2965

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежский государственный архитектурно-строительный университет»

С.П. Гриднев, Ю.С. Нетребина

ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ

Учебное пособие

Воронеж 2014

Введение

Дисциплина «Теория математической обработки геодезических измере-

ний» относится к базовой части профессионального цикла по направлению подготовки бакалавра 120100 «Геодезия и дистанционное зондирование» и

120700 «Землеустройство и кадастры». Данное учебное пособие может быть полезно для студентов вузов, изучающих геодезию, а также для работников геодезического производства.

Учебное пособие состоит из двух частей. В первой части изложены во-

просы теории погрешностей геодезических измерений как равноточных, так и неравноточных, приведены примеры обработки результатов геодезических из-

мерений.

Во второй части приведены методы и способы уравнивания геодезиче-

ских сетей сгущения и съемочных сетей с оценкой точности искомых парамет-

ров. Приведен новый способ уравнивания систем съемочных ходов с двумя уз-

ловыми точками.

Часть первая учебного пособия написана к.т.н., профессором С.П. Гридневым и к.г.н. Ю.С. Нетребиной, часть вторая – профессором С.П.

Гридневым.

3

Раздел первый Элементы теории погрешностей измерений

Глава 1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ ПОГРЕШНОСТИ

§ 1. Общие сведения об измерениях

Измерения играют весьма важную роль во всех областях науки и техники; они дают количественную информацию об объектах и явлениях, происходящих в природе, позволяют устанавливать происходящие в ней закономерности. Основным содержанием геодезических работ является измерение физических величин (горизонтальных и вертикальных углов, линий и др.).

В общем смысле физическая величина является характеристикой одного из свойств физического объекта (явления, процесса), общей в качественном отношении для ряда физических объектов, но в количественном выражении индивидуальной для каждого из них.

Измерение физических величин представляет собой познавательный процесс, заключающийся в сравнении данной величины с другой известной величиной, принятой за единицу меры (эталон). В «Рекомендациях по межгосударственной стандартизации 29-99 «ГСИ. Метрология. Основные термины и определения» дается следующее определение измерения: «Измерение – сово-

купность операций по применению технического средства, хранящего единицу физической величины, обеспечивающих нахождение соотношения (в явном или неявном виде) измеряемой величины с её единицей и получение значения этой величины».

Измерения любой величины следует рассматривать с двух точек зрения:

количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и каче-

ственной, характеризующей точность измерений.

Измерения выполняют с помощью технических средств измерений, которые имеют нормированные метрологические характеристики, воспроизводящие и (или) хранящие единицу физической величины, размер которой принимают неизменным (в пределах установленной погрешности) в течение некоторого интервала времени. Измерения производят по определенному алгоритму, называемому методом выполнения измерений. После выполнения измерения и получения числового значения (результата измерения) производят оценку по-

грешности измерения.

Различают непосредственные (прямые) и косвенные измерения. При непосредственных измерениях выполняют непосредственное сравнение определяемой величины с единицей меры. Примером может служить измерение длины путем последовательного укладывания мерного прибора (мерной ленты, рулетки) вдоль измеряемой линии. При косвенных измерениях определяемую величину находят путем вычислений по результатам непосредственных измерений одной или нескольких величин, связанных с определяемой величиной ма-

4

тематической зависимостью. Примерами являются определения длин линий оптическими дальномерами, параллактическим способом, светодальномерами и радиодальномерами.

Любое геодезическое измерение выполняется при наличии и взаимодействии пяти необходимых факторов: объекта измерений, исполнителя, прибора, метода измерения и внешней среды. Под внешней средой понимают совокупность всех внешних условий измерений: рельеф и грунт местности, растительный покров, температура, влажность и запыленность воздуха, освещение, ветер, облачность и др. Конкретное содержание этих факторов в процессе измерения определяет так называемые условия измерения.

С условиями измерений связаны понятия равноточных и неравноточных измерений. Измерения, выполняемые при неизменных условиях, позволяющих считать результаты измерений одинаково надежными, называют равноточными. Если хотя бы один из факторов, определяющих содержание условий измерений, будет изменяться, то такие измерения называют неравноточными.

Как правило, результаты геодезических измерений непосредственно не используются, а предварительно подвергаются математической обработке, которая с помощью вычислительных методов и средств приводит результаты измерений к виду, удобному для практического использования. В любом случае математическая обработка не должна ухудшать результаты измерений.

При вычислительной обработке результатов измерений выделяют необходимые и избыточные (добавочные) измерения. Необходимыми называют такие измерения, которые позволяют получить единственный результат прямого или косвенного измерения данной величины. Избыточные измерения позволяют получить два и более значений определяемой величины. Если одна и та же величина измерена n раз, то одно из этих измерений будет необходимым, а остальные (n −1) измерений – избыточные. Например, длина линии местности измерена в прямом и обратном направлениях; в этом случае второе измерение является избыточным. В геодезической практике избыточные измерения являются средством контроля и повышения точности результатов измерений и позволяют судить о качестве измерений.

Внешние условия измерений, методы и средства измерений обусловливают разделение измерений на независимые и зависимые. Независимыми считают измерения, в которых отсутствуют погрешности, одинаково искажающие результаты этих измерений. Геодезические измерения, выполненные разными наблюдателями, приборами и методами, в различных внешних условиях являются независимыми.

Поскольку при производстве геодезических измерений наблюдатель, прибор и метод измерений часто остаются неизменными, то полученные результаты будут зависимыми. Однако анализ влияния этих факторов показывает, что в пределах необходимой для инженерных работ точности возникающими в этом случае зависимостями можно пренебречь. Вопросы учета взаимозависимости измеренных величин выходят за рамки излагаемого учебного материала.

5

§2. Погрешности измерений и их классификация

Любые измерения, как бы тщательно они не выполнялись, сопровождаются неизбежными погрешностями.

Под погрешностью измерения величины понимают отклонение резуль-

тата измерения от его истинного (действительного) значения, т.е.

где ∆ − истинная погрешность измерения; l – результат измерения; X – истинное значение величины.

Согласно РМГ 29-99 под истинным значением физической величины понимается такое значение физической величины, которое идеальным образом характеризует ее в количественном и качественном отношениях. Действительное значение физической величины – это значение величины, полученное в результате ее измерения и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной задаче может быть использовано вместо него. Результат измерения представляет собой приближенную оценку истинного значения величины.

Истинное значение измеряемой величины получить невозможно, даже используя приборы самой высокой точности и самую совершенную методику измерений. Лишь в отдельных случаях может быть известно теоретическое значение величины. Накопление погрешностей приводит к образованию расхождений между результатами измерений и действительными их значениями.

Появление в измерениях погрешностей является следствием непрерывных изменений указанных ранее факторов, определяющих условия измерений. Каждый из отдельных факторов вызывает появление так называемой элементарной погрешности; общая погрешность измерения является алгебраической суммой элементарных погрешностей. Элементарные погрешности могут быть весьма малыми по величине, но их суммарное воздействие способно существенно исказить результат измерения.

Погрешности измерений можно классифицировать по двум признакам: по источнику происхождения; по характеру их действия на результаты измерений и свойствам.

По источнику происхождения различают погрешности средства измерения (приборные), личные (субъективные), внешние и метода измерений. Погрешности средства измерения возникают от несовершенства применяемых приборов и вследствие невозможности их точной юстировки. Личные погрешности являются следствием физиологических особенностей наблюдателя. К внешним относятся погрешности, вызываемые воздействием внешних условий измерений (температуры, давления, влажности, скорости ветра, освещенности, рефракции и т.п.) на объект измерения, на измерительный комплекс и на самого наблюдателя. Погрешности метода измерения вызываются несовершенством принятого метода измерения величины.

6

По характеру действия погрешностей на результаты измерений их раз-

деляют на грубые, систематические и случайные.

К грубым относят погрешности, сильно искажающие результаты измерения, которые превосходят некоторый допустимый предел, устанавливаемый для данных условий измерений. Грубые погрешности являются следствием промахов и просчетов из-за невнимательности наблюдателя либо его недостаточной квалификации, а также неисправности применяемых приборов. Грубые погрешности должны быть выявлены и полностью исключены из результатов измерений; это достигается путем выполнения избыточных измерений и контрольных вычислений.

Систематическими называют такие погрешности, которые возникают от определенного источника погрешностей и всякий раз при данных условиях измерений могут быть одинаковыми по величине и знаку (постоянные систематические погрешности), изменяться по определенному закону (переменные), либо, изменяясь по величине, сохранять знак (односторонне действующие).

Примерами систематических погрешностей геодезических измерений могут служить: погрешность в отсчете по рейке, обусловленная невыполнением главного геометрического условия, предъявляемого к нивелиру; погрешность измерения горизонтального угла при одном положении вертикального круга, вызванная наличием коллимационной погрешности теодолита; погрешность в длине из-за отклонения мерной ленты от створа измеряемой линии и т.п. Влияние переменных систематических погрешностей может быть выражено функцией, связывающей результат измерения с каким - либо источником (например, изменение длины мерного прибора в зависимости от температуры).

В современных высокоточных измерениях систематические погрешности являются основным препятствием для существенного повышения точности геодезических определений. Поэтому выявление систематических погрешностей, источников их происхождения и выбор мер борьбы с влиянием этих погрешностей являются важнейшей задачей теории погрешностей измерений. Влияние систематических погрешностей на результаты геодезических измерений должно быть сведено к минимуму тщательными поверками и юстировками приборов, применением соответствующих методик измерений, а также введением поправок в измеренные величины.

Случайные погрешности – это неизбежные погрешности, возникшие изза несовершенства органов чувств и применяемых приборов, а также изменения внешней среды. Величину, знак и характер влияния случайной погрешности на каждый отдельный результат измерения заранее установить невозможно, поэтому они не могут быть исключены из результатов измерений. Однако эти погрешности при достаточно большом числе измерений подчиняются определенным статистическим закономерностям и изучение их дает возможность получить наиболее надежный результат из совокупности результатов измерений и оценить его точность.

7

Из вышеизложенного следует, что основными задачами теории погрешностей измерений являются: изучение видов, причин возникновения погрешностей измерений и их свойств, нахождение по результатам измерений наиболее надежного значения измеряемой величины, установление критериев требуемой точности, оценка точности результатов измерений и функций измеренных величин. Методы решения этих задач позволяют заранее обосновать необходимую и достаточную точность измерений и с учетом этого произвести выбор соответствующих приборов и методики измерений.

Поскольку грубые и систематические погрешности могут быть обнаружены, изучены и исключены из результатов измерений, в дальнейшем будем полагать, что на результаты измерений основное влияние оказывают случайные погрешности.

Опыт показывает, что случайные погрешности можно рассматривать как случайные математические величины, изучением которых занимается теория вероятностей и математическая статистика. Дальнейшее изложение элементов теории погрешностей приводится с учетом того, что основы указанных дисциплин изучаются студентами в составе курса высшей математики.

8

Глава 2. РАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

§3. Свойства случайных погрешностей равноточных измерений

Как уже отмечалось ранее, к равноточным относятся измерения, выполняемые при неизменном комплексе условий. Однако, несмотря на постоянство основного комплекса условий, результаты многократных измерений величины всегда более или менее разнятся один от другого, т.е. они испытывают случайное рассеивание. Варьирование результатов наблюдений объясняется тем, что на процесс измерений влияют многочисленные факторы, учесть которые невозможно либо нецелесообразно. Например, при угловых измерениях к числу таких факторов относятся случайные вибрации и деформации теодолита, неучитываемые изменения физических условий наблюдений (температуры, давления, влажности, оптических и электромагнитных свойств атмосферы), физиологических изменений органов чувств наблюдателя и т.д.

Пусть имеем ряд равноточных измерений l1, l2,…, ln, в каждом из которых присутствуют случайные погрешности ∆1, ∆2,..., ∆n. Как показывает опыт обработки результатов геодезических наблюдений, случайные погрешности равноточных измерений обладают рядом свойств, которые проявляются в достаточно большом ряде измерений:

Свойство ограниченности – по абсолютной величине погрешности не превосходят некоторого предела.

Свойство симметричности – положительные и отрицательные погрешности, равные по абсолютной величине, встречаются в ряду измерений одинаково часто.

Свойство унимодальности – погрешности, большие по абсолютной величине, встречаются в ряду измерений реже, чем погрешности меньшие.

Свойство компенсации – среднее арифметическое из значений случайных погрешностей при неограниченном возрастании ряда измерений стремится к нулю, т.е.

где [ ] – знак суммы, введенный Гауссом.

Ряд случайных погрешностей равноточных измерений ∆1, ∆2, …, ∆n можно рассматривать как реализации (значения) одной и той же случайной величины ∆.

Как известно, случайная величина (т.е. совокупность всех ее значений) полностью характеризуется законом ее распределения, который дает связь между значениями случайной величины (реализациями) и соответствующими им вероятностями.

Проведенные многими учеными исследования случайных погрешностей равноточных измерений методами математической статистики показывают, что большинство случайных погрешностей (как и большинство случайных вели-

9

чин) подчиняются нормальному закону распределения (закону К.Ф. Гаусса). Математическое ожидание случайной погрешности является «теоретическим средним значением случайной величины » и равно нулю. Это свойство случайных погрешностей положено в основу теории погрешностей измерений.

§ 4. Критерии точности результатов равноточных измерений

Общее представление о точности измерений можно получить по рассеиванию результатов измерений; чем больше различаются между собой результаты, тем ниже точность измерений. Критериями точности, т.е. количественными характеристиками точности результатов измерений, служат математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, оценками которых могут служить средняя, вероятная и средняя квадратическая погрешности.

Средней погрешностью называется среднее арифметическое из абсолютных величин случайных погрешностей

Необходимо отметить, что средняя погрешность сглаживает влияние крупных по абсолютной величине погрешностей, т.е. точность измерений оказывается несколько преувеличенной.

Вероятной погрешностью r называется величина, больше или меньше которой по абсолютной величине погрешности в ряду измерений равновозможны. Иными словами, вероятная погрешность делит пополам ряд случайных погрешностей, расположенных в порядке возрастания их абсолютных значений.

Основным критерием точности измерений является средняя квадратическая погрешность, определяемая по формуле Гаусса

Формулу (4) применяют в случаях, когда известно истинное (действительное) значение измеряемой величины. Обычно в качестве действительного значения принимают результат измерений величины более точным прибором или методом, обеспечивающим точность измерений в 3-5 раз выше по сравнению с используемым прибором (методом).

По сравнению со средней и вероятной погрешностями средняя квадратическая погрешность обладает рядом преимуществ:

1) при вычислениях не нужно учитывать знаки отдельных погрешностей ; 2) средняя квадратическая погрешность чувствительна к большим по величине погрешностям и достаточно надежно определяется даже при небольшом

числе измерений n 10 ;

3) средняя квадратическая погрешность m является оценкой теоретической характеристики среднего квадратического отклонения и входит в функ-

10