Лекции Линал (не подробно)

12. Линейные отображения и линейные операторы.

Напомним определения и обозначения, связанные с важнейшим понятием математики отображением. Отображением (или функцией) называется закон, сопоставляющий любому элементу x из множества X

определенный единственным образом элемент y = f(x) из множества Y . При этом X называется областью определения отображения, Y множеством значений, и используется запись вида: f : X ! Y; которая

читается так: "f отображает множество X в множество Y по правилу x 7!y = f(x)\.

Определение 20. Отображение A : L1 ! L2 линейных пространств, действующее по правилу x 7!y = Ax, называется линейным, если оно удовлетворяет двум свойствам:

Замечание 9. Подчеркнем, что линейные отображения принято обозна- чать без скобок: y = Ax вместо y = A(x). Причину такого обозначения

мы объясним чуть позже.

Определение 21. Линейное отображение A : L ! L называют линейным оператором. Линейное отображение A : L ! R называется линейным функционалом.

Определение 22. Ядром линейного оператора A : L ! L называется множество, обозначаемое Ker A, состоящее из таких x 2 L, что Ax =

0.

Определение 23. Образом линейного оператора A : L ! L называется множество, обозначаемое Im A, состоящее из таких y 2 L, для которых существует x 2 L такой, что y = Ax.

Упраженение.

Множества Ker A и Im A являются линейными подпространствами в

L.

Примеры.

1. Рассмотрим отображение A : L ! L, действующее по правилу Ax 0. Легко видеть, что это линейный оператор, и Ker A = L; Im A = f0g. Такой оператор называется нулевым.

21

2. Рассмотрим отображение A : L ! L, действующее по правилу Ax = x. Легко видеть, что это линейный оператор, и Ker A = f0g; Im A = L. Такой оператор называется тождественным и обозначается I.

3.Рассмотрим отображение A : V3 ! V3 пространства геометриче- ских векторов, сопоставляющее x векторное произведение Ax = a x, где вектор a фиксирован. Из свойств векторного произведения следует, что A является линейным оператором, при этом, Ker A = Span(a), а Im A это плоскость всех векторов, ортогональных a.

4.Рассмотрим отображение A : V3 ! V3 пространства геометриче- ских векторов, сопоставляющее x его ортогональную проекцию на третий координатный орт: Ax = (x; k)k. Легко видеть, что A является линейным оператором, при этом, Im A = Span(k), а Ker A = Span(i; j).

5.Рассмотрим бесконечномерное пространство C1[a; b] всех функций, имеющих любое число производных, на отрезке [a; b]. Пусть отображение f(x) 7!Af(x) = f0(x) сопоставляет функции ее производ-

ную. Такое отображение является линейным оператором, называемым оператором дифференцирования.

6.Рассмотрим бесконечномерное пространство C( 1; +1) функций, непрерывных на всей числовой оси R. Отображение, действующее по правилу f(x) 7!Af(x) = f(x a), является линейным оператором и называется оператором сдвига.

Упраженение.

Какие ядра и образы имеют линейные операторы из последних двух примеров?

13. Теорема о размерности ядра и образа.

Теорема 13. Пусть dim L = n. Тогда dim Ker A + dim Im A = n.

Доказательство. Пусть fe1; e2; : : : ; ekg базис пространства Ker A. Дополним его до базиса fe1; e2; : : : ; eng всего пространства L (см. упраженение в 3). Докажем, что Aek+1; : : : ; Aen линейно независимы. Рас-

Pn

смотрим линейную комбинацию этих векторов: i=k+1 iAei = 0. Ïî

22

свойству линейности:

Разложим b по базису пространства Ker A:

nk

XX

Из линейной независимости e1; e2; : : : ; en следует, что k+1 = : : : = n = 0. Следовательно, векторы Aek+1; : : : ; Aen линейно независимы.

Докажем, что подпространства Im A и Span(Aek+1; : : : ; Aen) совпада-

þò.

Во-первых, ясно, что Span(Aek+1; : : : ; Aen) Im A. Это следует из того, что порождающие векторы Aek+1; : : : ; Aen линейной оболочки лежат

Тем самым доказано, что Im A Span(Aek+1; : : : ; Aen). Следовательно,

Im A = Span(Aek+1; : : : ; Aen).

Поскольку векторы Aek+1; : : : ; Aen линейно независимы,

dim Im A = dim Span(Aek+1; : : : ; Aen) = n k;

что и требовалось доказать.

14. Матрица линейного оператора.

Определение 24. Пусть A : L ! L оператор, а E = fekgnk=1 произ- вольный базис. Пусть Aek = (ak 1; ak 2; : : : ; ak n)E. Матрица вида

называется матрицей оператора A в базисе E.

23

Определение 25. Линейный оператор A : L ! L называется невы-

рожденным, если в любом базисе E = fekgnk=1 его матрица AE невырождена.

Замечание 10.

1)Подчеркнем, что матрица оператора зависит от выбора базиса. При этом сам оператор является инвариантным объектом, действие которого от базиса не зависит. Обратите внимание на аналогию с векторами. Координаты вектора в разных базисах различные. Однако сам по себе вектор объект инвариантный, который от выбора базиса не зависит.

2)Нетрудно видеть, что AE удовлетворяет матричному соотношению:

3)Можно углядеть аналогию в определении матрицы линейного оператора и матрицы перехода (сравните определения 9 и 24, а также формулы (3) и (10)). Действительно, в случае когда оператор A невырож- ден, векторы Ae1 Ae2 : : : Aen образуют базис по теореме 5. Следовательно, матрица оператора A есть ни что иное, как матрица перехода от базиса E к базису E0 = fAekgnk=1.

Теорема 14. Пусть A : L ! L линейный оператор, а E = fekgnk=1 ïðî- извольный базис. Предположим, y = Ax, причем, x = (x1; x2; : : : ; xn)E,

ãäå AE матрица оператора A в базисе E.

Замечание 11. Обратите внимание на существенное различие этой теоремы и теоремы 7 о преобразовании координат при замене базиса. В теореме 14 в левой части стоят координаты вектора, преобразованного оператором, а в правой части координаты исходного вектора. В теореме 7 наоборот: в левой части расположены старые координаты вектора, а в правой части новые координаты вектора.

24

Доказательство. Пользуясь, формулой (10), получим

С другой стороны, y = (y1; y2; : : : ; yn)E. В силу единственности разложения по базису E, получаем требуемую формулу.

Примеры.

1.Очевидно, что матрица нулевого оператора в любом базисе нулевая, а матрица тождественного оператора в любом базисе единичная.

2.Рассмотрим в пространстве геометрических векторов V3 линейный оператор Ax = a x. Пусть a = (a1; a2; a3)E фиксированный вектор, а E = fi; j; kg стандартный ортонормированный базис. Тогда

Ai = a3j a2k; Aj = a1k a3i; Ak = a2i a1j:

3.Рассмотрим оператор A в евклидовом пространство V2, äëÿ êî- торого Ax получается из x поворотом относительно начала координат против часовой стрелки на угол . Легко видеть, что A действительно линейный оператор, и его матрица в стандартном

ортонормированном базисе имеет вид:

Все рассуждения аналогичны примеру 3 из 4.

4.В пространстве P3[x] многочленов степени не выше третьей введем оператор дифференцирования f(x) 7!Af(x) = f0(x). Рассмотрим базис E = ff0; f1; f2; f3g, ãäå

25

Тогда Af0 = 0; Af1 = f0; Af2 = f1; Af3 = f2. Следовательно,

01

15. Преобразование матрицы оператора при замене базиса

Теорема 15. Пусть E = fekgnk=1 è F = ffkgnk=1 базисы пространства L, и A : L ! L линейный оператор. Тогда

AF = P 1AEP;

где P матрица перехода от базиса E к базису F, а AE (соотв., AF) матрицы оператора в базисе E (соотв., F).

Доказательство. По определению матрицы перехода:

(f1 f2 : : : fn) = (e1 e2 : : : en)P:

Пользуясь линейностью опертора A, получим:

(Af1 Af2 : : : Afn) = (Ae1 Ae2 : : : Aen)P:

Далее, перепишем равенство, исходя из определения матрицы опертора:

(f1 f2 : : : fn)AF = (e1 e2 : : : en)AEP:

Отсюда (e1 e2 : : : en)P AF = (e1 e2 : : : en)AEP . Из-за линейной независимости элементов E:

Следствие 2. 1) Определитель матрицы линейного оператора не меняется при переходе к новому базису (det AF = det AE ).

2)Оператор является невырожденным тогда и только тогда, когда он имеет ненулевую матрицу в каком-нибудь базисе.

Доказательство.

26

1)Действительно, det AF = (det P 1)(det AE)(det P ) = det AE.

2)Следует из 1).

Определение 26. Матрицы A и B называются подобными, если существует невырожденная матрица P такая, что B = P 1AP .

Пример.

Рассмотрим два базиса E = fi; j; kg и F = fj; k; ig в пространстве V3. Пусть линейный оператор A : V3 ! V3 задается условием:

Ai = j; Aj = i; Ak = k:

Тогда

Легко видеть, что AF = P 1AEP .

Упражнение. Доказать, что если матрица оператора A не зависит от выбора базиса, то A = E.

16. Композиция операторов. Обратный оператор.

Определение 27. 1) Пусть A : L ! L; B : L ! L линейные операторы. Отображение AB : L ! L, действующее по правилу x 7!A(Bx), называется композицией (или умножением) операторов.

2)Оператор A 1 : L ! L называется обратным к оператору A : L ! L, если AA 1 = A 1A = I, где I тождественный оператор Ix = x.

3)Оператор A : L ! L называется обратимым, если у него существует обратный оператор.

Замечание 12.

1.Композиция линейных операторов и обратный оператор действительно являются (проверьте!) линейными операторами.

27

2.Из курса математического анализа известно, что обратное отображение (в частности, и обратный оператор) существует тогда и только тогда, когда A : L ! L биекция (или взаимно однозначное соответствие).

Теорема 16. Пусть A : L ! L линейный оператор. Следующие условия эквивалентны:

1)A обратим;

2)Ker A = f0g;

3)Im A = L.

Доказательство. Из теоремы 13 следует, что условия 2) и 3) эквивалентны. Действительно, подпространство размерности 0 является нулевым, а подпространство размерности n совпадает с L. Далее докажем, что условия 1) и 2) эквивалентны.

1)) 2). Если A обратим, то A биекция. Тогда Ax 6= Ay, если x 6= y. В частности, Ax 6= 0, если x 6= 0. Следовательно, Ker A = f0g.

2)) 1). Докажем, что A биекция. Для этого, как хорошо известно,

надо установить два факта. Первый (называемый свойством инъекции): Ax 6= Ay, если x 6= y. Второй (свойство сюръекции):

8y 9x : y = Ax:

Доказываем первый факт. Пусть x 6= y. Тогда z = x y 6= 0. Поскольку Ker A = f0g, отсюда следует, что Az 6= 0. В виду линейности, Ax 6= Ay. Второй факт переформулировка условия Im A = L, и имеет место в случае Ker A = f0g.

Итак, A биекция. Следовательно, A обратим.

Следствие 3. Оператор обратим тогда и только тогда, когда он невырожден.

Доказательство. Пусть оператор обратим. Рассмотрим произвольный базис E = fekgnk=1. Далее по теореме 16 Im A = L, т.е. векторы

Ae1; Ae2; : : : ; Aen образуют базис. Обозначим этот базис через F. Тогда матрица оператора AE является матрицей перехода от базиса E к базису F (см. пункт 3 замечания 10 ). По теореме 5 AE является невырожденной матрицей. Следовательно, A невырожденный оператор.

28

Наоборот. Пусть AE невырожденная матрица. Тогда по теореме 5 векторы Ae1; Ae2; : : : ; Aen образуют базис. Следовательно, Im A = L, откуда по теореме 16 вытекает обратимость оператора.

Теорема 17. Пусть A; B : L ! L линейные операторы. Рассмотрим произвольный базис E = fekgnk=1. Тогда

1)(AB)E = AEBE.

2)Если A обратим, то (A 1)E = (AE) 1.

Доказательство. Докажем 2). В силу (10):

(ABe1 ABe2 : : : ABen) = (Ae1 Ae2 : : : Aen) BE = (e1 e2 : : : en) AEBE:

По определению, (AB)E = AEBE, что и требовалось. Доказательство 1) аналогично.

Замечание 13. Сравните формулировку и доказательство с теоремой 6.

17. Алгебра операторов.

Определение 28. Пусть A; B : L ! L два линейных оператора. Суммой A и B называется отображение A + B : L ! L, действующее по правилу x 7!(A + B)x = Ax + Bx. Умножением оператора A на число 2 R называется отображение, действующее по правилу x 7!

( A)x = A( x).

Упраженения.

1.Показать, что введенные отображения A + B и A являются линейными операторами.

2.Показать, что множество всех линейных операторов из пространства L в себя образует линейное пространство относительно введенных операций сложения и умножения на число.

Итак, на множестве операторов мы ввели три операции. Две из них линейные: A + B; A. Третья операция композиция (или умножение, см.

16) операторов AB. Перечислим свойства введенных операций.

Свойства.

29

1.Множество линейных операторов A : L ! L является линейным

пространством относительно сложения операторов и умножения оператора на число. Нулевым элементом является нулевой оператор 0.

2.( A)B = (AB)

Доказательство. Несложное упражнение.

Замечание 14.

1)Разумеется, умножение операторов некоммутативно. Вообще говоря,

AB 6= BA.

2)В математике множество с введенными выше тремя операциями (две линейные и умножение), удовлетворяющими указанным свойствам 1- 5, называют алгеброй. Более точное название некоммутативная, ассоциативная алгебра операторов с единицей I.

3)Можно увидеть аналогию между свойствами 1-5 и свойствами операций над матрицами. Это не случайное совпадение, а отражение глубокой аналогии между матрицами и операторами, о которой пойдет речь в следующей теореме.

Теорема 18. Зафиксируем в пространстве L базис E = fekgnk=1. Îòîá- ражение A 7!AE, ставящее в соответствие оператору A его матрицу

в базисе E, обладает следующими свойствами:

1)Оно является биекцией.

2)( A)E = AE

3)(A + B)E = AE + BE

4)0E = 0

5)(AB)E = AEBE

30