Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

стр_313-342_ГЛАВА_13.doc

Скачиваний:

Добавлен:

10.02.2015

Размер:

2 Мб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Глава 13. Математическая статистика.

§1. Выборка, способы её записи, графическое представление и числовые характеристики.

Выборкой объёма из генеральной совокупности называется совокупность наблюдаемых значений случайной величины , соответствующих независимым повторениям случайного эксперимента с которым связана величина . В математической статистике генеральную совокупность отождествляют со случайной величиной, совокупность всех возможных значений которой и называют генеральной совокупностью.

Выборка может быть записана в виде вариационного и статистического (дискретного или интервального) рядов. Выборку, записанную в виде статистического ряда, называют группированной.

Вариационным рядом выборки называется такой способ её записи, при котором элементы выборки упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности , где . Разность называется размахом выборки. Всюду в дальнейшем выборочные характеристики будем, как правило, обозначать символом с « » наверху.

Различные значения , ( ), называются вариантами. Число повторений варианты в выборке называется её частотой, а отношение называется её относительной частотой. Очевидно, что , .

Дискретным статистическим рядом называется упорядоченная в порядке возрастания значений вариант последовательность пар , . Обычно его записывают в виде таблицы, первая стока которой содержит варианты , а вторая их частоты.

Полигоном частот называется ломаная с вершинами в точках , построенных в прямоугольной системе координат.

Эмпирической функцией распределения называется скалярная функция , определённая для всех формулой: , где суммирование ведётся по всем значениям индекса , для которых . Очевидно, что при , при .

На промежутке представляет собой неубывающую кусочно-постоянную функцию, испытывающую в точках скачки на величину .

Интервальным статистическим рядом называется последовательность пар , , где - непересекающиеся интервалы как правило равной длины, объединением которых является отрезок , содержащий все выборочные значения; - частота интервала , равная числу элементов выборки, значения которых попали в данный интервал. Обычно его записывают в виде таблицы, первая строка которой содержит границы интервалов или их середины , а вторая – частоты интервалов.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, составленная из прямоугольников, построенных на интервалах группировки так, что площадь каждого прямоугольника равна частоте , . Если длины всех интервалов одинаковы и равны , то высоты прямоугольников равны .

Кумулятой (полигоном относительных накопленных частот) называется ломаная с вершинами в точках , , где - накопленная относительная частота интервала , при этом первое звено ломаной соединяет с точкой начало первого интервала .

Для выборки, представленной интервальным статистическим рядом, эмпирическая функция распределения определяется соотношением , , где суммирование ведётся по всем значениям индекса , для которых , - середина интервала , а её графиком является кусочно-постоянная функция со скачками в точках .

В задачах 13.1-13.4 указанную выборку записать в виде вариационного и дискретного статистического рядов, определить её объём и размах.

13.1 3, 8, 1, 3, 6, 5, 2, 2, 7.

13.2 7, 5, 7, 7, 7, 2, 5, 7, 7, 5.

13.3 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4.

13.4 7, 8, 6, 6, 7, 8, 9, 7, 5, 7, 9, 8, 6, 6, 8, 8.

В задачах 13.5-13.8 выборку записать в виде интервального статистического ряда (границы первого интервала указываются), определить её объём и размах.

13.5 17, 15, 14, 10, 13, 18, 22, 20, 17, 12,

13, 21, 12, 8, 14, 11, 19, 18, 15, 19.

Первый интервал: .

13.6 19, 31, 13, 8, 32, 11, 29, 27, 27, 40, 17, 32, 9

8, 31, 12, 26, 19, 23, 32, 41, 13, 24, 44, 25.

Первый интервал: .

13.7 17, 19, 23, 18, 21, 15, 16, 13, 20, 18, 15, 20, 14, 20, 16,

14, 20, 19, 15, 19, 16, 19, 15, 22, 21, 12, 10, 21, 18, 14,

14, 17, 16, 13, 19, 18, 20, 24, 16, 20, 19, 17, 18, 18, 21,

17, 19, 17, 13, 17, 11, 18, 19, 19, 17.

Первый интервал: .

13.8 38, 60, 41, 51, 33, 42, 45, 21, 53, 60, 68, 52, 47, 46, 49,

49, 14, 57, 54, 59, 77, 47, 28, 48, 58, 32, 42, 58, 61, 30,

61, 35, 47, 72, 41, 45, 44, 55, 30, 40, 67, 65, 39, 48, 43,

60, 54, 42, 59, 50.

Первый интервал: .

В задачах 13.9-13.12 для выборок, представленных дискретными статистическими рядами построить: а) полигон частот; б) график эмпирической функции распределения.

13.9 13.10

13.11 13.12

В задачах 13.13-13.16 для выборок, представленных интервальными статистическими рядами построить: а) гистограмму частот; б) график эмпирической функции распределения.

13.13

13.14

13.15

13.16

В задачах 13.17-13.20 для указанных выборок определить среднее , моду , медиану и дисперсию .

13.17 а) 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8; б) ;

в) .

13.18 а) 1, 2, 3, 4, 5, 5, 9; б) ;

в) .

13.19 а) 0,1,2, , ,1,4; б) ;

в) .

13.20 а) 7,3,3,6,4,5,1,2,1,3; б) ;

в) .

13.21 Определить, как изменятся среднее , мода и медиана выборки: , если каждый член выборки: а) увеличить (уменьшить) на число ; б) увеличить (уменьшить) в раз.

13.22 Определить, как изменится дисперсия выборки: , если каждый член выборки: а) увеличить (уменьшить) на число ; б) увеличить (уменьшить) в раз.

Основные числовые характеристики выборки.

Негруппированная выборка	Группированная выборка
1.Среднее арифметическое выборки (несмещённая состоятельная оценка математического ожидания генеральной совокупности)

2.Дисперсия выборки (смещённая состоятельная оценка дисперсии генеральной совокупности):

3.Исправленная дисперсия выборки (несмещённая состоятельная оценка дисперсии генеральной совокупности):
4. Размах выборки:
5.Мода выборки: а) , где -элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой ; б) , где -нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой); - частота модального интервала; , - частоты соседних интервалов; - длина интервала группировки.
6.Медиана выборки: а) , если - нечётное число и , если - чётное число; -объём выборки; -элемент вариационного ряда выборки с номером . б) , где -длина интервала группировки; -нижняя граница медианного интервала, для которого начинает выполняться условие ; -частота медианного интервала; - число элементов выборки в интервалах, лежащих слева от медианного; -объём выборки.

В задачах 13.23-13.24 для приведённых выборок вычислить среднее и дисперсию : а) негруппированной выборки, используя заданные значения; б) группированной выборки, предварительно проведя группировку с заданной длиной интервала . Сравнить результаты вычислений.

13.23 Положительные отклонения от номинального размера у партии деталей (в мм):

17, 21, 8, 20, 23, 18, 22, 20, 17, 12, 20, 11, 9, 19, 20,

9, 19, 17, 21, 13, 17, 22, 22, 10, 20, 20, 15, 19, 20, 20,

13, 21, 21, 9, 14, 11, 19, 18, 23, 19.