2965

Следовательно, разность погрешностей

Возведя в квадрат каждое из равенств системы уравнений (31) и сложив левые и правые части равенств, получим

и заменив истинную погрешность среднего арифметического s её средним значением М, т.е.

u2

Тогда m2 ,

n 1

или

u2

m , (34)

n 1

где (n−1) – число избыточных измерений.

21

Выражение (34) называют формулой Бесселя.

Величина m характеризуется средней квадратической погрешностью

Следует помнить, что при малом числе измерений оценка точности результатов измерений по формуле Бесселя несколько преувеличивает их точность. При n>10 результаты оценки m по формуле Бесселя приближаются к результатам оценки по формуле Гаусса.

Для оценки точности угловых измерений на пунктах триангуляции величина m обычно вычисляется по формуле Петерса.

Формула Петерса может быть получена из формул Гаусса (4) и Бесселя (34), выражающих среднюю квадратическую погрешность результата отдельного измерения. При большом числе измерений

Возведем в квадрат левую и правую части выражения (37) и приведем его к общему знаменателю:

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения (38), получим приближенно:

− для отдельного измерения

− для всего ряда измерений

22

Учитывая, что средняя погрешность θ связана со средней квадратической погрешностью m соотношением m=1,25 θ, формула (41) запишется в виде

Оценка точности по формуле Петерса так же, как и по формуле Бесселя, несколько преувеличивает точность конечных результатов измерений. Вычисления по этим двум формулам средняя квадратическая погрешность при большом числе измерений дает одинаковое значение; поэтому вычисление m по обеим формулам служит ее контролем. Заметное расхождение результатов вычислений по этим формулам свидетельствует о наличии в ряде измерений существенных систематических погрешностей.

Вычисление средней квадратической погрешности результата отдельного измерения по формулам Бесселя или Петерса называют также оценкой точ-

ности результатов измерений по внутренней сходимости.

§8. Обработка результатов равноточных измерений одной и той же величины

Обработка результатов измерений одной и той же величины имеет целью нахождение наиболее надежного значения измеренной величины и оценку его точности.

Обработку рядов равноточных измерений проводят в следующей последовательности.

1.Находят наиболее надежное (вероятнейшее) значение измеренной величины, т.е. ее среднее арифметическое

23

x nl .

Вычисления удобно выполнять с использованием “остатков” по фор-

В качестве l0 рекомендуется выбирать наименьший результат из ряда

измерений

l1 , l2 ,..., ln ; в этом случае всегда остатки 0 .

2.Вычисляют уклонения результата каждого измерения от среднего арифметического

ui li x.

3.Найденные значения среднего арифметического x и уклонений и контролируют равенством и 0 .

Если значение среднего арифметического получено с округлением, то контроль выполняют как

u n 0 ,

где 0 погрешность округления x.

5.Вычисляют среднюю квадратическую погрешность отдельного измерения по формуле Бесселя

6.Контролируют вычисление средней квадратической погрешности m по формуле Петерса

24

7. Определяют надежность средней квадратической погрешности отдельного результата измерений

8. Вычисляют среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

9. Определяют надежность средней квадратической погрешности среднего арифметического

Пример математической обработки результатов равноточных измерений горизонтального угла 8-ю приемами приведен в табл. 2.

25

Ответ: 84˚ 36′ 19,0″±0,1″.

§9. Оценка точности по разностям двойных равноточных измерений

В практике геодезических измерений с целью контроля и повышения точности каждую величину измеряют независимо несколько раз. При этом часто ограничиваются двумя измерениями, поэтому такие измерения называют двойными. Примерами двойных измерений могут служить измерения длин линий мерной лентой в прямом и обратном направлениях, измерения углов двумя полуприемами, определение превышений методом геометрического нивелирования по двум сторонам рейки или двумя нивелирами одновременно и т.п. Чем

Если измерения были бы безошибочными, то каждая из этих разностей равнялась бы нулю. Следовательно, истинное значение каждой разности будет равно нулю, а величину di можно рассматривать как “измеренное значение”

грешностей измерений разности di есть погрешности случайного характера.

Тогда средняя квадратическая погрешность одной такой разности определится по формуле Гаусса как

26

md m2,

где m погрешность отдельного измерения. Отсюда

мерений содержат остаточную систематическую погрешность, которую следует исключить из разностей двойных измерений.

Средняя систематическая погрешность одной разности

c dn .

Величину c необходимо учитывать, если соблюдается неравенство

Исключив из каждой разности двойных измерений систематическую погрешность c , имеем

следовательно, они являются вероятнейшими погрешностями этих разностей. Тогда средняя квадратическая погрешность разности двойных измерений

может быть найдена по формуле Бесселя, т.е.

Следует отметить, что разности двойных измерений не отражают полностью влияние всех погрешностей, возникающих при измерениях. Так, зачастую

27

двойные измерения выполняют в одинаковых условиях (например, при измерениях угла двумя полуприемами, превышения на станции по двум сторонам рейки и т.п.). При этом, некоторые погрешности одинаково влияют на каждый результат измерения и исключаются при вычислении разностей d, по которым производится оценка точности измерений. Поэтому формулы оценки точности по разностям двойных измерений дают преуменьшенные значения средних квадратических погрешностей m.

Пример. Требуется определить средние квадратические погрешности одного превышения и среднего из превышений на станции по данным геометрического нивелирования трассы, выполненного двумя нивелирами (табл. 3).

28

Глава 3. НЕРАВНОТОЧНЫЕ ИЗМЕРЕНИЯ

§10. Веса независимых измерений и их свойства. Весовое среднее или общая арифметическая середина

В практике измерений часто встречаются случаи, когда в ряду измерений различные результаты получены в различных условиях, приборами различной точности, различным числом приемов и т.п., т.е. результаты таких измерений являются неравноточными. В этих случаях при определении наиболее надежного значения измеренной величины нельзя пользоваться средним арифметическим, которое не учитывает степень надежности каждого отдельного результата измерений.

Измерения, выполняемые в неодинаковых условиях, характеризуются различными средними квадратическими погрешностями. Поэтому за характеристику степени доверия к результатам измерений логично принять величины, обратно пропорциональные квадратам их средних квадратических погрешностей. Такая величина, характеризующая в численном виде надежность результата, называется весом измерения

где рi – вес i-го измерения; с − коэффициент пропорциональности, постоянный для всех измерений ряда; mi – средняя квадратическая погрешность i-го результата измерений.

Поскольку коэффициент с может назначаться произвольно, то можно заключить, что вес измерения является относительной характеристикой, дающей представление о точности этого измерения только при сравнении с весами других измерений того же ряда. При этом, чем больше вес измерения, тем оно точнее по сравнению с другими измерениями.

Для сравнения точности нескольких рядов неравноточных измерений служит средняя квадратическая погрешность результата измерения, вес ко-

торого принят за единицу, или средняя квадратическая погрешность единицы веса.

29

т.е. средняя квадратическая погрешность измерения с весом, равным единице, равна произведению средней квадратической погрешности любого результата измеренной величины на корень квадратный из его веса.

Веса измерений обладают следующими свойствами.

1.Для данного ряда неравноточных измерений веса можно увеличить или уменьшить в одно и то же число раз.

2.Отношение весов двух измерений обратно пропорционально квадратам их средних квадратических погрешностей.

Предположим, что проведено n серий равноточных измерений одной и той же величины. В первой серии выполнены измерения искомой величины p1