2965

ной и надежной оценки точности получаемых результатов.

§19. Понятие о параметрическом способе уравнивания

Постановку вопроса рассмотрим на примере многократной линейной засечки (рис. 3). Пусть 1, 2 ,3 и 4 – исходные пункты, т.е. известны их координаты. Измерены длины линий d1, d2, d3, d4. Известны также средние квадратические погрешности измерения расстояний mi (i = 1, 2, 3, 4). Требуется определить координаты пункта R (хR,

уR).

При параметрическом способе уравнивания в качестве параметров обычно принимают координаты определяемых пунктов (в рассматриваемом случае хR, уR).

Для определения двух параметров (координат пункта R) достаточно двух расстояний, следовательно, в нашем примере имеются два избыточных измерения. Связь измеренных расстояний с координатами пунктов можно записать в виде

где T – уравненные значения искомых параметров; M – уравненные значения измеренных величин.

Уравнения системы (99) называют параметрическими уравнениями связи.

51

Уравнения (101) называют уравнениями поправок в общем виде.

Задача уравнивания состоит в нахождении поправок i (i = 1, 2, …, n) и параметров Tj (j = 1, 2, …, t).

Для решения системы (101) приведем функцию Fi к линейному виду путем разложения ее в ряд Тейлора, ограничиваясь первыми членами, что возможно, если предварительно будут известны приближенные значения парамет-

Подставив выражения (102) и (103) в (101), получим параметрические уравне-

ния поправок в линейном виде

что каждая поправка i в системе (104) имеет вес, равный весу соответствующего измерения Mi и получаемый по формуле

где – средняя квадратическая погрешность единицы веса (выбирается произвольно); mi – средняя квадратическая погрешность измерения.

52

Однако система (104) дает бесчисленное множество решений, т.к. имеет n уравнений и (n+t) неизвестных. Поэтому применим принцип наименьших квадратов (97), обозначив

Для нахождения минимума функции Ф необходимо найти производные функции Ф по всем аргументам i, т.е. по Tj , и приравнять их к нулю. Частная

Аналогично найдем частные производные по всем другим параметрам Tj и, введя обозначения Гаусса, запишем

Система (106) является системой нормальных уравнений размера t×t и симметричной относительно главной диагонали. По главной диагонали DD′ расположены квадратичные коэффициенты (всегда положительные). Неквадратичные коэффициенты располагаются симметрично относительного главной диагонали. Решив систему (106), найдем поправки Tj к предварительным

(приближенным) значениям искомых параметров и получим уравненные значения параметров

Tj Tj0 Tj j 1, 2, , t .

53

Подставив найденные поправки Tj в систему параметрических уравне-

ний поправок (104), найдем поправки i в измеренные величины и вычислим уравненные значения измеренных величин M i по формуле (100).

§ 20. Уравнивание сетей триангуляции коррелатным способом

Сеть триангуляции строится из геометрических фигур – треугольников, в каждом из которых измеряют все три угла (β1, β2, β3). Наличие избыточного измерения (третий угол может быть вычислен) влечет проверку (контроль) на соблюдение геометрического условия фигуры (треугольника), так как известно истинное (теоретическое) значение суммы углов в треугольнике. Разность между практической (полученной по измеренным углам) и теоретической суммами углов треугольника представляет собой невязку

i 3

W i 180 . (107)

i 1

Задача состоит в нахождении поправок в измеренные углы i, чтобы сумма исправленных поправками (уравненных) углов i была бы равна теоретической сумме, т.е.

Уравнение (110) называется условным уравнением поправок, а W – сво-

бодным членом (невязкой) этого уравнения.

Дальнейшее изложение коррелатного способа уравнивания приведем для случая равноточных измерений.

Запишем в общем виде для какой-либо геодезической сети все независимые условные уравнения. Заметим, что число условных уравнений r равно числу избыточных измерений.

где ai, bi, …, ri – коэффициенты (i = 1, 2, …, n); i – поправки; Wi – невязки (свободные члены).

Система (111) называется системой условных уравнений поправок, в ко-

торой имеется n неизвестных поправок и r уравнений. Заметим, что число r уравнений всегда меньше числа n неизвестных, т.е. r < n. В этом случае система

54

(111) имеет бесчисленное множество решений. Необходимо отметить, что в уравнения (111) должны быть включены поправки ко всем измеренным величинам.

Перепишем систему (111) в обозначениях Гаусса как

Применим принцип наименьших квадратов, т.е. из всех возможных решений системы (112) выберем такое решение, которое приводит к результату

2 min .

Решение системы (112) под условием минимума квадратов аргументов (т.е. поправок) есть задача математического анализа на условный экстремум. Для решения этой задачи составим функцию Лагранжа в виде

kj названы неопределенными множителями, (коррелатами).

Для нахождения минимума функции (113) необходимо найти частные производные функции по всем аргументам и приравнять их к нулю, т.е.

55

Система (114) называется системой коррелатных уравнений поправок.

Подставив i из системы (114) в систему (111) условных уравнений поправок, получим для первого уравнения

Система (115) называется системой нормальных уравнений коррелат, так как число неизвестных kj равно числу уравнений, т.е. система имеет размерность r × r и имеет единственное решение. Эта система симметрична относительно главной диагонали, по которой находятся квадратичные коэффициенты

aa , bb , …, rr .

Решив систему (115) нормальных уравнений коррелат, найдем коррелаты kj (j = 1, 2, …, r) и, подставив их в систему (114), вычисляем поправки i (i = 1, 2, …, n) и далее по формуле (108) – уравненные значения измеренных элементов (в приведенном примере – углов).

§ 21. Понятие о решении нормальных уравнений по способу Гаусса

Известно большое число способов решения нормальных систем линейных уравнений. Наибольшую известность получил способ последовательного исключения неизвестных (способ Гаусса).

Рассмотрим этот способ на системе из трех нормальных уравнений, обозначив искомые величины x1, x2, x3:

Из первого уравнения найдем x1

Подставив найденное значение x1 в оставшиеся два уравнения, имеем

56

Обозначим

Из первого уравнения этой системы найдем x2 и подставим во второе уравнение:

Обозначив

57

Выписав первые уравнения из (116), (117) и уравнение (118), получим систему уравнений

которая является эквивалентной системе (116) в смысле равенства корней x1, x2, x3. Из последнего уравнения системы (119) найдем x3; подставив его во второе уравнение, найдем x2 и затем из первого уравнения – значение x1.

§22. Об оценке точности результатов уравнения

Вданном случае под оценкой точности понимают определение средних квадратических погрешностей измерений и функций измеренных величин после уравнивания.

Как отмечалось ранее (см. § 10), в общем случае средняя квадратическая погрешность любой величины mi может быть найдена из выражения (53) как

где – средняя квадратическая погрешность единицы веса; pi – вес оценивае-

мой величины.

Таким образом, задача оценки точности слагается из двух частных задач: определение погрешности единицы веса и определение веса оцениваемой величины.

Величину вычисляют по обобщенной формуле Бесселя

где n k – число избыточно измеренных величин.

Для нахождения весов оцениваемых величин каждую из них представляют в виде функции результатов измерений как T f M1 , M2 ,..., Mn . Тогда вес

функции может быть найден по известной формуле (65)

Обратный вес функции может быть вычислен попутно с решением системы нормальных уравнений.

Подробно вопросы оценки точности результатов уравнения рассматриваются в специальной литературе по вопросам математической обработки геодезических измерений.

§ 23. Виды условных уравнений

58

В конкретных геодезических сетях возникают различные геометрические условия, которым соответствуют определенные виды условных уравнений поправок. Основные геометрические условия в сетях можно разделить на две группы:

1)угловые, которым отвечают условные уравнения линейного типа, возникающие между углами и направлениями (уравнения фигур, горизонта и исходных дирекционных углов);

2)синусные, которым отвечают условные уравнения нелинейного типа с участием синусов связующих углов (полюсные, базисные и координатные уравнения).

Рассмотрим порядок составления условных уравнений поправок на примерах типовых фигур триангуляции (рис. 4).

Условное уравнение фигуры. В геодезическом четырехугольнике (см. рис. 4, а) измерены 8 углов. Аналогично уравнению (110), которое является условным уравнением фигуры (треугольника), для четырехугольника условное уравнение фигуры запишется как

где невязка

8

Wi 360 .

i 1

Условное уравнение горизонта. На пункте P (см. рис. 4, б) независимо измерены все углы Сi (i = 1, 2, …, n) между смежными направлениями. В этом

Рис.4. Схемы к составлению условных уравнений: а – фигуры; б – горизон-

та; в – дирекционных углов; г – полюса и базиса

59

случае условное уравнение горизонта следует записать как

n

i Wr 0, (122)

i 1

где невязка

n

Wr Ci 360 .

i 1

Следует учесть, что при уравнивании направлений (при измерении углов способом круговых приемов) условий горизонта не возникает.

Условное уравнение дирекционных углов. На рис. 4, в представлена сеть треугольников между двумя базисными сторонами. Такая сеть является несвободной, так как имеются избыточные исходные данные. Известны дирекционные углы исходных сторон αнач и αкон. Наметим ходовую линию MKOP…QR и вычислим дирекционный угол α′кон по начальному дирекционному углу αнач и уравненным горизонтальным углам

или

где знак «+» при углах Сj (j = 1, 2, …, N) соответствует левым по ходу линий углам, а знак «–» – правым; 180° прибавляют при нечетном числе N треугольников, а при четном – 0°. Подставив в это уравнение вместо уравненных углов

Полюсное условное уравнение. Для приведенной на рис. 4, г центральной системы, имеющей общий для всех треугольников пункт Р, можно записать математическую зависимость, выражающую длины сторон через измеренные углы. Обозначим (см. рис. 4, г) длины сторон в соответствии с противолежащими углами в треугольнике.

По теории синусов из первого треугольника имеем

60