,
,
,
.
10.80 Распределение
давления тела на площадку
смятия
даётся формулой
.
Определить среднее давление тела на
эту площадку.
§3. Тройной интеграл.
Пусть функция
непрерывна в ограниченной замкнутой
пространственной области
.
Если область
имеет
вид
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением в области
,
являющейся проекцией области
на плоскость
,
то выражение
называетсяповторным
интегралом
от функции
по области
.
Аналогично вводятся другие повторные
интегралы.
В повторных
интегралах от функции
последовательно вычисляются простые
(однократные) интегралы, причём
интегрирование производится по внутренней
переменной, а внешние переменные
считаются постоянными. В результате
последовательных интегрирований получим
число.
В задачах 10.81-10.88 вычислить повторные интегралы:
10.81 . 10.82.
10.83 . 10.84.
10.85 . 10.86.
10.87. 10.88.
Тройным
интегралом
от непрерывной функции
по ограниченной замкнутой пространственной
области
называется число
,
где
,
,
и суммирование ведётся по тем значениям
,
и
,
для которых
.
Замкнутую область
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением в области
,
являющейся проекцией области
на плоскость
,
будем называтьэлементарной
в направлении оси
и обозначать
.
Аналогично вводятся элементарные
области в направлении других координатных
осей.
Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению одного двойного интеграла и одного простого (однократного) или к вычислению трёх простых интегралов.
Тройной интеграл
по области
вычисляется по формуле
.
Если область
- элементарная в направлении оси
,
т.е. имеет вид
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
то применяют формулу
.
Если область
- элементарная в направлении оси
,
т.е. имеет вид
,
где функции
,
- непрерывны и заданы одним аналитическим
выражением на отрезке
,
то применяют формулу
.
Если
не является элементарной, то её
представляют в виде объединения
непересекающихся (без общих внутренних
точек) областей
,
каждая из которых является элементарной
в направлении той или другой координатной
оси. Разбиение зависит от желаемого
порядка расстановки пределов
интегрирования. Тогда в силу аддитивности
тройного интеграла
.
В задачах
10.89-10.94 вычислить
тройные интегралы по областям
,
ограниченными указанными поверхностями:
10.89 ,.,,,.
10.90,
.
,
,
,
.
10.91,
.
,
.
10.92
,
.
10.93,
,
,
,
.
10.94
,
,
,
,
.
При переходе в
тройном интеграле от прямоугольных
координат
к цилиндрическим координатам
,связанным с
прямоугольными координатами соотношениями
,
,
,имеет место
формула
,
где
-область
интегрирования в пространстве переменных
,
и
.
Если область
имеет вид
,
то применяют формулу
.
При переходе в
тройном интеграле от прямоугольных
координат
к сферическим координатам
(
-долгота,
-широта) связанным с прямоугольными
координатами соотношениями
,
,
,имеет место
формула
,
где
-область
интегрирования в пространстве переменных
,
и
.
Если область
имеет вид
,
то применяют формулу
,
где
.
В задачах
10.95-10.98 в
тройном интеграле
перейти к цилиндрическим координатам
,
и расставить пределы интегрирования: