§4. Дифференцирование сложных и неявных функций.

Производная по направлению и градиент.

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимой переменной : , то производная сложной функции вычисляется по формуле . Если совпадает с одним из аргументов, например , то производная , называемая «полной» производной функции по , вычисляется по формуле

.

Если - дифференцируемая функция переменных , являющихся дифференцируемыми функциями независимыx переменных : ,…, , то частные производные сложной функции вычисляются по формулам:

,

………………………….………………..,

.

В частности, для функции справедливы формулы:

, где ;

, где ;

, , где , .

6.56 Найти если

а) , где ;

б) , где ;

в) , где ;

г) , где .

6.57 Найти , если

а) , где ;

б) , где .

6.58 Найти и , если

а) , где ;

б) , где ;

в) , где ; г) , где .

6.59 Найти и , если

а) , где ;

б) где .

6.60 Найти , если

а) где ;

б) где .

6.61 Показать, что следующие функции удовлетворяют данным уравнениям: а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) , .

6.62 Предполагая, что произвольная функция дифференцируема достаточное число раз, проверить следующие равенства:

а) , если ;

б) , если ;

в) , если ;

г) , если .

Если уравнение , где - дифференцируемая функция по переменным , определяет как функцию независимых переменных , то частные производные этой неявной функции вычисляются по формулам: , ,…, при условии, что .

В частности, для функции , заданной неявно уравнением справедлива формула , при условии , а для функции , заданной уравнением

справедливы формулы: , , при условии .

Частные производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данных формул.

6.63 Найти производную для функций , заданных неявно:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

6.64 Найти производные указанного порядка для функций , заданных неявно:

а) если ;

б) если .

6.65 Найти частные производные для функций заданных неявно:

а) ; б) ;

в) ; г)

6.66 Найти дифференциал функции заданной неявно в указанной точке , если:

а) ; б) .

6.67 Найти дифференциал и производную функции заданной неявно, если:

а) ; б) ;

в) ; г)

Если - дифференцируемая функция переменных , то производная по направлению вектора в точке вычисляется по формуле , где - координаты единичного вектора , .

Градиентом дифференцируемой функции называется вектор и обозначается .

Скорость наибольшего изменения функции по направлению в точке достигает наибольшего значения, если направление совпадает с направлением , т.е. .

В частности, для функции производная по направлению и градиент, вычисляются по формулам: , , где - направляющие косинусы вектора .

6.68 Найти производную по направлению вектора , градиент и его величину | | в заданной точке для следующих функций:

а) , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , , .

6.69 Найти угол между градиентами функции в точках и .

6.70 Найти угол между градиентами функций и в точке .

6.71 Найти в точке , если:

а) , ; б) , .