10.7 . 10.8.

Имеет место равенство =, если. Еслине является множеством такого вида, то при изменении порядка интегрирования, её представляют в виде конечного объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей, каждая из которых является элементарной в направлении той или другой координатной оси. Тогда в силу аддитивности повторный интеграл по областибудет равен сумме повторных интегралов по областям.

Представление области в виде, часто существенно упрощается при изображении областина чертеже.

В задачах 10.9-10.16 изменить порядок интегрирования в следующих повторных интегралах:

10.9. 10.10.

10.11. 10.12. 10.13. 10.14.

10.15. 10.16.

Двойным интегралом от непрерывной функции по ограниченной замкнутой областиназывается число, где,и суммирование ведётся по тем значениями, для которых.

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Двойной интеграл по области вычисляется по формуле

.

Если не является множеством такого вида, то её представляют в виде объединения непересекающихся (без общих внутренних точек) областей, каждая из которых является элементарной в направлении той или другой оси. Разбиение зависит от желаемого порядка расстановки пределов интегрирования. Тогда в силу аддитивности двойного интеграла.

В задачах 10.17-10.26 вычислить следующие двойные интегралы по областям , ограниченным указанными линиями:

10.17 ,,,.

10.18 ,,.

10.19 ,,,.

10.20 ,,,.

10.21 ,,,.

10.22 ,,,.

10.23,,,.

10.24,,,.

10.25 ,,,.

10.26 ,,,,.

При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат к полярным координатам, связанным с прямоугольными координатами соотношениями ,,имеет место формула ,где - область интегрирования в плоскости переменныхи.

Если область имеет вид, где функции,- непрерывны и заданы одним аналитическим выражением на отрезке, то двойной интеграл ,где ,вычисляется по формуле . Если область интегрированияне принадлежит к рассмотренному виду, то её разбивают на части, каждая из которых является областью данного вида.

В задачах 10.27-10.32 в двойном интеграле перейти к полярным координатам () и расставить пределы интегрирования, если:

10.27 .

10.28 .

10.29 .

10.30 .

10.31 .

10.32 .

В задачах 10.33-10.42 перейти к полярным координатам и вычислить следующие двойные интегралы:

10.33 ,.

10.34, .

10.35,.

10.36,.

10.37,.

10.38,.

10.39,.

10.40,.

10.41 ,.

10.42

§2. Некоторые приложения двойного интеграла.

Площадь области вычисляется по формуле. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координатк полярным координатам, имеет место формула,где - область интегрирования в плоскости переменныхи.

Среднее значение непрерывной функции в области вычисляется по формуле.

В задачах 10.43-10.48 найти площадь области , ограниченной указанными линиями:

10.43 ,.

10.44 ,,.

10.45 ,,.

10.46 ,.

10.47 ,.

10.48 ,,,.

В задачах 10.49-10.52 используя полярные координаты, найти площадь области , ограниченной указанными линиями:

10.49 ,,,.

10.50 ,,,.

10.51 ,.

10.52 ,().

В задачах 10.53-10.56 найти среднее значение функции в области, ограниченной указанными линиями, если:

10.53 ,,.

10.54 ,,.

10.55 ,,,.

10.56 .

Объём υ цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу плоскостьюи с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскостиобласть, вычисляется по формулеυ. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координатк полярным координатам, имеет место формулаυ,где - область интегрирования в плоскости переменныхи.

В задачах 10.57-10.62 найти объёмы тел , ограниченных следующими поверхностями:

10.57 ,,,,.

10.58 ,,,.

10.59 ,,,.

10.60 ,,.

10.61 ,,,.

10.62 ,,.

В задачах 10.63-10.66 перейти к полярным координатам и найти объёмы тел , ограниченных поверхностями:

10.63 ,,,.

10.64 ,.

10.65 ,,.

10.66 ,.

Если - область плоскости, занятая пластинкой, и- плотность пластинки, то статические моментыи, моменты инерциииотносительно осейи, масса, координатыицентра масспластинкивычисляются по формулам:

, ,,,

, ,.

Если пластинка однородная, то полагают .

В задачах 10.67-10.70 найти массу пластинки плотности , ограниченной указанными линиями:

10.67 ,, , .

10.68 ,,,, .

10.69,,,,.

10.70 ,, , .

10.71 Найти массу круглой пластинки радиуса , если плотность еёпропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равнана краю пластинки.

10.72 Плоское кольцо ограничено двумя концентрическими окружностями, радиусы которых равны соответственно и. Зная, что плотность материалапропорциональна расстоянию от центра окружностей, найти массу кольца, если плотность на окружности внутреннего круга равна.

10.73 Найти статические моменты следующих однородных плоских фигур (плотность ):

а) прямоугольника со сторонами иотносительно стороны;

б) полукруга радиуса относительно диаметра;

в) круга радиуса относительно касательной;

г) четверти эллипса с полуосями иотносительно полуоси.

В задачах 10.74-10.77 найти координаты центра масс однородной пластинки плотности , ограниченной линиями: