§3.Поверхностный интеграл первого рода и его приложения.

Если -функция, определённая и непрерывная в точках гладкой двусторонней поверхности , заданной однозначно уравнением ( ) (всякая прямая, проходящая через точку параллельно оси пересекает поверхность лишь в одной точке), то поверхностный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле , где - проекция поверхности на плоскость .

Аналогично, если поверхность задана уравнением:

1) ( ), где - проекция на плоскость , то ;

2) ( ), где - проекция на плоскость , то .

Особенность поверхностного интеграла 1-го рода состоит в том, что он не зависит от выбора стороны поверхности , по которой производится интегрирование.

Площадь поверхности вычисляется по формуле .

Если - поверхность с плотностью , то её статические моменты , и относительно координатных плоскостей, моменты инерции , и относительно координатных осей, моменты инерции , и относительно координатных плоскостей, масса , координаты , и центра масс вычисляются по формулам: , ,

, , ,

, , ,

, , , .

В задачах 11.51-11.59 вычислить следующие поверхностные интегралы:

11.51 , где -часть плоскости , выделяемая условиями , , .

11.52 , где -часть поверхности , отсечённая плоскостью .

11.53 , где -часть поверхности конуса , .

11.54 , где -часть поверхности конуса , расположенная внутри цилиндра .

11.55 , где - часть поверхности конуса , .

11.56 , где - часть поверхности , отсечённая плоскостями и .

11.57 , где - сфера .

11.58 , где - полная поверхность тетраэдра , , , .

11.59 , где - полная поверхность цилиндра , .

11.60 Найти площадь части параболоида , отсечённой цилиндром и плоскостью .

11.61 Найти площадь части сферы , вырезанной цилиндром .

11.62 Найти массу, распределённую по параболоиду , с плотностью: а) ; б) .

11.63 Найти массу, распределённую по сфере с плотностью .

11.64 Найти массу части конуса , , если плотность в каждой точке равна квадрату расстояния до вершины конуса.

11.65 Найти массу части конуса , , лежащей внутри цилиндра , если плотность распределения массы .

11.66 Найти координаты центра масс верхней полусферы , , если поверхностная плотность в каждой её точке равна расстоянию от этой точки до оси .

11.67 Найти координаты центра масс однородной поверхности (плотность ): , .

11.68 Вычислить моменты инерции относительно плоскости однородной поверхности (плотность ): ,

, , .

11.69 Вычислить моменты инерции относительно оси однородной поверхности (плотность ): , .

11.70 Вычислить моменты инерции относительно оси однородной сферической поверхности плотности : , .

§4.Поверхностный интеграл второго рода и его приложения.

Если , и - функции, определённые и непрерывные в точках двусторонней гладкой поверхности , ориентированной вектором нормали , то поверхностные интегралы 2-го рода вычисляются по формулам:

1) , если поверхность задаётся уравнением и однозначно проецируется в область плоскости , при этом перед двойным интегралом берётся знак «+», если нормаль составляет с осью острый угол, и знак « », если угол тупой;

2) , если поверхность задаётся уравнением и однозначно проецируется в область плоскости , при этом перед двойным интегралом берётся знак «+», если нормаль составляет с осью острый угол, и знак « », если угол тупой;

3) , если поверхность задаётся уравнением и однозначно проецируется в область плоскости , при этом перед двойным интегралом берётся знак «+», если нормаль составляет с осью острый угол, и знак « », если угол тупой.

Особенность поверхностных интегралов 2-го рода состоит в том, что они меняет свой знак на обратный при переходе на другую сторону поверхности.

Потоком векторного поля через поверхность в направлении единичного вектора нормали к поверхности , называется интеграл . Его интерпретируют как количество жидкости или газа, протекающего за единицу времени в заданном направлении через поверхность . Вычисление интеграла сводится к вычислению суммы трёх двойных интегралов

где , , - проекции соответственно на плоскости , и , а , и - однозначные выражения, полученные из уравнения поверхности разрешением относительно соответствующих координат, при этом перед двойными интегралами берётся знак «+», если нормаль составляет острый угол с осями , и , соответственно, и знак « », если угол тупой.

В задачах 11.71-11.76 вычислить поверхностные интегралы:

11.71 , где - нижняя сторона круга , .

11.72 , где - верхняя сторона треугольника , , , .

11.73 , где - внешняя сторона сферы

.

11.74 , где - внешняя сторона конуса , .

11.75 , где - внутренняя сторона поверхности тетраэдра , , , .

11.76 , где - внешняя сторона поверхности, расположенной в первом октанте и составленной из цилиндрической поверхности и плоскостей , , , .

11.77 Найти поток вектора через часть сферы , в направлении внешней нормали.

11.78 Найти поток вектора через часть конической поверхности , в направлении внешней нормали.

11.79 Найти поток вектора через часть цилиндрической поверхности , , , в направлении внешней нормали.

11.80 Найти поток вектора через часть поверхности параболоида , в направлении внутренней нормали.