Лекции Линал (не подробно)

А.Ю. Аникин

Лекции по линейной алгебре (2 семестр, факультеты РК, МТ)

1. Линейные пространства.

Определение 1. Множество L называется линейным (или векторным) пространством, а его элементы a; b; : : : 2 L векторами, если в L определены две операции (называемые линейными):

a) Сложение векторов: a + b 2 L 8a; b 2 L;

Сформулируем некоторые следствия из аксиом:

1)Существует единственный вектор 0, удовлетворяющий аксиоме 3).

2)Для всякого вектора a существует единственный противоположный вектор ( a).

3)Åñëè a + a = a, òî a = 0.

4) 0a = 0 = 0 8a 2 L; 2 R

5) Вектор ( 1)a является противоположным вектору a

1

6)Выражение a1 + a2 + : : : + an не зависит от расстановки скобок и, тем самым, корректно определено.

Доказательство.

1) Пусть 01; 02 два нулевых вектора. Тогда в силу аксиомы 3):

01 = 01 + 02 = 02:

Следовательно, 01 = 02, что и требовалось.

2)Пусть b1; b2 два вектора, противоположных вектору a 2 L. Тогда в силу аксиомы 4), а также аксиом 1),2):

b2 = (b1 + a) + b2 = b1 + (a + b2) = b1:

Следовательно, ( a1) = ( a2), что и требовалось.

3) Действительно,

0 = a a = (a + a) a = a + (a a) = a;

что и требовалось (первое равенство следует из аксиомы 3), второе имеет место по услвоию, третье из аксиомы 1), четвертое вновь из аксиомы 3)).

4) В силу аксиомы 5)

0a + 0a = (0 + 0)a = 0a:

По предыдущему свойству 0a = 0. Аналогично можно проверить, что

0 = 0.

5) В силу предыдущего свойства, а также аксиом 6),8):

a + ( 1)a = (1 1)a = 0:

Таким образом, вектор ( 1)a является противоположным к a, что и требовалось.

6) Выводится методом математической индукции из аксиомы 1).

Примеры.

2

1.Пространство V3. Его элементами являются свободные геометри- ческие векторы обычного трехмерного пространства. Операциями являются стандартное сложение векторов и умножение вектора на скаляр. Пространство V2 свободных геометрических векторов на плоскости вводится аналогично.

2.Пространство Rn арифметических векторов. Элементами в нем яв-

ляются векторы-столбцы:

Сложение столбцов и умножение столбцов на скаляр понимается в смысле обычных операций над матрицами. Легко проверить, что все 8 аксиом линейного пространства выполнены.

3.Пространство Mm n матриц из m строк и n столбцов. В каче- стве операций вводятся стандартные сложение матриц и умножение матрицы на число.

4.Пространство C[a; b]. Элементами этого пространства (векторами) являются функции, непрерывные на отрезке [a; b]. В качестве ли-

нейных операций мы вводим сложение функций и умножение функции на число. Из свойств непрерывных функций следует, что C[a; b] является линейным пространством.

Определение 2. Подмножество X L линейного пространства L называется подпространством, если X само является линейным пространством относительно операций, определенных в L.

Упражнение. Доказать, что непустое подмножество X L является

подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно линейных операций, а именно если

a + b 2 X; a 2 X 8a; b 2 X; 2 R

2. Линейная зависимость.

3

Определение 3. Система векторов fa1; a2; : : : ; ang называется линейно независимой, если для всяких чисел 1; 2; : : : ; n, не равных нулю одновременно,

n

X

k=1

Выражение в левой части (1) называется линейной комбинацией век- торов a1; a2; : : : ; an. Линейная комбинация с нулевыми коэффициентами:1 = 2 = : : : = n = 0 называется тривиальной.

Таким образом определение 3 можно переформулировать следующим образом. Система называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов равна нулю тогда и только тогда, когда она тривиальная.

Определение 4. Система векторов fa1; a2; : : : ; ang называется линейно зависимой, если существуют числа 1; 2; : : : ; n, не равные нулю одновременно, для которых

n

X

kak = 1a1 + 2a2 + : : : + nan = 0:

k=1

Другими словами, система векторов линейно зависима, если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулю.

Теорема 1 (Общий критерий линейной зависимости) . Система векторов fa1; a2; : : : ; ang линейно зависима тогда и только тогда, когда в ней

существует вектор ak, являющийся линейной комбинацией остальных векторов системы.

Доказательство. ) Пусть система линейно зависима. Тогда, по

Pn

определению, k=1 kak = 0, причем 9 k 6= 0. Не ограничивая общности, предположим, что 1 6= 0. Тогда

n

a1 = X k ak;

k=2 1

òî åñòü a1 является линейной комбинацией остальных векторов системы.

4

( Пусть a1 = Pn kak. Тогда

k=2

a1 + ( 2)a2 + : : : + ( n)an = 0:

Таким образом, мы нашли нетривиальную линейную комбинацию векторов, равную нулю.

Следствие 1. Два геометрических вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Три геометрических векторов линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Доказательство. По теореме 1 два вектора a; b линейно зависимы в том и только том случае, когда вектор a является линейной комбинацией вектора b. Это значит, что a = b или, что векторы коллинеарны.

Аналогично доказывается утверждение для трех векторов.

Определение 5. Линейной оболочкой векторов a1; a2; : : : ; an простран- ства L называется множество, обозначаемое X = Span(a1; a2; : : : ; an), всех линейных комбинаций этих векторов. Также говорят, что линейная оболочка X порождается векторами a1; a2; : : : ; an.

Упражнение. Доказать, что линейная оболочка X является линейным подпространством в L.

3. Базис. Координаты. Размерность.

Определение 6. Базисом линейного пространства L называется упорядоченный набор векторов

fekgnk=1 = fe1; e2; : : : ; eng;

удовлетворяющий свойствам:

1) система fe1; e2; : : : ; eng линейно независима;

2) любой вектор a 2 L можно выразить в виде линейной комбинацией

Выражение вида (2) называется разложением вектора a по базису

fekgnk=1.

5

Теорема 2. Разложение вектора по базису единственно.

Доказательство. Пусть вектор a разложен по базису двумя спосо-

Следовательно, Pnk=1( k k)ek = 0. Поскольку векторы fe1; e2; : : : ; eng линейно независимы, то

1 = 1; 2 = 2 : : : n = n;

что и требовалось.

Теорема 3. Пусть fekgnk=1 è ffkgmk=1 два базиса линейного простран- ства L. Тогда n = m.

Для координат вектора a в базисе E = fekgnk=1 будет использоваться обозначение: a = ( 1; 2; : : : ; n)E

Теорема 4. Пусть система E = fekgnk=1 образует базис в линейном пространстве L. Если a = ( 1; 2; : : : ; n)E è b = ( 1; 2; : : : ; n)E, òî a + b = ( 1 + 1; 2 + 2; : : : ; n + n)E è a = ( 1; 2; : : : ; n)E.

Доказательство. Очевидно.

Упражнение. Доказать, что любую линейно независимую систе- ìó fekgmk=1 можно дополнить до базиса всего линейного пространства

fekgnk=1.

Определение 8. Линейное пространство L называется конечномер-

ным, если оно имеет конечный базис E = fekgnk=1. Число n называется размерностью пространства L и обозначается n = dim L. Само про-

странство в таком случае называют n-мерным.

Примеры.

6

1. В пространстве Rn существует базис E = fekg, состаящий из векторов:

Такой базис E называется стандартным базисом в Rn.

2.Размерность пространства Mm n равна mn. В Mm n можно ввести базис, состоящий из всевозможных матриц с единственным ненулевым элементом, равным единице.

4. Матрица перехода.

Пусть E = fekgnk=1 è E0 = fe0kgnk=1 два базиса в линейном простран- стве L. Будем называть базис E старым (или исходным), а базис E0

новым.

Разложим векторы базиса E0 по базису E:

8 e01 = 1 1e1 + 1 2e2 + : : : + 1 nen e02 = 2 1e1 + 2 2e2 + : : : + 2 nen

>

>

>

<

>: : :

>

>

:e0n = n 1e1 + n 2e2 + : : : + n nen

èëè

В формуле (3) под умножением понимается стандартное произведение матриц.

Определение 9. Матрица P 2 Mn n в формуле (3) называется матрицей перехода от базиса E к базису E0.

Эквивалентное определение: P матрица перехода от E к E0, åñëè â k-м столбце P записаны координаты вектора e0k в базисе E.

7

Теорема 5. Матрица перехода P от базиса E к базису E0 невырождена. Наоборот, пусть векторы систем E = fekgnk=1 è E0 = fe0kgnk=1 связаны соотношением (3) с некоторой невырожденной матрицей P . Тогда если система E является базисом, то E0 также базис.

Доказательство. Введем обозначения

P (i) = ( i 1 i 2 : : : i n )T; i = 1; : : : ; n

для столбцов матрицы P . Докажем, что P (1); P (2); : : : ; P (n) линейно неза- висимы. Для этого рассмотрим их линейную комбинацию и приравняем

åå ê íóëþ:

n

X

i=1

Запишем это векторное равенство в координатах:

Домножим первое равенство на e1, второе на e2, и т.д. Полученные n равенств сложим:

nn

XX

Из этого равенства в силу линейной независимости e01; e02; : : : ; e0n вытека- åò, ÷òî 1 = 2 = : : : = n = 0. Следовательно, линейная комбинация

(4) тривиальна, т.е. столбцы матрицы P линейно независимы. Поэтому P невырождена.

Обратно. Рассмотрим линейную комбинацию векторов системы E0:

1e01 + 2e02 + : : : + ne0n = 0:

8

Повторяя выкдадки из первой части доказательства, получим формулу

(5). Из нее, в силу невырожденности матрицы P (а, следовательно, ли-

нейной независимости столбцов P (i)), следует, что 1 = 2 = : : : = n = 0. Поэтому векторы системы E0 линейно независимы, т.е. система E0 ÿâëÿ-

ется базисом.

Примеры.

1.Пусть новый базис E0 совпадает с исходным E. Тогда e0k = ek. Ïî- этому P = E (E единичная матрица). Вывод: матрица перехода от любого базиса к самому себе единичная.

2.Пусть E = fekgnk=1 исходный базис пространства L. Рассмотрим новый базис E0, состоящий из векторов e0k = ek. Тогда P = E. Вывод: матрица перехода к новому базису, получаемому растяжением всех векторов исходного базиса в раз, равна E.

3.Рассмотрим линейное пространство V2 геометрических векторов на

плоскости. Пусть E = fe1; e2g ортонормированный базис. Рассмотрим новый ортонормированный базис E0 = fe01; e02g, получаемый из E поворотом против часовой стрелки на угол . Обозначим

вектор e01 через OA, а вектор e02 через OB. Тогда A(cos ; sin ) и B( sin ; cos ). Следовательно,

Теорема 6. 1) Пусть E = fekgnk=1 è E0 = fe0kgnk=1 два базиса в ли- нейном пространстве L. Если P матрица перехода от базиса E к

базису E0, òî P 1 матрица перехода от базиса E0 к базису E.

2)Пусть E = fekgnk=1,E0 = fe0kgnk=1 è E00 = fe00kgnk=1 три базиса в ли- нейном пространстве L. Если P матрица перехода от базиса E

Доказательство. Докажем 2). В силу (3):

(e001 e002 : : : e00n) = (e01 e02 : : : e0n) P 0 = (e1 e2 : : : en) P P 0:

По определению, P 00 = P P 0, что и требовалось.

9

Доказательство 1) аналогично.

5. Формула преобразования координат.

Рассмотрим в линейном пространстве L два базиса: E = fekgnk=1 è

E0 = fe0kgnk=1.

Теорема 7. Пусть x = (x1; x2; : : : ; xn)E = (x01; x02; : : : ; x0n)E0. Тогда

Поскольку векторы e1; e2; : : : ; en линейно независимы, отсюда следует требуемая формула (6).

Замечание 1. Обратите внимание на различие между формулами (3) и

(6). В формуле (3) мы выражали векторы нового базиса через векторы исходного базиса, используя матрицу перехода P . В формуле (6) мы,

наоборот, выражаем исходные координаты вектора через новые!

Примеры.

10