10.7 . 10.8 .

Имеет место равенство = , если . Если не является множеством такого вида, то при изменении порядка интегрирования, её представляют в виде конечного объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей , каждая из которых является элементарной в направлении той или другой координатной оси. Тогда в силу аддитивности повторный интеграл по области будет равен сумме повторных интегралов по областям .

Представление области в виде , часто существенно упрощается при изображении области на чертеже.

В задачах 10.9-10.16 изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:

10.9 . 10.10 .

10.11 . 10.12 . 10.13 . 10.14 .

10.15 . 10.16 .

Двойным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой области называется число , где , и суммирование ведётся по тем значениям и , для которых .

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Если не является множеством такого вида, то её представляют в виде объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей , каждая из которых является элементарной в направлении той или другой оси. Разбиение зависит от желаемого порядка расстановки пределов интегрирования. Тогда в силу аддитивности двойного интеграла .

В задачах 10.17-10.26 вычислить следующие двойные интегралы по областям , ограниченным указанными линиями:

10.17 , , , .

10.18 , , .

10.19 , , , .

10.20 , , , .

10.21 , , , .

10.22 , , , .

10.23 , , , .

10.24 , , , .

10.25 , , , .

10.26 , , , , .

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , связанным с прямоугольными координатами соотношениями , , имеет место формула , где - область интегрирования в плоскости переменных и .

Если область имеет вид , где функции , - непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке , то двойной интеграл , где , вычисляется по формуле . Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.

В задачах 10.27-10.32 в двойном интеграле перейти к полярным координатам ( ) и расставить пределы интегрирования, если:

10.27 .

10.28 .

10.29 .

10.30 .

10.31 .

10.32 .

В задачах 10.33-10.42 перейти к полярным координатам и вычислить следующие двойные интегралы:

10.33 , .

10.34 , .

10.35 , .

10.36 , .

10.37 , .

10.38 , .

10.39 , .

10.40 , .

10.41 , .

10.42

§2. Некоторые приложения двойного интеграла.

Площадь области вычисляется по формуле . При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , имеет место формула , где - область интегрирования в плоскости переменных и .

Среднее значение непрерывной функции в области вычисляется по формуле .

В задачах 10.43-10.48 найти площадь области , ограниченной указанными линиями:

10.43 , .

10.44 , , .

10.45 , , .

10.46 , .

10.47 , .

10.48 , , , .

В задачах 10.49-10.52 используя полярные координаты, найти площадь области , ограниченной указанными линиями:

10.49 , , , .

10.50 , , , .

10.51 , .

10.52 , ( ).

В задачах 10.53-10.56 найти среднее значение функции в области , ограниченной указанными линиями, если:

10.53 , , .

10.54 , , .

10.55 , , , .

10.56 .

Объём υ цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостью и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости область , вычисляется по формуле υ . При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам , имеет место формула υ , где - область интегрирования в плоскости переменных и .

В задачах 10.57-10.62 найти объёмы тел , ограниченных следующими поверхностями:

10.57 , , , , .

10.58 , , , .

10.59 , , , .

10.60 , , .

10.61 , , , .

10.62 , , .

В задачах 10.63-10.66 перейти к полярным координатам и найти объёмы тел , ограниченных поверхностями:

10.63 , , , .

10.64 , .

10.65 , , .

10.66 , .

Если - область плоскости , занятая пластинкой, и - плотность пластинки, то статические моменты и , моменты инерции и относительно осей и , масса , координаты и центра масс пластинки вычисляются по формулам:

, , , ,

, , .

Если пластинка однородная, то полагают .

В задачах 10.67-10.70 найти массу пластинки плотности , ограниченной указанными линиями:

10.67 , , , .

10.68 , , , , .

10.69 , , , , .

10.70 , , , .

10.71 Найти массу круглой пластинки радиуса , если плотность её пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна на краю пластинки.

10.72 Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны соответственно и . Зная, что плотность материала пропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца, если плотность на окружности внутреннего круга равна .

10.73 Найти статические моменты следующих однородных плоских фигур (плотность ):

а) прямоугольника со сторонами и относительно стороны ;

б) полукруга радиуса относительно диаметра;

в) круга радиуса относительно касательной;

г) четверти эллипса с полуосями и относительно полуоси .

В задачах 10.74-10.77 найти координаты центра масс однородной пластинки плотности , ограниченной линиями:

10.74 , , . 10.75 , , .

10.76 , . 10.77 , .

10.78 Найти моменты инерции следующих однородных плоских фигур (плотность ):

а) прямоугольника со сторонами и относительно стороны ;

б) круга радиуса относительно касательной;

в) треугольника, ограниченного прямыми , , относительно оси ;

г) фигуры, ограниченной эллипсом относительно оси .

10.79 На пластинке, лежащей в плоскости и занимающей область , распределён электрический заряд с поверхностной плотностью . Найти полный заряд пластинки , если:

а) , , , ;

б) , , , .

10.80 Распределение давления тела на площадку смятия даётся формулой . Определить среднее давление тела на эту площадку.