,
,
,
,
,
.
В задачах
11.1-11.6 вычислить
криволинейные интегралы первого рода
по указанной кривой
:
11.1
,
где
.
11.2
,
где
.
11.3
,
где
.
11.4
,
где
.
11.5
,
где
-отрезок
с концами
и
.
11.6
,
где
- граница треугольника
с
вершинами
,
и
.
11.7
,
где
,
.
11.8
,
где
,
.
11.9
,
где
,
,
.
11.10
,
где
,
,
,
.
11.11
,
где
- часть логарифмической спирали
,
находящаяся внутри круга
.
11.12
,
где
- часть спирали Архимеда
,
находящаяся внутри круга
.
11.13
,
где
- окружность
.
11.14
,
где
- половина лемнискаты Бернулли
,
.
11.15 Найти длину дуги кривой :
а)
,
;
б)
,
,
;
в)
,
,
,
;
г)
.
11.16 Найти
массу, распределённую по участку кривой
,
,
если плотность
в каждой точке
кривой равна квадрату абсциссы этой
точки.
11.17 Найти
массу, распределённую по полуокружности
,
расположенной в верхней полуплоскости,
если плотность
в каждой точке
полуокружности равна кубу ординаты
этой точки.
11.18 Найти
массу, распределённую по дуге кривой
:
,
,
,
,
плотность которой меняется по закону
.
11.19 Найти
координаты центра массы, распределённой
по кривой
с плотностью
,
если:
а)
;
б)
,
,
;
в)
,
.
11.20 Найти
моменты инерции однородной дуги
плотности
:
а)
относительно оси
;
б)
,
относительно оси
;
в)
,
,
относительно оси
;
г)
относительно
оси
§2. Криволинейный интеграл второго рода и его приложения.
Если
и
- функции, определённые и непрерывные
в точках гладкой плоской кривой
,
заданной уравнением
(
),
то криволинейный
интеграл 2-го рода
вычисляется по формуле
.
В случае параметрического задания
кривой
:
,
(
)
имеет место формула
.
Если
,
и
- функции, определённые и непрерывные
в точках гладкой пространственной
кривой
:
,
,
(
),
то криволинейный
интеграл 2-го рода
вычисляется по формуле
.
Особенность криволинейного интеграла 2-го рода состоит в том, что он меняет свой знак на обратный при изменении направления пути интегрирования.
Работа
переменной силы
,
точка приложения которой описывает
кривую
,
выражается интегралом
(механический
смысл
криволинейного интеграла 2-го рода).
Если
- замкнутый простой (без точек
самопересечения) кусочно-гладкий контур,
ограничивающий область
,
пробегаемый так, что область
остаётся слева, и функции
и
непрерывны вместе со своими частными
производными первого порядка
и
в области
и на её границе, то имеет место формула
Грина
.
Площадь
плоской фигуры
,
ограниченной замкнутым простым
кусочно-гладким контуром
,
пробегаемым так, что область
остаётся слева, равна
.
Если в области
существует функция
такая, что выражение
является её полным дифференциалом, т.е.
в области
выполняется условие
,
то криволинейный интеграл
не зависит от пути интегрирования
целиком расположенного
и имеет место равенство
,
где
начальная,
-
конечная точка пути. Если
- односвязная область (область, в которой
любой замкнутый контур можно непрерывно
стянуть в точку) и функции
,
,
,
непрерывны в
,
то для этого необходимо и достаточно,
чтобы в области
выполнялось условие
. В частности, если контур интегрирования
замкнут, то
.
Если область
такова, что в качестве контура
интегрирования можно выбрать ломаную,
соединяющую точки
и
,
звенья которой параллельны осям
и
,
то функцию
можно найти по формуле
или
,
где
-
некоторая фиксированная точка области
,
-произвольная
постоянная.
В задачах
11.21-11.24 вычислить
криволинейные интегралы по кривой
,
пробегаемой в направлении возрастания
её параметра
:
11.21
,
где
- дуга параболы
,
.
11.22
,
где
- дуга параболы
,
.
11.23
,
где
- кривая
,
.
11.24
,
где
- кривая
,
.
11.25 Вычислить
криволинейный интеграл по отрезку
,
ориентированному в направлении от точки
к точке
:
а)
,
,
;
б)
,
,
.
11.26 Вычислить криволинейный интеграл по кривой , пробегаемой от точки к точке :
а)
,
-
дуга параболы
,
,
;
б)
,
-
дуга параболы
,
,
.
В задачах
11.27-11.30 вычислить
криволинейный интеграл по кривой
,
пробегаемой в направлении возрастания
её параметра
:
11.27
,
где
-дуга
окружности
,
,
.
11.28
,
где
- дуга циклоиды
,
,
.
11.29
,
где
- кривая
,
,
,
.
11.30
,
где
- дуга винтовой линии
,
,
,
.
В задачах 11.31-11.32 вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.
11.31
, где
- контур треугольника
с вершинами
,
.
11.32
,
- контур, составленный линиями
,
,
.
В задачах 11.33-11.36, применяя формулу Грина, вычислить криволинейный интеграл по замкнутой кривой , пробегаемой так, что её внутренность остаётся слева.
11.33
, где
- эллипс
.
11.34
,
где
- окружность
.
11.35
, где
- контур, образованный синусоидой
и отрезком оси
при
.
11.36
, где
- граница треугольника
с вершинами
,
и
.
В задачах 11.37-11.38 убедившись в том, что подынтегральное выражение является полным дифференциалом, вычислить криволинейный интеграл по кривой с началом в точке и концом в точке .
11.37
,
,
.
11.38
,
,
.
В задачах
11.39-11.42 найти
функцию
по заданному полному дифференциалу
этой функции:
11.39
.
11.40
.
11.41
.
11.42
.
В задачах 11.43-11.46 найти площадь области , ограниченной плоскими кривыми:
11.43
,
.
11.44
,
,
.
11.45
,
(
)
(эллипс).
11.46
,
(астроида).
В задачах
11.47-11.50 найти
работу
силового поля
вдоль дуги
кривой
,
если:
11.47
,
,
,
.
11.48
,
,
,
.
11.49
,
,
,
,
.
11.50
,
,
,
,
.