1.2 Интегрирование основных классов элементарных
функций.
Вычисление
интегралов вида
и
,
выделяя в квадратном трёхчлене
полный квадрат
и делая замену переменной интегрирования
,
сводят к вычислению табличных интегралов
(см. приложение
4) и интегралов
вида
и
,
которые сводят к табличным заменой
переменной
.
Вычисление
интегралов вида
,
делая замену переменной интегрирования
,
сводят к вычислению интегралов,
рассмотренных выше.
В задачах 7.70-7.80 найти следующие интегралы от функций, содержащих квадратный трёхчлен:
7.70
.
7.71
.
7.72
.
7.73
.
7.74
.
7.75
.
7.76
.
7.77
.
7.78
.
7.79
.
7.80
.
Рациональной
дробью
называется рациональная функция
вида
.
Если
,
то дробь неправильная,
в противном случае – правильная.
Всякую неправильную дробь всегда можно
представить в виде
,
где
,
-многочлены от
,
причём
.
Выделение целой части (многочлена
)
в неправильной дроби производят делением
числителя на знаменатель, выполняемое
«уголком». Таким образом, интегрирование
неправильной рациональной дроби сводится
к интегрированию многочлена и правильной
рациональной дроби.
Интегрирование
правильной рациональной дроби основано
на её представлении в виде конечной
суммы простейших дробей вида
,
,
,
,
причём трёхчлен
не имеет действительных корней. Вид
этого разложения определяется разложением
знаменателя
дроби на линейные и квадратичные
множители (не имеющие действительных
корней).
Каждому линейному
множителю вида
,
где
,
в разложении соответствует сумма из
простейших дробей вида
.
Каждому квадратичному множителю вида
,
где
,
в разложении соответствует сумма из
простейших дробей вида
.
Неизвестные
постоянные
,
,
в разложении правильной рациональной
дроби
в
сумму простейших дробей определяют
методом
неопределённых коэффициентов.
Для этого правую часть искомого разложения
приводят к общему знаменателю (им будет
многочлен
),
после чего у получившегося в числителе
многочлена с неизвестными постоянными
и у многочлена
приравнивают коэффициенты при одинаковых
степенях
.
В результате получают систему линейных
уравнений, решая которую находят
неизвестные постоянные. Можно также
определять
,
,
,
подставляя в равенство, полученное
приравниванием числителя
к числителю дроби с неизвестными
постоянными, полученной после приведения
простейших дробей к общему знаменателю
,
вместо
некоторые специально подобранные числа
(обычно действительные корни знаменателя
)
(метод частных
значений).
Часто, при нахождении неизвестных
постоянных, комбинируют оба способа.
Интегрирование
простейшей дроби
,
выделением полного квадрата
и заменой
,
сводят к вычислению интеграла вида
.
Для вычисления такого интеграла
используют подстановку
.
В задачах 7.81-7.90 найти следующие интегралы от рациональных функций:
7.81 а)
;
б)
;
в)
.
7.82 а)
;
б)
;
в)
.
7.83 а)
;
б)
;
в)
.
7.84 а)
;
б)
;
в)
.
7.85 а)
;
б)
;
в)
.
7.86 а)
;
б)
;
в)
.
7.87 а)
;
б)
;
в)
.
7.88 а)
;
б)
;
в)
.
7.89
;
7.90
.
Интегралы вида
,
где
-рациональная
функция относительно аргументов
и
,
приводятся к интегралам вида
,
где
-рациональная
функция относительно аргумента
,
с помощью универсальной
тригонометрической подстановки
.
При этом используются формулы:
,
,
.
Применение универсальной подстановки, иногда приводит к громоздким вычислениям. В частных случаях используют подстановки:
1)
,
если
,
при этом:
,
;
2)
,
если
,
при этом:
,
;
3)
,
если
или
,
при этом:
,
,
;
4)
,
если
,
при этом
.
Здесь
-
рациональная функция относительно
аргументов
,
.
Интегралы вида
,
где
,
- целые неотрицательные числа, вычисляют,
преобразуя подынтегральную функцию с
помощью формул:
,
.
Интегралы вида
,
,
вычисляют, преобразуя подынтегральную
функцию по формулам:
;
;
.
В задачах 7.91-7.118 найти следующие интегралы от тригонометрических функций:
7.91
.
7.92
. 7.93
.
7.94
.
7.95
.
7.96
.
7.97
.
7.98
.
7.99
.
7.100
.
7.101
.
7.102
.
7.103
.
7.104
.
7.105
.
7.106
.
7.107
.
7.108
.
7.109
.
7.110
.
7.111
.
7.112
.
7.113
.
7.114
.
7.115
.
7.116
.
7.117
.
7.118
.
Интегрирование гиперболических функций аналогично интегрированию тригонометрических функций. При этом используются формулы:
;
;
;
.
В задачах 7.119-7.130 найти следующие интегралы от гиперболических функций:
7.119
.
7.120
.
7.121
.
7.122
.
7.123
.
7.124
.
7.125
.
7.126
.
7.127
.
7.128
.
7.129
.
7.130
.
Интегралы вида
,
где
-рациональная функция своих аргументов,
-целые числа, вычисляются с помощью
подстановки
,
где
- наименьший общий знаменатель дробей
.
Вычисление
интегралов вида
,
где
-рациональная функция своих аргументов,
выделением полного квадрата в квадратном
трёхчлене
и заменой
,
сводится к вычислению интегралов вида:
1)
;
2)
;
3)
,
где
-
рациональная функция своих аргументов.
Последние интегралы, соответственно, с помощью тригонометрических или гиперболических подстановок:
1)
или
;
2)
или
;
3)
или
приводятся к
интегралам вида
или
,
где
-
рациональная функция своих аргументов
В задачах 7.131-7.140 найти следующие интегралы от иррациональных функций:
7.131 а)
;
б)
;
в)
.
7.132 а)
;
б)
;
в)
.
7.133 а)
;
б)
;
в)
.
7.134а)
;
б)
;в)
7.135 а)
;
б)
;
в)
.
7.136
.
7.137
.
7.138
7.139
.
7.140
.