Математика-2-й семестр (курс лекций)

ётся, так как предел отношения производных не существует.

Действительно, (x sin x) 1 cos x, (x sin x) 1 cos x и

что и означает отсутствие указанного предела (см. теорему о единственности предела и её следствия). Тем не менее

lim x sin x x x sin x

существует, так как

171

3.2. Монотонные функции

Займёмся установлением связи между производной и монотонностью функции. Заметим, что для определения монотонности используется понятие линейного порядка Так как понятие линейного порядка введено у нас лишь для точек числовой прямой, то в пределах этого подраздела будем иметь дело со скалярными функциями скалярного аргумента. Напомним, что определение монотонных функций дано в п.1.3.2.

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.5. Пусть функция f определена и непрерывна на отрезке a, b и имеет конечную производную хотя бы на интервале (a,b) . Для того, чтобы функция f была возрастающей (убывающей) на отрезке a, b , необ-

172

Аналогично доказывается справедливость неравенства (3.1) в

тервала. Тогда по теореме Лагранжа

f (x2 ) f (x1 ) f (c) (x2 x1 ) ,

Замечание. Пусть всюду на (a,b) f (x) 0 . Тогда из равен-

ства f (x2 ) f (x1 ) f (c) (x2 x1 ) следует, что при x2 x1 выполняется и неравенство f (x2 ) f (x1 ) 0 , или, что то же самое,

не для всех точек строгого возрастания функции f (x) x3 .

Доказанная теорема позволяет выделить участки монотонного поведения функции f (если они есть).

Пример 1. Найти участки монотонности функции f (x) 2x3 3x2 12x 5.

Функция f всюду дифференцируема, поэтому для выяснения участков монотонности функции f найдем производную

f (x) 6x2 6x 12.

Это квадратный трехчлен, находим его корни:

173

Функция дифференцируема на всей числовой оси, за исключением точки x 0 . Действительно, при x 0 , по определению производной скалярной функции скалярного аргумента, можем

Мы получили, что левосторонний и правосторонний пределы

Вычисляя производную, получаем

174

3.3. Экстремумы

3.3.1. Необходимые условия экстремума

В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с задачами о выборе наилучшего, в том или ином смысле, варианта: достижения максимальной прибыли, максимального выхода продукта и т.д. Все такие задачи носят название экстремальных. Подобными задачами мы и будем заниматься в данном подразделе. Так как в нижеследующих определениях будет использовано понятие линейного порядка в области

максимума (строгого локального максимума).

175

Определение 3. Точка x0 называется точкой экстремума функции f , если она является точкой

максимума или точкой минимума.

Между точками наименьшего и наибольшего значений функции (глобальных минимума и максимума), с одной стороны, и точками минимума и максимума (локальных минимума и максимума), с другой стороны, имеется связь, выражаемая следующей теоремой.

Теорема 3.6. Если точка наименьшего (наибольшего) значения есть внутренняя точка множества D , то она является точкой минимума (максимума).

Доказательство очевидно, так как всякая внутренняя точка множества D входит в него вместе с некоторой своей окрестностью и поэтому, если соответствующее неравенство выполнено для всех x из множества D , то оно выполнено и для всех точек соответствующей окрестности.

Отметим, что не всякая точка минимума или максимума является точкой наименьшего или наибольшего значения в области, но в некоторой своей окрестности точки минимума (максимума) являются точками наименьшего (наибольшего) значения. Поэтому точки минимума и максимума называют также точками локального минимума и максимума (локального экстремума) в отличие от точек наименьшего и наибольшего значений, которые называют точками глобального минимума и максимума.

На приведённом рисунке x0 – точка наименьшего значения

176

одного аргумента. Так как по определению экстремума x0 – точка наибольшего или наименьшего значения в некоторой своей окрестности, то по теореме Ферма f (x0 ) 0 .

Пусть теперь f – скалярная функция многих переменных,

(0,0,...,0) 0 Rn . Теорема доказана.

Для дифференцируемой функции равенство нулю производной эквивалентно обращению в нуль дифференциала. Действительно, если f (x0 ) 0 , то

177

Поэтому для дифференцируемой функции теорема 3.7 может быть сформулирована в эквивалентной форме.

Теорема 3.7а. Если x0 – точка экстремума дифференцируемой функции f , то в этой точке df (x0 ) 0 .

В дальнейшем нам потребуется следующее определение. Определение 4. Точка x0 , в которой производная об-

ращается в нуль ( f (x0 ) 0 ), называется стационарной точкой функции f .

Из теоремы 3.7 следует, что подозрительными на экстремум точками, то есть точками, в которых может достигаться экстремум функции f , являются её стационарные точки. Кроме

этого, подозрительными на экстремум точками являются точки, в которых производная не существует.

Есть функции, для которых необходимые условия первого порядка являются и достаточными. Примером таких функций служат так называемые выпуклые функции, о которых мы поговорим позже. В частности, для квадратичной функции

есть точка минимума. Тем не менее в общем случае обращение в нуль первой производной, а равно и дифференциала первого порядка, не является достаточным условием существования

3.3.2. Достаточные условия экстремума

В тех случаях, когда необходимые условия экстремума не являются достаточными, они не позволяют выяснить наличие экстремума. Поэтому возникает потребность получения доста-

178

точных условий экстремума в общем случае, чем мы сейчас и займемся.

Для скалярной функции одной переменной достаточные условия экстремума формулируются: 1) с помощью первой производной; 2) с помощью второй производной.

Достаточные условия на основе первой производной.

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x0 и

некоторой её окрестности и эта точка является подозрительной на экстремум для функции f (x) . Если при переходе через по-

дозрительную на экстремум точку x0 производная f (x)

1)меняет знак с " " на " " , то в точке x0 максимум;

2)меняет знак с " " на " " , то в точке x0 минимум;

3)не меняет знака, то в точке x0 экстремума нет. Доказательство этого утверждения иллюстрируется рисун-

ками в верхнем ряду – для стационарных точек и рисунками в нижнем ряду – для точек, в которых производной нет.

Отметим, что достаточные условия, сформулированные с помощью первой производной на случай функции многих переменных не обобщаются.

Достаточные условия на основе второй производной.

Отметим, что если x0 – стационарная точка, то есть f (x0 ) 0 и существует вторая производная f (x0 ) функции f

179

Возможны три нижеследующих варианта:

1. Квадратичная форма (3.4) положительно определена, то-

180