Лекции Линал (не подробно)

Доказательство. ) Рассмотрим оператор A, который действует по правилу Aek = fk. Тогда P матрица оператора A в базисе E (см. пункт 3) замечания 10). Поскольку P ортогональна, то по теореме 35 оператор A ортогонален. По следствию 5 оператор A отображает ортонормированный базис E в ортонормированный базис F, что и требовалось.

( Пусть, как и ранее, оператор A действует по правилу Aek = fk. Тогда P матрица оператора A в базисе E (см. пункт 3) замечания 10).

По теореме 36 оператор A ортогонален. Наконец, по теореме 35 матрица P (оператора A в базисе E) ортогональна, что и требовалось.

Пример.

Замена базиса из примера 3 4 и соответствующее преобразование координат из примера 2 5 являются ортогональными.

Теорема 38. Для любой симметричной матрицы B найдутся ортогональная матрица U и диагональная матрица такие, что = UTBU.

Замечание 24. Коротко эту теорему иногда формулируют так. Симметричную матрицу всегда можно привести к диагональному виду ортогональным преобразованием.

Доказательство. Пусть E стандартный базис в евклидовом пространстве Rn (см. пример 1 из 3). Рассмотрим оператор A : Rn ! Rn,

заданный в E матрицей AE = B. Оператор A является самосопряженным согласно теореме 30. По теореме 31 существует собственный ортонормированный базис F оператора A.

Обозначим через U матрицу перехода от базиса E к базису F. Мат-

рица U ортогональна по теореме 36. Как известно из теоремы 15, AF = U 1AEU, ãäå AF = диагональная матрица. Поскольку матрица U ортогональна, отсюда следует, что = UTAEU = UTBU, что и требова-

ëîñü.

31. Матрица билинейной и квадратичной формы.

В этом параграфе мы начинаем подробное изучение билинейных и квадратичных форм. Напомним, что определение билинейной формы было дано в 6.

Определение 43. Пусть B билинейная форма в пространстве L.

Зафиксируем базис E = fekgnk=1 â L. Матрицей билинейной формы называется матрица BE = (bi j)ni;j=1, ãäå bi j = B(ei; ej).

51

Пусть x = (x1; x2; : : : ; xn)E; y = (y1; y2; : : : ; yn)E. Тогда

B(x; y) = B(x1e1 + x2e2 + : : : + xnen; y1e1 + y2e2 + : : : + ynen) =

В другой форме это равенство можно записать так:

B(x; y) = XTBEY; X = (x1 x2 : : : xn)T; Y = (y1 y2 : : : yn)T: (23)

В этой формуле квадратная матрица BE умножается справа на столбец Y , а слева на строку XT.

Определение 44. Равенство (22) называется координатной записью билинейной формы. Равенство (23) называется матричной записью билинейной формы.

Напомним (см. 6), что билинейная форма называется симметричной, если B(x; y) = B(y; x).

Теорема 39. Если билинейная форма B симметрична, то ее матрица в произвольном базисе E является симметричной. Наоборот, если

матрица билинейной формы в некотором базисе симметрична, то билинейная форма также симмтерична.

Доказательство. Рассмотрим произвольный базис E = fekgnk=1. Â силу симметричности квадратичной формы: B(ei; ej) = B(ej; ei). Следовательно, bi j = bj i, ò.å. BE = BET.

Обратно. Воспользуемся координатной записью билинейной формы:

(В предпоследнем равенстве мы переставили местами индексы i и j.)

Определение 45. Пусть B(x; y) симметричная билинейная форма. Тогда функция Q(x) = B(x; x) называется квадратичной формой.

52

Все конструкции, введенные выше для билинейной формы, переносятся также на случай квадратичных форм. А именно:

Определение 46. Матрицей квадратичной формы B(x; x) называет-

ся матрица BE соответствующей симметричной билинейной формы. Координатной записью квадратичной формы называют выражение:

i;j=1

Матричной записью квадратичной формы называют выражение вида (23) при X = Y .

Замечание 25. Функция от переменных x1; x2; : : : ; xn, стоящая в правой части (24), называется однородным многочленом второй степени. Таким образом, при фиксированном базисе E квадратичную форму можно

отождествлять с такими многочленами.

Задача.

Рассмотрим квадратичную форму, заданную в некотором базисе E следующим образом:

B(x; x) = x21 + x1x2 + 3x2x1 + x22:

Найти матрицу BE данной квадратичной формы в базисе E. Решение. Во-первых, b1 1 = b2 2 = 1. Далее, поскольку b1 2 = b2 1, è

b1 2 + b2 1 = 1 + 3 = 4, получаем:

32. Преобразование матрицы квардратичной формы при замене базиса.

Пусть E и F базисы в пространстве L. Обозначим через P матрицу перехода от E к F. Пусть B(x; x) квадратичная форма. Обозначим

через BE è BF матрицы этой квадратичной формы в базисах E и F соответственно.

Теорема 40.

53

Доказательство. Для произвольного вектора x обозначим через X и X0 столбцы его координат в базисах E и F соответственно. Запишем квадратичную форму в базисе E в матричной форме:

B(x; x) = XTBEX:

Далее, по теореме 7 X = P X0. Следовательно,

B(x; x) = (P X0)TBE(P X0) = (X0)T(P TBEP )X0:

С другой стороны, по определению B(x; x) = (X0)TBFX0. Следователь-

íî,

BF = P TBEP:

Следствие 7. 1) Если матрица квардатичной формы невырождена в одном базисе, то она невырождена в любом другом.

2)Знак определителя матрицы квадратичной формы не зависит от выбора базиса.

3)Ранг матрицы квардратичной формы не зависит от выбора базиса.

Доказательство.

1)Следует из (25). Действительно, det BF = det BE(det P )2.

2)Следует таким же образом из (25).

3)Следует из (25) и того факта, что ранг квадратной матрицы не меняется при домножении ее на квадратную невырожденную матрицу.

Определение 47. Квадратичная форма называется невырожденной, если ее матрица невырождена в любом базисе. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы этой квадратичной формы.

33. Метод Лагранжа приведения квадратичной форм к каноническому виду.

В этом параграфе мы решаем следующую задачу: квадратичная форма задана своей матрицей в базисе E, найти новый базис F, в котором

матрица данной квардратичной формы имеет простейший вид.

54

Определение 48. Пусть в базисе F матрица квадратичной формы

диагональна. В таком случае говорят, что квадратичная форма имеет в базисе F канонический вид. При этом базис F называется канониче-

ским базисом.

Задача.

Пусть в базисе E квадратичная форма имеет вид:

B(x; x) = x21 + 2x1x2 + 2x22;

ãäå x = (x1; x2)E. Найти канонический вид и канонический базис квадратичной формы B.

Решение. Приведем B(x; x) к виду:

B(x; x) = (x1 + x2)2 + x22:

Положим

F квадратичная форма имеет канонический вид, а именно, AF = E. Остается найти канонический базис F, зная формулы (26).

Выразим x1; x2 через y1; y2 из (26). Получим:

Сопоставляя данную формулу и (6), приходим к выводу, что P является матрицей перехода от E к F. Тем самым, мы задали требуемый базис

F.

Проведем аналогичные рассуждения в общем случае. А именно, построим такое преобразование координат:

что в новых координатах квадратичная форма имеет канонический вид. Заметим, что если совершить последовательно два преобразования координат вида (27) с матрицами P = P1 è P = P2, то получится преоб-

разование также вида (27) с матрицей P = P1P2.

55

Теорема 41. Для любой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид.

Другая формулировка теоремы 41. Для любой квадратичной формы, с координатной записью (24) существует преобразование координат вида (27) такое, что в новых координатах B имеет канони- ческий вид, т.е. B(x; x) = Pni=1 iyi2:

Замечание 26. Доказательство теоремы носит конструктивный характер и называется методом Лагранжа приведения квадратичной формы к каноническому виду. Будет построено некоторое количество преобразований координат, которые надо последовательно произвести, чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду.

Сформулируем несколько вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Если квадратичная форма B(x; x) ненулевая, то существует

Åñëè bi i = 0 для всех i, то, поскольку квадратичная форма ненулевая, найдется элемент bi j 6= 0 (i 6= j).

Введем новые координаты y1; y2; : : : ; yn следующим образом. Поло- æèì xi = yi + yj, xj = yi yj. Далее, пусть xk = yk для всех k 6= i; j. Подставив в координатную запись квадратичной формы эти формулы преобразования координат, мы получим:

B(x; x) = bi j(yi2 yj2) + F (y1; y2; : : : ; yn);

ãäå F (y1; y2; : : : ; yn) однородный многочлен второй степени, не содер- жащий квадратов: y12; y22; : : : ; yn2. Таким образом, например, i i = bi j 6= 0

:

Лемма 2. Пусть квадратичная форма имеет в базисе E координатную запись вида (24), причем bk k 6= 0 для некоторого k. Тогда существует

Доказательство. Для доказательства сделаем преобразование координат, которое переставляет местами xk è x1.

56

Лемма 3. Пусть квадратичная форма имеет в базисе E координатную

запись вида (24), причем b1 1 6= 0. Тогда существует базис F, в котором B(x; x) = b1 1y12 + G(y2; y3; : : : ; yn), где G однородный многочлен второй степени.

Доказательство. В координатной записи квадратичной формы выделим полный квадрат следующим образом:

B(x; x) = b1 1x21 + 2b1 2x1x2 + : : : + 2b1 nx1xn + F (x2; x3; : : : ; xn) =

многочлены второй степени, не зависящие от y1. В новых координатах y1; y2; : : : ; yn квадратичная форма имеет требуемый вид.

Доказательство теоремы 41. Опишем преобразования координат, которые надо последовательно произвести, чтобы привести квадратич- ную форму к каноническому виду. Для упрощения записи мы используем одинаковые обозначения на каждом шаге процедуры. А именно, в любом базисе через x1; x2; : : : ; xn мы обозначаем координаты вектора x, а через

(bi j) матрицу квадратичной формы.

Если матрица квадратичной формы нулевая, то доказывать нечего. В противном случае по лемме 1 найдется базис, в котором bk k 6= 0. Далее, по лемме 2 найдется базис, в котором b1 1 6= 0. Наконец, по лемме 3 найдется базис, в котором B = b1 1x21 +F2(x2; x3; : : : ; xn), ãäå F2 однородный многочлен второй степени.

Действуя по аналогии с квадратичной формой F2(x2; x3; : : : ; xn), мы найдем базис, в котором B = b1 1x21 +b2 2x22 +F3(x3; x4; : : : ; xn) для другого однородного многочлена F3 второй степени.

Продолжая далее таким же образом, получим базис, в котором квад-

57

Итак, канонический вид квадратичной формы не определен единственным образом. Однако существуют закономерности, которым под- чинены все канонические виды данной квадратичной формы.

Теорема 42. Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве квадратичную форму B(x; x) ранга r. Тогда

1) если E канонический базис, то в нем квадратичная форма имеет

ãäå âñå i не равны нулю;

2)Пусть в двух канонических базисах квадратичная форма имеет координатные записи вида:

ãäå

1 < 0; 2 < 0; : : : ; p < 0; p+1 > 0; p+2 > 0; : : : ; r > 0;1 < 0; 2 < 0; : : : ; q < 0; q+1 > 0; q+2 > 0; : : : ; r > 0;

Тогда p = q.

Доказательство.

1)Матрица квадратичной формы ранга r в каноническом базисе имеет на диагонали в точности r ненулевых элементов. Следовательно, B(x; x) имеет в каноническом базисе вид (28).

2)á/ä

Замечание 27. Итак, вторая часть теоремы утверждает, что число p от-

рицательных коэффициентов при квадратах координат не зависит от выбора канонического базиса. Это утверждение носит название закона инерции квадратичных форм.

Определение 49. Число p отрицательных коэффициентов при квадратах в канонической форме называется индексом квадратичной формы.

58

35. Знакоопределенные квадратичные формы.

Определение 50. Квадратичная форма B называется положительно определенной, если B(x; x) 0 для всех векторов x, и B(x; x) = 0 только при x = 0.

Определение 51. Квадратичная форма B называется отрицательно определенной, если B(x; x) 0 для всех векторов x, и B(x; x) = 0 только при x = 0.

Определение 52. Квадратичная форма называется знакоопределенной, если она либо положительно определена, либо отрицательно определена.

Определение 53. Квадратичная форма B называется знакопеременной, если существуют два вектора x и y такие, что B(x; x) > 0 и

B(y; y) < 0.

Примеры.

Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве квадратичную форму B. Пусть в некотором каноническом базисе она имеет вид:

1)Пусть k > 0 для всех k = 1; 2; : : : ; n, т.е. ранг квадратичной формы равен n, а индекс равен нулю. Тогда выражение, стоящее в правой части (29), положительно для всех x1; x2; : : : ; xn и равно нулю только ïðè x1 = x2 = : : : = xn = 0. Следовательно, в этом случае квадратич- ная форма B положительно определена.

2)Пусть k < 0 для всех k = 1; 2; : : : ; n, т.е. ранг и индекс квадратич- ной формы равны n. По аналогичным соображениям, в этом случае квадратичная форма B отрицательно определена.

3) Пусть i > 0, à j < 0 для некоторых i; j. Тогда выражение, стоящее в правой части (29), положительно, когда xi равно единице, а все остальные xk равны нулю. Это же выражение отрицательно, когда xj равно единице, а все остальные xk равны нулю. Следовательно, квадратичная форма B знакопеременная.

59

4)Пусть 1; 2; : : : ; r положительны, а r+1; r+2; : : : ; n равны нулю. Тогда квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной, ни знакопеременной.

Итак, если квадратичная форма приведена к каноническому виду, то ее легко исследовать на знакоопределенность. Оказывается, можно судить о знакоопределенности квадратичной формы без приведения ее к каноническому виду.

Теорема 43 (Критерий Сильвестра). Рассмотрим в n-мерном линейном пространстве квадратичную форму B, которая имеет в базисе E матрицу BE = (bi j). Введем обозначения:

для угловых миноров при k = 1; 2 : : : ; n. Тогда

1) квадратичная форма B положительно определена тогда и только

тогда, когда

1 > 0; 2 > 0; : : : ; n > 0;

2)квадратичная форма B отрицательно определена тогда и только тогда, когда

1 < 0; 2 > 0; : : : ; ( 1)n n > 0:

Доказательство. б/д

Задача. Исследовать квадратичную форму с матрицей

на положительную определенность.

Решение.

В соответствии с критерием Сильвестра квадратичная форма B положительно определена тогда и только тогда, когда

1 = > 0; 2 = 2 > 0:

60