1.1.Основные методы вычисления неопределённого интеграла.
В задачах 7.1-7.11 найти интегралы непосредственным интегрированием, используя свойства и таблицу интегралов:
7.1 а)
;
б)
;
в)
.
7.2 а)
;
б)
;
в)
.
7.3 а)
;
б)
;
в)
.
7.4 а)
;
б)
;
в)
.
7.5 а)
;
б)
;
в)
.
7.6 а)
;
б)
;
в)
.
7.7 а)
;
б)
;
в)
.
7.8 а)
;
б)
;
в)
.
7.9 а)
;
б)
;
в)
.
7.10 а)
;
б)
;в)
.
7.11 а)
;
б)
;
в)
.
Часто, заменой
переменной интегрирования
,
удаётся свести нахождение интеграла
к нахождению более простого интеграла
с последующей заменой
.
Существуют два варианта замены переменной интегрирования:
1) Метод подведения функции под знак дифференциала.
Если подынтегральное
выражение
может быть записано в виде
,
где
-
дифференцируемая функция, то осуществляется
замена
.
Тогда
.
При подведении функций под знак дифференциала широко используются свойства дифференциалов и таблица дифференциалов основных элементарных функций (приложение 3), в частности, преобразования:
;
;
,
.
2) Метод подстановки.
Если функция
дифференцируема и имеет обратную
на соответствующем промежутке, то
справедливо равенство
.
Функция подбирается таким образом, чтобы подынтегральное выражение приняло более удобный для интегрирования вид. Выбор её определяется конкретным видом подынтегрального выражения.
В задачах 7.12-7.21 сделав замену переменной интегрирования методом подведения под знак дифференциала, найти следующие интегралы
7.12 а)
;
б)
;
в)
.
7.13 а)
;
б)
;
в)
.
7.14 а)
;
б)
;
в)
.
7.15 а)
;
б)
;
в)
.
7.16 а)
;
б)
;
в)
.
7.17 а)
;
б)
;
в)
.
7.18а)
;
б)
;
в)
.
7.19 а)
;
б)
;
в)
.
7.20 а)
;
б)
;
в)
.
7.21 а)
;
б)
;
в)
.
В задачах 7.22-7.30 сделав замену переменной интегрирования методом подстановки, найти следующие интегралы:
7.22
.
7.23
.
7.24
.
7.25
.
7.26
.
7.27
.
7.28
.
7.29
.
7.30
.
В задачах 7.31-7.45 применяя различные приёмы, найти следующие интегралы:
7.31 а)
;
б)
;
в)
.
7.32 а)
;
б)
;
в)
.
7.33 а)
;
б)
.
7.34 а)
;
б)
;
в)
.
7.35 а)
;
б)
.
7.36
.
7.37
.
7.38
.
7.39
.
7.40
.
7.41
.
7.42
.
7.43
.
7.44
.
7.45
.
7.46
.
7.47
.
7.48
.
7.49
.
7.50
.
Если
и
- дифференцируемые функции, то справедлива
формула
интегрирования по частям:
или кратко
.
Эта формула
используется в тех случаях для вычисления
,
когда подынтегральное выражение
можно так представить в виде
,
что интеграл
может оказаться проще интеграла
.
Этим методом
вычисляются: 1)
интегралы вида
,
,
,
,
причём в качестве
выбирается
;
2)
интегралы, подынтегральная функция
которых содержит в качестве множителя
одну из следующих функций:
,
,
,
,
,
,
причём в качестве
выбирается одна из указанных выше
функций; 3)
интегралы вида
,
,
,
,
посредством двукратного интегрирования
по частям.
Указанные три группы интегралов не исчерпывают всех без исключения интегралов, берущихся методом интегрирования по частям.
В задачах 7.51-7.63 применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы:
7.51 а)
;
б)
.
7.52 а)
;
б)
.
7.53 а)
;
б)
.
7.54 а)
;
б)
.
7.55 а)
;
б)
.
7.56 а)
б)
.
7.57 а)
.
б)
.
7.58
.
7.59
.
7.60
.
7.61
.
7.62
.
7.63
.
В задачах 7.64-7.69 применяя различные методы интегрирования, найти следующие интегралы:
7.64
.
7.65
.
7.66
.
7.67
.
7.68
.
7.69
.