Глава 1. Линейная алгебра.
§ 1. Определители.
Квадратной матрицей порядка называется квадратная таблица из чисел(,):, состоящая изстрок истолбцов. Любой квадратной матрицепорядкаможно поставить в соответствие число, равное алгебраической суммеслагаемых, составленных определённым образом из элементовматрицы, называемое определителем матрицы.
Определителем 1-ого порядка называется число .
Определителем 2-ого порядка называется число
.
Определителем 3-его порядка называется число
Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычёркиванием-ой строки и-ого столбца.Алгебраическим дополнением элемента называется его минор , взятый со знаком:.
Определителем порядка называется число
Разложением определителя по-ой строке () называется соотношение:.
Разложением определителяпо-ому столбцу () называется соотношение:
Определители обладают свойствами:
1) определитель не изменится при замене всех его строк столбцами с теми же номерами;
2) определитель изменит знак на противоположный, если переставить местами любые две строки (два столбца) определителя;
3) общий множитель элементов какой-либо строки (столбца) можно вынести за знак определителя;
4) определитель равен нулю, если он содержит нулевую строку (столбец), две одинаковые или пропорциональные строки (столбца);
5) определитель не изменится, если к какой-либо строке (столбцу) прибавить другую строку (столбец), умноженную на любое число;
6) определитель треугольного вида (когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из его диагоналей равны нулю) равен произведению диагональных элементов.
В задачах 1.1-1.4 вычислить определители 2-го порядка.
1.1 . 1.2 . 1.3 . 1.4 .
В задачах 1.5-1.8 вычислить определители 3-го порядка.
1.5 . 1.6 . 1.7 . 1.8 .
1.9Решить уравнение.
а) ; б) ; в) .
1.10 Решить неравенство.
а); б); в) .
В задачах 1.11-1.12, используя свойства определителя, доказать тождества (определители не развертывать).
1.11 .
1.12 .
В задачах 1.13-1.16 вычислить определители, используя их свойства
1.13 . 1.14 .
1.15 . 1.16 .
1.17Проверить, что определитель делится наи
В задачах 1.18-1.23 вычислить определители, используя разложение по строке или столбцу:
1.18. 1.19. 1.20. 1.21 .
1.22 . 1.23 .
В задачах 1.24-1.29 вычислить определители
1.24 . 1.25 . 1.26 .
1.27 . 1.28 . 1.29 .
§ 2. Матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (,):, состоящая изстрок истолбцов. Если необходимо указать её размер, то пишут.
Матрицы иназываютсяравными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны:
,,.
Транспонированной к матрице называется матрица, столбцами которой являются соответствующие строки матрицы.
Суммой (разностью) матриц иодного размера , называется матрица того же размера, для которой:
, ,.
Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, для которой:,,.
Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера (и- произвольные числа), для которой:,,,
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которойвычисляется по правилу:,,.
Вообще говоря, .
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и, полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называютсяэквивалентными и пишут ~.
Обратной к квадратной матрице называется матрицатого же порядка такая, что:, где- единичная матрица (на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц. Квадратная матрицаназываетсяневырожденной, если её определитель .
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то, где- присоединённая матрица, для которой:. Здесь- алгебраические дополнения элементовматрицы.
Метод элементарных преобразований. Для матрицы порядкастроится прямоугольная матрицаразмераприписыванием ксправа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрицаприводится к виду, что всегда возможно, если-невырожденная.
Матричными называются уравнения:,,, где матрицы- известны, матрица- неизвестна. Если матрицы,-невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде:,,.
В задачах 1.30-1.31 найти линейные комбинации матриц: