Математика-2-й семестр (курс лекций)

1)функции f (x) и g(x) непрерывны на отрезке a, b ;

2)существуют производные f (x) и g (x) в интервале

(a,b) ;

3)g (x) 0 для всех x из (a,b) .

Тогда существует точка из интервала (a,b) такая,

что

g(x) удовлетворяет условиям теоремы Ролля и, следовательно, существует точка из (a,b) , в которой g (x) 0 , что вступает

в противоречие с третьим условием теоремы. Рассмотрим теперь вспомогательную функцию

F(x) f (x) k(g(x) g(a)).

Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, константу k найдем из условия F (b) F (a) . Имеем F (a) f (a) ,

F(b) f (b) k(g(b) g(a)) , отсюда

k f (b) f (a) . g(b) g(a)

Функция

F (x) f (x) f (b) f (a) (g(x) g(a)) g(b) g(a)

удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля и поэтому существует точка из (a,b) такая, что

откуда и следует утверждение теоремы.

Применим теорему Лагранжа для доказательства сформулированной в подразделе 2.7 теоремы о равенстве смешанных производных.

Теорема 2.9. Если смешанные частные производные

161

Имеем

y x f (x, y) y ( x f (x, y)) y ( f (x x, y) f (x, y))

( f (x x, y y) f (x, y y)) ( f (x x, y) f (x, y)) ,

x y f (x, y) x ( y f (x, y)) x ( f (x, y y) f (x, y))

( f (x x, y y) f (x x, y)) ( f (x, y y) f (x, y)) .

Так как правые части совпадают, то совпадают и левые, что и требовалось доказать.

Далее

откуда, применяя теорему Лагранжа к отрезку x, x x , имеем

Применяя теорему Лагранжа к отрезку y, y y , из последнего

Таким образом, мы показали, что

162

Приравнивая, в силу соотношения (2.39), правые части равенств

(2.40) и (2.41), имеем

y 0 , получаем, в силу непрерывности производных, утверждение теоремы.

2.16. Достаточные условия дифференцируемости

В начале раздела было было введено понятие дифференцируемой функции и для таких функций введена производная. Таким образом, если функция дифференцируема, то у неё есть производная и, следовательно, существование производной является необходимым условием дифференцируемости функции.

Займемся теперь выяснением достаточных условий дифференцируемости, то есть таких условий, при выполнении которых функция будет дифференцируема. Желательно, чтобы эти условия были связаны с существованием производной. Для функции одной переменной эти условия заключены в следующей теореме.

Теорема 2.10. Если скалярная функция f одной переменной имеет в точке x0 конечную производную, то

она дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Нам нужно показать, что при выполнении условия теоремы

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x (x0 , x) ,

при этом

lim (x0 , x) 0 .

x 0 x

163

По определению производной

стремится к нулю при x 0 . Следовательно, (x0 , x) x –

бесконечно малая более высокого порядка малости, чем x , а так как (2.42) можно записать в виде

f (x0 x) f (x0 ) f (x0 ) x (x0 , x) x ,

то теорема доказана.

Аналогичный результат справедлив и для векторнозначных функций одной переменной.

Теорема 2.10а. Если вектор-функция f одной переменной имеет в точке x0 конечную производную, то она

дифференцируема в этой точке.

Доказательство. Переходя к координатной форме записи из предыдущей теоремы получаем требуемое.

Таким образом, для скалярнозначных и векторнозначных функций скалярного аргумента существование производной является одновременно и необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции.

Для функции двух и большего числа переменных это не так. Существования производной в точке недостаточно для дифференцируемости функции. Для них справедлива следующая теорема.

Теорема 2.11. Если скалярная функция многих переменных имеет конечную производную в окрестности точки x0 и эта производная непрерывна в точке x0 , то функ-

ция дифференцируема в этой точке.

Доказательство приведем для функции двух переменных. Обобщение на случай функции большего числа переменных не представляет трудности. Рассмотрим приращение функции f

f f (x0 x, y0 y) f (x0 , y0 ) f (x0 x, y0 y)

164

Применяя к каждой скобке в правой части этого равенства теорему Лагранжа, получаем, что

Аналогичный результат справедлив и для векторнозначных функций многих переменных.

Теорема 2.11а. Если вектор-функция многих переменных имеет конечную производную в окрестности точки x0 и эта производная непрерывна в точке x0 , то функ-

ция дифференцируема в этой точке.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.10а.

165

3. Применения дифференциального исчисления

3.1. Раскрытие неопределенностей. Теорема Лопиталя

Под неопределённостями будем понимать случаи вычисления пределов, в которых не удаётся воспользоваться теоремами о пределе суммы, произведения, дроби, степени и другими из-за того, что результат соответствующей операции, в силу различных причин, не определён. Например, при нахождении предела

дем заниматься этими двумя неопределённостями, т.к. неопределённости 0 , 00 , 1 , 0 и можно свести к ним. По-

кажем, как это сделать для каждой из перечисленных неопределённостей.

1. Неопределённость 0 является символической записью

2. Неопределённости 00, 1 , 0 сводятся к неопределённости вида 0 логарифмированием. Действительно, первая из

166

то существует предел отношения самих функций, тоже равный K

167

теоремы Лопиталя при x0 0 , что и доказывает следствие. Аналогичный результат имеет место и для неопределённо-

168

Доказательство несложно и желающие могут ознакомиться с ним в [8]. Теорема верна и при x .

Если предел отношения производных снова есть одна из неопределенностей, то теорему Лопиталя применяют повторно до тех пор, пока предел отношения соответствующих производных может быть вычислен. Точнее, имеют место следующие обобщения теорем 1 и 2.

Теорема 3.3 (Лопиталя). Пусть

3) всюду на интервале (a,b) существуют производные f (n) (x) и g(n) (x) , причем g(n) (x) 0 .

Если существует предел отношения производных

lim f (n) (x) K ,

x x0 g (n) (x)

то существует предел отношения производных порядка 0 k n , тоже равный K

g(n) (x) , причем g(n) (x) 0 .

Если существует предел отношения производных

lim f (n) (x) K ,

x x0 g(n) (x)

169

то существует предел отношения производных порядка 0 k n , тоже равный K

170