В задачах 6.1-6.17 найти и изобразить графически область определения следующих функций:

6.1 . 6.2 .

6.3 . 6.4 .

6.5 . 6.6 .

6.7 . 6.8 .

6.9 . 6.10 .

6.11 . 6.12 .

6.13 . 6.14 .

6.15 . 6.16 . 6.17 . 6.18 .

6.19. Построить линии уровня следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

Число называется пределом функции при (или в точке ), и пишут , если для любого числа найдётся число такое, что при всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство . Для функции пишут .

Вычисление предела функции нескольких переменных часто сводят к вычислению предела функции одной переменной с помощью замены переменных.

Функция называется непрерывной в точке , если . Функция непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если в точке нарушено хотя бы одно из следующих условий: 1) функция определена в точке ; 2) существует конечный предел ; 3) , то называется точкой разрыва функции . Точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линии разрыва, поверхности разрыва.

6.20 Найти следующие двойные пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

6.21 Найти точки разрыва следующих функций:

а) ; б) ;

в) ; г) .

§2. Частные производные

Частной производной (1-ого порядка) функции в точке по переменной называется предел , если этот предел существует. Частную производную обозначают или .

Частные производные вычисляются по обычным правилам дифференцирования функции одной переменной, в предположении, что все аргументы функции, кроме аргумента , по которому берётся производная, постоянны.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка. При этом используются обозначения:

, ( ).

Производные ( ) называются смешанными. Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше второго. Для функции частные производные обозначаются:

, , , , , ,… или ,….

Если смешанные частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного дифференцирования функции по различным переменным не зависит от порядка дифференцирования.

В задачах 6.22-6.32 найти частные производные от следующих функций:

6.22 . 6.23 .

6.24 . 6.25 . 6.26 . 6.27 . 6.28 . 6.29 . 6.30 . 6.31 . 6.32 .

В задачах 6.33-6.34 найти частные производные от следующих функций:

6.33 . 6.34 .

6.35 Проверить равенство , если

а) ; б) .

6.36 Проверить равенство , если

В задачах 6.37-6.40 найти указанные частные производные:

6.37 , если . 6.38 , если . 6.39 ,если .6.40 ,если .

§3 Дифференциал.

Полным приращением функции в точке , соответствующим приращениям аргументов называется разность .

Функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение может быть представлено в виде , где при , - числа, не зависящие от _.

Полным дифференциалом функции в точке называется главная, линейная относительно часть полного приращения функции, равная , где .

Функция , обладающая в точке непрерывными частными производными, всегда имеет в этой точке полный дифференциал . Для функции дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала.

Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменные являются функциями новых, независимых переменных (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается , т. е. . В общем дифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала -ого порядка и обозначается , т.е. .

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциала функции справедлива символическая формула , формально раскрываемая по биномиальному закону. Например, для функции справедливы формулы: , ,

а для функции - формулы: ,

.

Для функции -кратная дифференцируемость в точке равносильна существованию в этой точке её полного дифференциала -ого порядка .

Если функция раз дифференцируема в точке , то в этой точке значение любой смешанной частной производной -ого порядка не зависит от порядка дифференцирования.

В задачах 6.41-6.46 найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций:

6.41 . 6.42 . 6.43 .

6.44 . 6.45 . 6.46 .

6.47 Найти значение полного дифференциала функции при

6.48 Найти значение полного дифференциала функции при

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки , в которой функция дифференцируема, по формуле: .

В частности, для функции по формуле: , где , . Чем меньше значение , тем точнее формула.

6.49 Вычислить приближенно:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) .

6.50 На сколько приближённо изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами , , если первая сторона увеличится на , а вторая уменьшится на ?

6.51 Центральный угол сектора увеличился на . На сколько следует приближённо уменьшить радиус сектора , чтобы площадь сектора осталась без изменения?

6.52 Прямоугольный параллелепипед имеет измерения: , , . На сколько приближённо изменится длина его диагонали, если увеличится на , увеличится на , уменьшится на .

6.53 Цилиндрический стакан имеет внутренние размеры: радиус основания R=2.5 м, высоту Н=4м и толщину стенок l=1дм. Найти приближенно объем материала, затраченного на изготовление стакана.

6.54 В усеченном конусе радиусы оснований R=20 см, r=10 см и высота h=30 см. Как приближенно изменится объем конуса , если R увеличить на 2мм, r увеличить на 3мм, а h уменьшить на 1 мм?

6.55 Найти в указанной точке второй дифференциал функций:

а) ; б) .