§5. Теория поля.

5.1Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.

Пусть - область в двумерном пространстве. Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Линии , где называются линиями уровня скалярного поля .

Пусть - область в трёхмерном пространстве.

Скалярным полем на называется числовая функция , заданная в точках . Поверхности , где называются поверхностями уровня скалярного поля .

Градиентом скалярного поля называется вектор

.

Производная скалярного поля по направлению произвольного вектора вычисляется по формуле , где , , - направляющие косинусы вектора .

Градиент скалярного поля в точке направлен по нормали к поверхности уровня , проходящей через в сторону возрастания поля, а его модуль равен наибольшей производной по направлению в этой точке.

11.81 Найти линии уровня следующих скалярных полей:

а) ; б) ; в) ; г) .

11.82 Найти поверхности уровня следующих скалярных полей:

а) ; б) ;

в) ; г) .

11.83 Найти градиент скалярного поля в точке , если:

а) , ; б) , .

11.84 Найти угол между градиентами скалярного поля в точках и , если:

а) , , ;

б) , , .

11.85 Найти, полагая , :

а) ; б) ; в) ; г) .

11.86 Найти точки в которых градиент скалярного поля равен вектору .

11.87 Найти точки в которых градиент скалярного поля перпендикулярен радиус-вектору .

11.88 Найти точки в которых модуль градиента скалярного поля равен 2.

11.89 Найти стационарные точки скалярного поля .

11.90 Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля в точке , направленный в сторону возрастания поля.

11.91 Найти производную скалярного поля по направлению вектора в точке , если:

а) , , ;

б) , , .

11.92 Найти производную скалярного поля в точке по направлению радиус-вектора этой точки.

11.93 Найти производную скалярного поля в точке по направлению его градиента ( -радиус вектор точки ).

11.94 Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке .

5.2 Векторное поле. Дивергенция. Ротор.

Пусть - область в трёхмерном пространстве. Векторным полем на называется векторная функция , заданная в точках , где - радиус-вектор точки . Аналогично определяется плоское векторное поле.

Векторной линией (силовой линией, линией тока) называется гладкая кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля . Векторные линии поля находятся из системы дифференциальных уравнений

.

Если - плоская кусочно-гладкая простая (без точек самопересечений) замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля , то поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими , называется векторной трубкой поля .

Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина .

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор .

Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора (читается - набла), определяемого равенством . Так, например: , , .

Оператором Лапласа (лапласианом) называется скалярный символ , определяемый равенством .

11.95 Найти векторные линии плоского векторного поля :

а) ; б) ; в) ; г) .

11.96 Найти векторные линии пространственного векторного поля :

а) ; б) .

11.97 Вычислить ( , ) : если:

а) ; б) ;

в) ; г) .

11.98 Вычислить ( , ) : если:

а) ; б) ;

в) ; г) .

11.99 Доказать следующие соотношения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ;

е) .

11.100 Найти , если .

11.101 Найти , если .

11.102 Найти . 11.103 Найти .