Лекции Линал (не подробно)

Аналогично, квадратичная форма B отрицательно определена тогда и только тогда, когда

1 = < 0; 2 = 2 > 0:

В остальных случаях квадратичная форма не является знакоопределенной.

Изобразим на плоскости O множества значений параметров, отве- чающих положительно определенным (+) и отрицательно определенным ( ) квадратичным формам.

36. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием координат.

Изучим вопрос о приведении квадратичной формы к каноническому виду, когда используются только ортогональные преобразования координат.

Теорема 44. Для любой квадратичной формы существует канониче- ский ортонормированный базис, в котором она имеет вид:

n

X

B(x; x) = iyi2;

i=1

где числа i не зависят от выбора канонического ортонормированного базиса.

Переформулировка теоремы 44. Пусть квадратичная форма задана в ортонормированном базисе своей координатной записью (29).

61

Тогда существует такое ортогональное преобразование координат (6), ÷òî B(x; x) = Pni=1 iyi2, где числа i не зависят от выбора ортогональ-

ного преобразования.

Доказательство. Пусть E ортонормированный базис. Матрица квадратичной формы BE является по определению симметричной. Далее, согласно теореме 38 существует ортогональная матрица U такая, что UTBEU = . Теперь в соответствии с теоремой 37 матрица U является матрицей перехода от E к ортонормированному базису F. Наконец, матрица квадратичной формы в базисе F (см. (25)) имеет вид:

BE = UTBEU = :

Числа, стоящие на диагонали матрицы , являются собственными значениями оператора A, заданного матрицей BE в базисе E. Следовательно, они не зависят от выбора базиса.

37. Кривые второго порядка.

В этом и следующем параграфах мы будем иметь дело с приложениями линейной алгебры.

Рассматривается следующая задача. На плоскости (двумерной) фиксирована декартова система координат Oxy. Кривой второго порядка

называется геометрическое место точек M(x; y) плоскости, координаты которых удовлетворяют следующему уравнению:

где A; B; C; D; E; F действительные числа, и среди A; B; C хотя бы одно

число отлично от нуля (иначе кривая будет первого или даже нулевого порядка).

Задача состоит в том, чтобы для данной кривой второго порядка найти новую декартову систему координат O0x0y0 такую, что в новых коор-

динатах уравнение этой кривой будет каноническим уравнением эллипса, гиперболы или параболы (или вырожденной кривой: пересекающихся прямых, параллельных прямых и т.д.).

Напомним, что в курсе аналитической геометрии такая задача рассматривалась в случае B = 0. Теперь, используя методы линейной ал-

гебры, мы рассмотрим общий случай B 6= 0.

Теорема 45. Рассмотрим кривую второго порядка, заданную уравнением (30). Существует ортогональное преобразование координат:

62

такое, что в новых координатах кривая задается уравнением:

A0x02 + C0y02 + 2D0x0 + 2E0y0 + F 0 = 0:

Доказательство. В евклидовом пространстве R2 фиксируем стан-

дартный базис E = fe1; e2g (см. пример 1 3). Рассмотрим в R2 квадра- тичную форму с координатной записью Q(x) = Ax2+2Bxy+Cy2 в базисе

E, ãäå x = (x; y)E. По теореме 44 существует ортонормированный базис F, в котором данная квадратичная форма имеет вид Q(x) = A0x02+C0y02; ãäå

x = (x0; y0)F. Формула преобразования координат имеет вид (31), причем

координат (31) является ортогональным по определению.

Теперь найдем уравнение кривой в декартовой системе координат Ox0y0. Для этого подставим формулы (31) в (30):

A0x02 + C0y02 + 2D(c1 1x0 + c1 2y0) + 2E(c2 1x0 + c2 2y0) + F = 0:

Если в этой формуле положить

D0 = 2Dc1 1 + 2Ec2 1; E0 = 2Dc1 2 + 2Ec2 2; F 0 = F;

то получим требуемое.

Задача.

Построить кривую определяемую уравнением:

Решение. Действуем так же, как и при доказательстве теоремы 45. Пусть E = fe1; e2g стандартный ортонормированный базис в R2. Ðàñ-

смотрим квадратичную форму Q(x) = 3x2 + 2xy + 3y2 Ее матрица имеет

!

3 1

âèä BE = : Составляем характеристическое уравнение

1 3

торы матрицы (а точнее, оператора с матрицей BE в базисе E) имеют

63

координаты:

Базис F = ff1; f2g является ортонормированным и каноническим для квадратичной формы Q(x). Матрица перехода от базиса E к базису F

Формулы преобразования координат, в соответствии с (6) имеют вид:

pp !

получаем каноническое уравнение эллипса:

(x00)2 + (y00)2 = 1: 11 11=2

38. Поверхности второго порядка. Пусть в трехмерном пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz. Рассмотрим

64

геометрическое место точек M(x; y; z) 2 , координаты которых удовлетворяют уравнению

ãäå

F2 = Ax2 + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2F yz;

F1 = Gx + Hy + Iz;

F0 = K;

для некоторых действительных чисел A; B; : : : ; K, причем, F2 íå ðàâ- но тождественно нулю. Множество называется поверхностью второго порядка. Многочлены Fk относительно переменных x; y; z называются однородными многочленами степени k.

Из курса аналитической геометрии известно, что если D = E = F = 0, то является либо эллипсоидом, либо гиперболоидом (однополост-

ным, двуполостным), либо конусом, либо параболоидом (эллиптическим, гиперболическим), либо цилиндром (эллиптическим, гиперболическим, параболическим), либо представляет собой вырожденную поверхность (пересекающиеся плоскости, параллельные плоскости, пустое множество и т.д.).

Используя теорию квадратичных форм, можно свести произвольный случай преобразованием координат к случаю D = E = F = 0.

Теорема 46. Для любой поверхности второго порядка , заданной уравнением (34), найдется такая декартова система координат Ox0y0z0, â которой уравнение поверхности имеет вид:

G2(x0; y0; z0) + G1(x0; y0; z0) + G0 = 0;

ãäå

G2 = A0x02 + B0y02 + C0z02;

G1 = G0x0 + H0y0 + I0z0;

G0 = K0;

ãäå Gk однородные многочлены степени k относительно переменных x0; y0; z0.

65

Доказательство. В евклидовом пространстве R3

дартный базис E = fe1; e2; e3g (см. пример 1 3). Рассмотрим в R3 êâàä- ратичную форму с координатной записью Q(x) = F2(x; y; z) в базисе E,

ãäå x = (x; y; z)E. По теореме 44 существует ортонормированный базис F, в котором данная квадратичная форма имеет вид Q(x) = A0x02 + B0y02 +

C0z02; ãäå x = (x0; y0; z0)F. Преобразование координат

zz0

по теореме 37 является ортогональным.

Запишем уравнение поверхности в декартовой системе координат Ox0y0z0. Для этого подставим формулы (35) преобразования координат в

(34).

После подстановки (35) в многочлен F2(x; y; z) получим многочлен G2(x0; y0; z0) = A0x02+B0y02+C0z02. Подстановка формул (35) в однородный

многочлен первой степени F1(x; y; z) дает вновь однородный многочлен первой степени, который мы запишем в виде: G1(x0; y0; z0) = G0x0 + H0y0 +

I0z0.

Таким образом, в декартовой системе координат Ox0y0z0 уравнение поверхности имеет требуемый вид.

66