Лекции Ивашкин МЖГ

∂ 2 ϕ

+

∂ 2 ϕ

= 0 ,

∂x 2

∂y 2

∂ 2 ψ

+

∂ 2 ψ

= 0.

∂x 2

∂y 2

ψ. $ , %

,

ψ = 0,

" ,

. .

x = ± ∞

(" wx = w∞ ),

ψ = w∞y;

2)

"

,

"

x = ± ∞, y = 0 ÷ ± ∞, " wx = w∞ , ∂ϕ / ∂x = w∞ ,

∂ϕ / ∂y = 0,

– ϕ

ψ, – ,

(4.2) (4.3), %

:

=

∂ϕ

=

∂ψ

wx

∂x

;

∂y

(4.4)

w

= ∂ϕ = − ∂ψ .

y

∂y

∂x

χ (z ) = ϕ + iψ .

(4.5)

dχ

= ∂χ =

∂ (ϕ + iψ )

= w

− iw

=

=

w

e −iθ

x

y

w

dz

∂x

∂x

dχ

=

∂χ

= − i

∂ (ϕ + iψ )

= w

− iw

=

=

w

e −iθ

,

w

∂ (iy )

x

y

dz

∂y

dχ

=

w

= w

2

+ w

2 .

x

dz

y

∫w dz = ∫ dχ dz = ∫dχ = ∫(dϕ + idψ).

c

c

dz

c

c

. . ∫w dz = ∫dϕ = ∫(wx dx + wy dy )= ;

c

c

c

(4.6)

∫

∫

∫

x

y

-. .

w

dz =

dψ =

(w

dy − w

dx) = Q .

c

c

c

.

. + χ(z) = z,

("

– %

). $

=

dx

= a = const = w

− iw

=

w

(cos Θ − i sin Θ).

w

x ∞

y ∞

∞

dz

+

,

"

θ ( . 28). 2 :

χ(z) =

w∞

(cosΘ − i sin Θ)z .

. 28.

+:

1)

θ = 0 – , 0x. ,"

χ (z ) =

w∞

z ;

(4.7)

2)

θ = π / 2 – ,

0y.

,"

χ (z ) = −i

w∞

z .

(4.8)

. – ,

% . ,

,

. /

. !

.

,

. 29.

Qi = 2πr wri.

#

w

=

Q

= ∂ϕ ,

dϕ =

Q

dr

,

ϕ =

Q

lg r ;

r

2πR

∂r

2π r

2π

" –

w

= ∂ψ

=

1

∂ψ =

Q

, dψ =

Q

dΘ , ψ =

Q

Θ .

r

∂S

r ∂Θ 2πr

2π

2π

χ (z ) = ϕ + iψ =

Q

(ln r + iΘ) =

Q

ln(r eiΘ )=

Q

ln z .

(4.9)

2π

2π

2π

.

,

w = wr → 0

P → P∞. !

P∞ = P +

ρw 2

;

P = P∞ −

ρQ 2

1

.

(4.10)

2

8π 2

r 2

. "

#

( . 30).

(

;

wr = 0).

"$

r

:

. 30.

= 2πr wS .

%:

dϕ = wS dS = wS rdΘ =

dΘ ;

2π

dψ = −

dr ;

2πr

ϕ =

Θ ;

2π

ψ = −

ln r ;

2π

χ (z ) =

(Θ − i ln r ) =

(Θi + ln r ) =

ln z .

(4.11)

2π

2πi

2πi

,

:

P = P∞ −

ρ 2

1

.

8π 2

r 2

Q − i

χ (z ) =

ln z .

(4.12)

2π

. 31.

. 32.

. 33.

. ' ( . 32 33) (()

( ),

2 x. ,

Q x = m – –

x → 0,

. .

χ

=

Q

ln(z + x);

χ

= −

Q

ln(z − x).

(

2π

C

2π

2π

Q x

ln (z + x) − ln (z − x)

=

.

2π

x

!

lim

ln (z +

x)− ln (z −

x)

=

d

ln z =

1

,

x

dz

x→0

z

χ (z ) =

m

.

(4.13)

2πz

m

x

m

y

ϕ =

;

ψ = −

.

2π x 2 + y 2

2π

x 2 + y 2

. ,

x

,

χ1 = w∞ z

χ2 = m / 2πz.

:

χ = χ1 + χ 2

= w∞ z +

m

=

2πz

m

x

m

y

(4.14)

2

2

= w∞ x +

2

+ i w∞ y −

2 .

2π x + y

2π

x + y

ψ = w∞ y −

m

y

= const .

2π

x 2

+ y 2

! – :

w∞ y −

m

y

= 0.

2π

x 2

+ y 2

. 34.

%

a 2

z

≥ a .

(4.15 )

χ = w∞ z +

z

" # m.

%

m

a

2

χ =

+

z

< a .

2πa

2

z

z

∂ϕ

a

2

wr

=

∂z

= w∞

cos Θ 1

−

r

2

;

(4.16)

∂ϕ

∂ϕ

w

=

=

=

s

∂s

r dΘ

1

∂

a 2

=

w∞ r cos Θ

+

=

(4.17)

∂Θ

1

2

r

r

a

2

+

2

= − w∞ sin Θ 1

.

r

! ( . .

r = a):

wr = 0;

ws

= − 2w∞ sin Θ .

« » ( ws

, #

sin θ > 0

(I $ #)

#

s,

sin θ < 0 () I* #)

. +

θ = 0

θ = π,

ws = 0,

. . # # # –

A

B.

+

θ = π / 2

θ = ³/2 π,

ws = –2w∞, . . # & C D.

# & # & .

# #

w∞, ,

P∞

+

ρw∞

2

= P +

ρw 2

,

2

2

P − P

w 2

w 2 + w 2

∞

s

r

2

= 1 −

=

1 −

2

.

ρw∞

/ 2

w∞

w∞

# (4.16) (4.17) #:

P − P∞

= − 2

a 2

(sin 2 Θ − cos 2 Θ)−

a 4

.

ρw∞

2 / 2

r 2

r 4

& , . .

r = a

wr = 0, &, #

P − P∞

= C

= 1 − 4 sin 2 Θ ,

(4.18)

ρw∞

2 / 2

P

CP = f (θ) – (( ( . 35).

ρw∞2 / 2 . θ = ± π / 2

CP = –3; – .

,

P∞, .

dPx = Pa dΘ cos (P, x) ;

dPy

= Pa dΘ cos (P, y) .

(4.19)

% P r,

cos (P, x) = cos (π − Θ) = − cos Θ

π

= − sin Θ.

cos (P, y) = cos

+ Θ

2

(

)

a

2

χ

z

+

ln z .

(4.21)

= w∞ z +

z

2πi

dχ

a

2

w =

−

+

2

.

(4.22)

dz

= w∞ 1

z

2π z

" (4.22) "

( w = 0),

!

:

i

2

z 2 +

z − a 2

= 0 ;

z =

± a 2

−

.

2πiw∞

4πw∞

16π2 w

2

∞

%

z = ±

a 2 −

2

+

i .

16π2 w 2

4π w∞

∞

& , " "

) / 4π w∞

. * "

a.

&

0y.

) → 0

0x;

= 4πa w∞ .

% z1

z2 ,

!

z1 = z2 = ai;

3-! – " :

> 4πa w∞ .

%

2

z =

±

− a 2 i .

4π w∞

16π2 w

2

∞

" – . ! " "

A, "

" 0y,

! – "

B

(" ").

, !

" . ' " !

"-" .

( ! !

(z = aeiθ ). #

(4.22) "

a

2

(

−2iΘ )

−2iΘ

w = w∞ 1 −

+

= w∞

1 − e

+

e

=

z

2

2πiz

2πia

= 2w i e −iΘ

e iΘ − e −iΘ

−

i

−iΘ = ie −iΘ

sin Θ −

e

2w

∞

.

∞

2i

2πia

2πa

":

w

= 2w sin Θ −

;

w

= 2 sin Θ −

.

∞

2πa

w∞

2πw∞ a

ρw∞

2

ρw∞

2

2