Лекции Линал (не подробно)

1.Пусть E = fekgnk=1 исходный базис пространства L. Рассмотрим новый базис E0, состоящий из векторов e0k = ek. Тогда P = E. Пусть a = (a1; a2; : : : ; an)E = (a01; a02; : : : ; a0n)E0. Тогда ak = a0k. Âû- вод: если векторы нового базиса получаются из векторов исходного базиса растяжением в раз, то новые координаты фиксированного вектора получаются из исходных координат делением на .

2.Рассмотрим линейное пространство V2 геометрических векторов на плоскости. Пусть E = fe1; e2g ортонормированный базис. Пусть

новый ортонормированный базис E0 = fe01; e02g получается из E поворотом против часовой стрелки на угол . Рассмотрим произ-

вольный вектор OA, имеющий координаты (x; y) в базисе E. Если

Эту формулу можно получить непосредственно из теоремы 7.

Задача.

Пусть в пространстве R3 фиксирован базис E = fe1; e2; e3g. Рассмотрим векторы

e01 = e1 3e2 + 2e3; e02 = 2e1 5e2 + 5e3; e03 = 3e1 + 7e2 8e3:

координаты вектора a = ( 7; 15; 21)E в базисе E0

Решение. Запишем координаты векторов системы E0 в базисе E в виде столбцов матрицы P . Получим:

6. Евклидовы пространства.

11

Определение 10. Пусть в линейном пространстве L задана функция

a; b 2 L 7!A(a; b) 2 R;

сопоставляющая двум векторам a; b скаляр A(a; b). Предположим, что эта функция линейна по каждому аргументу, то есть:

A(a + b; c) = A(a; c) + A(b; c); A( a; b) = A(a; b);

A(a; b + c) = A(a; b) + A(a; c); A(a; b) = A(a; b):

для всех a; b; c 2 L и 2 R. Тогда A(a; b) называется билинейной формой в линейном пространстве L.

Определение 11. Пусть в линейном пространтсве L задана билинейная форма A(a; b) со свойством A(a; b) = A(b; a) 8a; b 2 L. Тогда A(a; b) называется симметричной билинейной формой.

Определение 12. Пусть в линейном пространтсве L задана билинейная форма A(a; b) со свойством A(a; a) 0 8a 2 L, причем A(a; a) = 0 только в том случае, когда a = 0. Тогда A(a; b) называется положительно определенной билинейной формой.

Определение 13. Если в линейном пространстве L задана билинейная

симметричная положительно определенная форма, то пространство L называют евклидовым. Сама билинейная форма тогда обозначается

(a; b) и называется скалярным произведением.

Примеры.

1. Трехмерное пространство геометрических векторов V3 с обычным

j jj j \

скалярным произведением (a; b) = a b cos (a; b) является евкли-

довым пространством. Билинейность, симметричность и положительная определенность следует из свойств скалярного произведения в V3. Вывод: линейное пространство V3 с обычным скалярным произведением является евклидовым.

2.Введем в пространстве Rn скалярное произведение следующим образом. Пусть a = (a1 a2 : : : an)T; b = (b1 b2 : : : bn)T. По определе- нию положим (a; b) = a1b1 + a2b2 + : : : + anbn. Легко видеть, что

12

условия билинейности, симметричности и положительной определенности выполняются. Вывод: пространство Rn с данным скаляр-

ным произведением является евклидовым. Такое скалярное произ- ведение в Rn называется стандартным. В дальнейшем под словами

"евклидово пространство Rn\ мы всегда будем понимать пространство со стандартным скалярным произведением.

3.В пространстве C[a; b] непрерывных на отрезке [a; b] функций мы введем скалярное произведение по формуле:

Симметричность очевидна. Билинейность и положительная определенность следует из известных свойств определенного интеграла. Вывод: пространство C[a; b] со скалярным произведением (7)

является евклидовым.

4.Рассмотрим в пространстве V3 билинейную форму, равную длине векторного произведения: A(a; b) = ja bj. Эта билинейная фор-

ма симметрична, но при этом не является положительно определенной. Действительно A(a; a) = 0 для любых векторов a. Таким образом, A(a; b) не является скалярным произведением.

5.Упражнение. Приведите пример билинейной, положительно определенной, но не симметричной формы. Приведите пример не билинейной, но при этом симметричной и положительно определенной формы.

7. Норма вектора.

Теорема 8 (Неравенство Коши-Буняковского) . В евклидовом пространстве L для любых векторов a; b 2 L выполняется следующее неравен-

ñòâî:

(a; b)2 (a; a)(b; b):

Доказательство. Из определения скалярного произведения следует,

÷òî:

( b + a; b + a) = 2(b; b) + 2 (a; b) + (a; a) 0

13

для всех 2 R. Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена (относительно переменной ) принимает неположительное значение. Таким образом, (a; b)2 (a; a)(b; b), что и требовалось.

Примеры.

1.В евклидовом пространстве V3 с обычным скалярным произведением неравенство Коши-Буняковского утверждает, что косинус угла между двумя произвольными векторами по модулю не превосходит единицы.

2.В евклидовом пространстве C[a; b] со скалярным произведением, введенным по формуле (7), неравенство Коши-Буняковского имеет

Определение 14. Пусть L евклидово пространство. Выражение ви-

p

да: kak := (a; a) называется нормой вектора a.

Замечание 2. Норма обобщает понятие длины геометрического вектора. Она определена корректно благодаря положительной определенности скалярного произведения.

Свойства нормы.

1. Положительная определенность: kak 0; причем kak = 0 , a = 0.

Доказательство.

1. Следует из положительной определенности скалярного произведения.

pp

2. k ak = ( a; a) = j j (a; a) = j jkak.

3.Пользуясь определением скалярного произведения и неравенством Коши-Буняковского, получим:

ka + bk2 = (a + b; a + b) = (a; a) + 2(a; b) + (b; b) =

=kak2 + 2(a; b) + kbk2 kak2 + 2kakkbk + kbk2 =

=(kak + kbk)2:

14

Следовательно, ka + bk kak + kbk, что и требовалось.

Замечание 3. На самом деле понятие нормы в пространстве L более ши-

рокое, чем данное в определении 14. А именно, нормой называют вещественную функцию векторного аргумента a 7! akk, удовлетворяющую

свойствам 1-3 (аксиомам положительной определенности, однородности и неравенству треугольника). При этом определение 14, называемое евклидовой нормой, дает лишь один из способов ввести структуру нормы в линейном пространстве L. В нашем курсе мы будем иметь дело только

с евклидовой нормой.

Упражнение. Доказать, что отображения, заданные по правилам:

являются нормами в арифметическом линейном пространстве Rn.

8. Угол. Ортогональность.

Определение 15. Углом между векторами a; b евклидова пространства L называется

(ad; b) := arccoskak kbk:

Замечание 4.

1)Выражение, стоящее под знаком арккосинуса, по модулю не превосходит единицы благодаря неравенству Коши-Буняковского. Следовательно, это определение корректно.

2)В случае евклидова пространства V3 определение 15 дает обычный угол между геометрическими векторами.

3)В евклидовом пространстве можно также определить проекцию век-

(a;b)

тора a на вектор b по формуле прba := kbk .

Определение 16. Два вектора a; b евклидова пространства L называются ортогональными, если (a; b) = 0.

15

Определение 17. Система векторов fakgnk=1 евклидова пространства L называется ортогональной, если

(ak; aj) = 0 8k 6= j:

Теорема 9. Ортогональная система fakgnk=1 ненулевых векторов ли- нейно независима.

Доказательство. Рассмотрим произвольную линейную комбинацию векторов системы:

Домножим обе части полученного равенства (в смысле скалярного произведения) на вектор a1. В силу ортогональности векторов a1 è ak ïðè k 2, получим 1(a1; a1) = 0. Заметим, что (a1; a1) 6= 0, поскольку вектор a1 ненулевой. Следовательно, 1 = 0. Аналогично проверяем, что

2 = : : : = n = 0. Отсюда следует, что линейная комбинация (8) тривиальная. По определению система fakgnk=1 линейно независима.

9. Ортонормированный базис.

Определение 18. Базис fekgnk=1 евклидова пространства называется ортонормированным, если система fekgnk=1 ортогональна и kekk = 1 8k.

Замечание 5. Не стоит путать ортогональный и ортонормированный базисы! Ортонормированный базис это такой ортогональный базис, все векторы которого нормированны, то есть, имеют единичную длину. Операция сопоставления вектору единичного вектора, коллинеарного данному называется нормировкой.

Теорема 10. Пусть E = fekgnk=1 ортонормированный базис простран- ñòâà L. Åñëè a = (a1; a2; : : : ; an)E; b = (b1; b2; : : : ; bn)E; òî

1)ak = (a; ek);

2)(a; b) = a1b1 + a2b2 + : : : + anbn;

p

3)kak = a21 + a22 + : : : + a2n:

Доказательство.

16

1) По определению a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen. Поэтому

(a; ek) = ak(ek; ek) = ak:

2) По определению

a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen; b = b1e1 + b2e2 + : : : + bnen:

Pn Pn

Поэтому (a; b) = k=1 akbk(ek; ek) = k=1 akbk.

3) Следует из определения нормы и свойства 2).

10. Матрица Грама.

Определение 19. Пусть F = ffkgnk=1 произвольный базис в евклидо- вом пространстве. Матрица скалярных произведений вида

называется матрицей Грама базиса F.

Теорема 11. Пусть F = ffkgnk=1 базис пространства L с матрицей Грама G. Если a = (a1; a2; : : : ; an)F; b = (b1; b2; : : : ; bn)F; òî

0 1 b1

B b2C

(a; b) = (a1 a2 : : : an)G B C: (9)

B C

@: : :A bn

Доказательство. Действительно,

!

n n n n

17

Замечание 6.

1)Матрица Грама симметрична, то есть G = GT.

2)Если F ортонормированный базис, то матрица Грама G является единичной матрицей E. В этом случае формула для скалярного произведения (9) приобретает вид как в теореме 10.

3)Если F ортогональный базис, то G диагональная матрица.

Теперь покажем, как использовать матрицу Грама для вычисления длин и углов в косоугольном базисе, на простом примере из аналитиче-

11. Ортогонализация Грама-Шмидта.

В предыдущих параграфах мы видели, что ортонормированные базисы являются весьма удобной конструкцией. Действительно, из теоремы 10 и формулы (9) видно, что формулы для вычисления длин, углов и т.д. имеют самый простой вид в ортонормированном базисе.

Заметим, что в произвольном конечномерном евклидовом пространстве существование ортонормированного базиса не является очевидным утверждением. Скажем, теорема 9 утверждает, что любые k ненулевых

ортогональных вектора линейно независимы. При этом ничего не говорится о том, что в n-мерном пространстве можно отыскать ровно n ор-

тогональных векторов. Имеет место

Теорема 12. В любом конечномерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.

18

Замечание 7. Доказательство носит конструктивный характер. А именно, мы предъявим алгоритм построения ортонормированного базиса E =

fe0kgnk=1 из исходного произвольного базиса F = ffkgnk=1. Такой алгоритм назвается процессом ортогонализации Грама-Шмидта.

Доказательство. Пусть F = ffkgnk=1 произвольный базис евкли- дова пространства L. Построим ортогональный базис fekgnk=1 â òîì æå

пространстве L.

Шаг 1. Положим e1 := f1.

Шаг 2. Будем искать e2 â âèäå e2 := f2 + e1 с условием (e2; e1) = 0. Это условие равносильно следующему: (f2; e1)+ (e1; e1) = 0. Вывод: если

ной оболочке Span(f1; f2). Действительно, векторы f1; f2 линейно незави- симы. Следовательно, размерность пространства Span(f1; f2) равна двум. С другой стороны, по теореме 9 ненулевые ортогональные векторы e1; e2 линейно независимы, следовательно, они образуют базис в Span(f1; f2).

Шаг 3. Будем искать вектор e3 â âèäå e3 := f3 + 1e1 + 2e2 с условием (e3; e1) = (e3; e2) = 0. Поскольку векторы e1 è e2 ортогональны, это условие равносильно следующему:

(f3; e1) + 1(e1; e1) = (f3; e2) + 2(e2; e2) = 0:

тогональный базис в линейной оболочке Span(f1; f2; f3) (см. рассуждение

âèåì (ek; e1) = : : : = (ek; ek 1) = 0. Поскольку система fe1; e2; : : : ; ek 1g ортогональна (по построению на предыдущих шагах), это условие равносильно следующему:

(fk; e1) + 1(e1; e1) = : : : = (fk; ek 1) + k 1(ek 1; ek 1) = 0:

Вывод: если

то векторы e1; e2; : : : ; ek образуют ортогональный базис в линейной оболочке Span(f1; f2; : : : ; fk).

19

. . .

На последнем шаге k = n мы строим ортогональный базис во всем

E = fe0kgnk=1 пространства L.

Замечание 8.

1)Если исходный базис F = ffkgnk=1 является ортонормированным, то ортогонализация даст тот же самый базис ek = fk. Легко видеть, что коэффициенты ; 1; 2; : : : равны нулю.

2)Если алгоритм Грама-Шмидта формально применить к линейно зависимой системе, то на некотором шаге получится ek = 0.

Задача.

Найти ортонормированный базис линейной оболочки следующих векторов евклидова пространства R4:

Решение. Положим, e1 = f1. Далее, поскольку векторы f1; f2 ортого- нальны, e2 = f2.

Найдем вектор e3 = f3 + 1e1 + 2e2, ортогональный векторам e1; e2. Из доказательства теоремы 12 следует, что

ортонормированный базис fe01; e02; e03g:

20