Лекции Линал (не подробно)

6)(A 1)E = (AE) 1

7)IE = E:

Доказательство. Свойства 5) 6) доказаны в теореме 17. Свойства 4); 7) разобраны в примере 1 14. Остальные свойства очевидны.

Замечание 15.

1.Попросту говоря, теорема 18 утверждает, что алгебры матриц и операторов эквивалентны с точки зрения устройства операций.

2.В частности, если dim L = n, то пространство всех линейных операторов A : L ! L имеет размерность n2 (поскольку такую раз- мерность имеет пространство всех матриц размера n n).

3.Вследствие теоремы 18, оператор часто отождествляется со своей матрицей. А именно, под Ax понимают одновременно и значе- ние оператора на векторе x, и произведение матрицы оператора

на вектор-столбец с координатами. Это объясняет происхождение обозначения Ax вместо A(x).

18. Собственные векторы и собственные значения.

Определение 29. Пусть A : L ! L линейный оператор. Вектор v 6= 0 называется собственным, отвечающим собственному значению, если Av = v.

Замечание 16. Геометрический смысл определения 29 состоит в следующем. Прямая с направляющим вектором v (т.е. множество всех векто-

ров, коллинеарных v) остается инвариантной (не меняется) под действием оператора A. При этом любой вектор этой прямой под действием A растягивается в раз.

Теорема 19. Множество L , состоящее из нулевого вектора и всех собственных векторов v с собственным значением , образуют подпространство в L.

Доказательство. Рассмотрим любые векторы v1; v2 2 L . Тогда

A(v1 + v2) = Av1 + Av2 = v1 + v2 = (v1 + v2);

A( v1) = Av1 = ( v1) = ( v1):

Следовательно, v1 + v2; v1 2 L :

31

Определение 30. Подпространство L L называется собственным подпространством.

Примеры.

1. Рассмотрим такой оператор A : L ! L, что Ker A 6= f0g. Тогда

= 0 является собственным значением, причем L0 = Ker A.

2.Рассмотрим линейный оператор A : V3 ! V3, действующий по пра- вилу Ax = (x; a)a. Найдем его собственные векторы и собственные значения. По определению, v собственный вектор, а собственное значение, если (v; a)a = v. Такое соотношение может иметь место лишь в следующих двух случаях:

a) v = ka. В этом случае:

Av = (ka; a)a = kkak2a = kak2v:

Вывод: = kak2 является собственным значением, а все ненулевые векторы, коллинеарные a образуют соответствующее собственное подпространство.

b)= 0. В этом случае собственный вектор v удовлетворяет равенству: Av = (v; a)a = 0, которое выполняется, если (v; a) = 0. Вывод: = 0 собственное значение, а соответстующие собственные векторы все ненулевые векторы, ортогональные a.

3.Рассмотрим оператор поворота A : V2 ! V2 на угол 6= n против часовой стрелки вокруг начала координат. A не имеет собственных векторов. Действительно, поскольку любой вектор v поворачивается, равенство Av = v имеет место тогда и только тогда, когда v = 0.

19. Характеристический многочлен.

Выясним, как находить собственные векторы и собственные значе- ния, зная матрицу линейного оператора в некотором базисе.

Теорема 20.

1)Пусть A : L ! L линейный оператор, E = fekgnk=1 базис в L. Вектор v = (v1; v2; : : : ; vn)E 2 L является собственным для оператора

32

A, отвечающим собственному значению , тогда и только тогда, когда

единичная матрица.

2) собственное значение оператора A тогда и только тогда, когда

Доказательство.

1)Пусть I как всегда обозначает тождественный оператор. Тогда вектор v является собственным тогда и только тогда, когда Av = Iv. Запи-

сав координаты векторов в левой и правой частях этих выражений, мы получим AEv = v. Поэтому

AEv v = (AE E)v = 0;

что и требовалось.

2)является собственным значением тогда и только тогда, когда существует ненулевое решение v = (v1 v2 : : : vn)T системы (12). Как извест- но из курса аналитической геометрии, ненулевое решение однородной квадратной системы линейных алгебраических уравнений существует тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Таким образом, собственное значение тогда и только тогда, когда имеет место (13).

Определение 31. Многочлен, стоящий в левой части (13), называется характеристическим иногочленом матрицы AE. Само уравнение (13) также называется характеристическим.

Замечание 17. Поскольку собственные векторы и собственные значения определяются без привязки к конкретному базису, корни характеристи- ческого уравнения (они же собственные значения) не зависят от выбора базиса. На самом деле можно утверждать большее: коэффициенты характеристического многочлена не зависят от выбора базиса.

33

Теорема 21. Характеристический многочлен A( ) = det (AE E) не зависит от выбора базиса E.

Замечание 18. Эта теорема позволяет говорить о характеристическом многочлене или уравнении оператора A вместо матрицы AE.

Доказательство. Рассмотрим другой базис E0. Пусть P матрица пе-

рехода от базиса E к базису E0. Обозначим через AE0 матрицу A в базисе E0. Согласно теореме 15, AE0 = P 1 AE P . Заметим, кроме того, чтоE = P 1 E P . Тогда

det (AE0 E) = det (P 1AEP P 1( E)P ) = det (P 1(AE E)P ) = = det P 1 det(AE E)det P = det(AE E):

20. След матрицы.

Определение 32. Рассмотрим матрицу A = (ai j)ni;j=1. Следом мат- рицы A называется число tr A := Pnk=1 ak k.

Теорема 22. Рассмотрим характеристический многочлен оператора

A:

A( ) = n n + n 1 n 1 + : : : + 0:

Тогда n = ( 1)n; n 1 = ( 1)n 1 (tr A) ; 0 = det A

Доказательство. Во-первых, ясно, что 0 = A(0) = det A. Далее,

A( ) = ( )n + a1 1( )n 1 + a2 2( )n 1 + : : : +

+an n( )n 1 + n 2 n 2 + : : : + 0 =

=( 1)n n + ( 1)n 1 (tr A) n 1 + n 2 n 2 + : : : + det A:

Следствие 4. След матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Следует из того, что коэффициенты характеристического многочлена не зависят от выбора базиса.

Замечание 19. В случае n = 2 характеристичекий многочлен следующим

образом:

A( ) = 2 (tr A) + det A:

21. Собственный базис.

34

Определение 33. Пусть A : L ! L оператор, а E = fekgnk=1 áà- зис в L. Базис E называется собственным, если векторы ek являются

собственными для оператора A.

Определение 34. Введем специальное обозначение для диагональной матрицы:

Теорема 23. Пусть A : L ! L линейный оператор, а E = fvkgnk=1 базис в L. Матрица оператора в базисе E является диагональой, т.е.

AE = diag ( 1; 2; : : : ; n);

тогда и только тогда, когда базис E является собственным, и, при этом, Avk = kvk.

Доказательство. Из того, что AE = diag ( 1; 2; : : : ; n) следует, что

Av1 = 1v1 + 0v2 + : : : + 0vn = 1v1 Av2 = 0v1 + 2v2 + : : : + 0vn = 2v2

: : :

Avn = 0v1 + 0v2 + : : : + nvn = nvn:

По определению, E собственный базис. В обратную сторону доказательство аналогично.

Определение 35. Матрицу A называют диагонализируемой, если она подобна диагональной матрице = diag ( 1; 2; : : : ; n).

Напомним, что подобие матриц означает, что A = P 1 P . Разумеет-

ся, если матрица оператора диагонализируема хотя бы в одном базисе, то она диагонализируема и в любом другом. Таким образом, имеет смысл говорить о диагонализируемом операторе.

Теорема 24. Оператор A обладает собственным базисом тогда и только тогда, когда он диагонализируем.

35

Доказательство. ) Пусть E произвольный базис, а F собствен-

ный базис. Если 1; 2; : : : ; n соответстующие собственные значения, то

AF = = diag ( 1; 2; : : : ; n):

Обозначим через P матрицу перехода от базиса F к E. Тогда по теореме 15 AE = P 1 P .

( Доказательство аналогично.

Примеры.

1.Рассмотрим оператор A : V2 ! V2 поворота плоскости на угол . У него нет собственных векторов (см. пример 3 18). Следовательно, у него нет собственного базиса. Вывод: оператор A недиагонализи-

ðóåì.

2. Рассмотрим оператор A : L ! L, заданный в базисе E матрицей:

Характеристическое уравнение имеет вид A( ) = 3 = 0. Отсюда

следует, что все собственные значения равны нулю. Предположим, что оператор диагонализируем. Тогда A = P 1 P , ãäå

= diag (0; 0; : : : ; 0) = 0:

Следовательно, A = 0, и мы получили противоречие. Вывод: A не является диагонализируемым оператором.

22. Условие диагонализируемости оператора

Теорема 25. Пусть v1; v2; : : : ; vk собственные векторы, отвечающие попарно различным собственным значениям 1; 2; : : : ; k. Тогда векто- ðû v1; v2; : : : ; vk линейно независимы.

Доказательство. Доказываем теорему математической индукцией по числу векторов k.

Если k = 1, то утверждение теоремы очевидно.

Пусть теорема верна при всех k m 1. Докажем, что она верна для k = m.

36

Рассмотрим собственные векторы v1; v2; : : : ; vm c собственными зна- чениями 1; 2; : : : ; m, причем, i 6= j при i 6= j. Пусть

Вычитая из равенства (16) равенство (15), получим:

1( m 1)v1 + 2( m 2)v2 + : : : + m 1( m m 1)vm 1 = 0:

По предположению индукции векторы v1; v2; : : : ; vm 1 линейно неза- висимы. Следовательно,

1( m 1) = 2( m 2) = : : : = m 1( m m 1) = 0:

Поскольку числа k различны, из этого следует, что

1 = 2 = : : : = m 1 = 0:

Таким образом, равенство (14) приобретает вид: mvm = 0. По определению собственного вектора vm 6= 0, поэтому m = 0. Следовательно, линейная комбинация (14) тривиальна, т.е. векторы v1; v2; : : : ; vm линей- но независимы.

Теорема 26 (Достаточное условие диагонализируемости) . Если все собственные значения линейного оператора A действительны и различны,

то A диагонализируем.

Доказательство. Собственные значения совпадают с корнями характеристического многочлена. Поскольку этот многочлен имеет степень n, равную размерности пространства, общее количество собствен-

ных значений также равно n. По теореме 25 любые собственные векторы

v1; v2; : : : ; vn, отвечающие попарно различным собственным значениям,

37

линейно независимы. Следовательно, они образуют базис пространства, который по определению собственный. Матрица оператора в этом базисе диагональна.

E. Найти собственный базис F оператора A. Указать матрицу оператора в базисе F и матрицу перехода от E к F.

Решение. Найдем корни характеристического многочлена оператора

A

A( ) = 2 2 3 = 0; = 1; 2 = 3:

По теореме 26 оператор A диагонализируем. Более того, известен вид матрицы оператора в собственном базисе:

Чтобы найти матрицу перехода P от исходного базиса E к новому F, надо

найти координаты векторов нового базиса в исходном базисе и записать их в виде соответствующих столбцов P . Другими словами, в столбцах

P расположены координаты соответствующих собственных векторов в

исходном базисе.

Пусть v1 = (x1; x2)E какой-нибудь собственный вектор, отвечающий собственному значению 1 = 1. В соответствии с первым утверждени- ем теоремы 20 координаты x1; x2 удовлетворяют следующей однородной системе линейных уравнений:

Размерность пространства решений этой системы равна единице. Следо- вательно, решение x1; x2 определено единственным образом с точностью до пропорциональности. Для удобства выберем целочисленное решение: x1 = 1; x2 = 5. Èòàê, v1 = (1; 5)E.

Аналогично, координаты собственного вектора v2 = (y1; y2)E, отвеча- ющего собственному значению 2 = 3 находятся из системы:

38

Снова выбираем целочисленное решение: v2 = (1; 1)E.

Наконец, завписав полученные векторы в виде столбцов матрицы перехода, получим:

23. Алгебраическая и геометрическая кратности.

Определение 36. Пусть 0 2 R собственное значение оператора A. Запишем характеристический многочлен в виде:

A( ) = ( 0)kQ( );

где Q(x) многочлен с условием Q( 0) 6= 0. Тогда число k 1 называется алгебраической кратностью собственного значения 0.

Определение 37. Пусть 0 2 R собственное значение оператора

A. Пусть L 0 соответствующее собственное подпространство (см. определение 30). Число m = dim L 0 1 называется геометрической кратностью собственного значения 0.

Теорема 27. Геометрическая кратность собственного значения всегда не превосходит его алгебраической кратности (s k).

Доказательство. Пусть dim L 0 = m. Выберем в подпространстве

L 0 базис v1; v2; : : : ; vm. Эту систему можно дополнить до базиса всего пространства E = fvkgnk=1

v1; v2; : : : ; vm являются собственными, отвечающими собственному зна- чению 0, матрица A в базисе E имеет вид:

Поэтому, A( ) = ( 0 )mQ( ). Следовательно, геометрическая кратность m и алгебраическая k связаны соотношением: m k. Равенство

39

имеет место, если Q(x) 6= 0, а строгое неравенство в случае Q(x) = 0.

24. Критерий диагонализируемости матрицы.

Теорема 28. Оператор A диагонализируем тогда и только тогда, когда

все его собственные значения - действительные числа, и геометриче- ская кратность каждого собственного значения совпадает с алгебраи- ческой кратностью.

Доказательство. ( Запишем характеристический многочлен в ви-

äå:

A( ) = ( 1)n( 1)k1 ( 2)k2 : : : ( m)km ; i 6= j; i 6= j:

При этом по предположению теоремы

полученных систем: E = fejgj=1.

Докажем, что система E линейно независима.

Рассмотрим линейную комбинацию 1e1+ 2e2+: : :+ nen = 0. Введем обозначения:

v1 = 1e1 + 2e2 + : : : + k1 ek1 2 L 1 ;

v2 = k1+1ek1+1 + k1+2ek1+2 + : : : + k1+k2 ek1+k2 2 L 2 ;

: : :

vm = K+1eK+1 + K+2eK+2 + : : : + nen 2 L m :

ãäå K = k1 + k2 + : : : + km 1.

Тогда линейная комбинация переписывается в виде:

Докажем, что все векторы vk нулевые.

Предположим противное. Пусть векторы v1; v2; : : : ; vr ненулевые. Пе- репишем (17) в виде: v1 + v2 + : : : + vr = 0; r m. В результате мы получили нетривиальную линейную комбинацию собственных векторов

40